Metodi Statistici per il Marketing. #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni

Transcript

1 Corso di Metodi Statistici per il Marketing LUISS A.A #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 22 Marzo 2018 Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 1 / 35

2 Determinare la numerosità campionaria Proporzione n = valore cautelativo ( zα/2 E ) 2 ps (1 p s ) n = ( zα/2 E ) lessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 2 / 35

3 Disegno campionario stratificato La stima di un parametro di interesse può essere sbagliata a causa del fatto che alcune fasce (strati) della popolazione non sono correttamente rappresentate rispetto al loro effettivo peso. Questo è particolarmente grave qualora ci sia una correlazione tra gli strati e la variabile oggetto di studio. Nel nostro esempio, supponiamo che l intenzione reale di acquisto sia molto più alta tra le persone nella fascia di età piuttosto che nelle altre. Se nel campione, per puro effetto del caso, c è una percentuale di persone con età compresa tra i 20 e i 40 anni maggiore di quella presentata nella popolazione, l intenzione può essere sovra-stimata. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 3 / 35

4 Disegno campionario stratificato Per ovviare a questo problema si può ricorrere al campionamento stratificato. Si ricorre a questo disegno campionario essenzialmente quanto: si pensa che la variabile oggetto di studio presenti valori molto differenti in diversi strati della popolazione (intenzione di acquisto differente a seconda della fascia di età). In altre parole, la variabile oggetto di studio è correlata con una o più variabili (intenzione di acquisto correlata con l età) sono disponibili informazioni affidabilit per l identificazione degli strati (è nota la distribuzione nella popolazione di interesse in base all età). Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 4 / 35

5 Disegno campionario stratificato Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 5 / 35

6 Disegno campionario stratificato Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 6 / 35

7 Disegno campionario stratificato Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 7 / 35

8 Popolazione suddivisa in strati Una popolazione U N può essere suddivisa in M strati (o sotto-popolazioni) distinti U 1 N 1, U 2 N 2,..., U g N g,..., U M N M, La numerosità dello strato g è N g, con M g=1 Ng = N. il peso dello strato g nella popolazione è w g = N g /N, con 0 w g 1 M w g = 1 g=1 Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 8 / 35

9 Parametri negli strati Sia y gi la modalità osservata per la variabile Y assunta dall unità i dello strato g La media dello strato g é La varianza dello strato g é µ yg = 1 N g N g i=1 y gi σyg 2 = 1 N g (y gi µ yg ) 2 N g i=1 Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 9 / 35

10 Parametri della popolazione suddivisa in strati La media della popolazione é la media ponderata delle medie negli strati, con pesi w g µ y = M w g µ yg g=1 La varianza della popolazione é uguale alla somma di due quantità M M σy 2 = w g σyg 2 + w g (µ yg µ y ) 2 g=1 } {{ } (a) g=1 } {{ } (b) (a) media ponderata delle varianze (varianza negli strati, o within) (b) varianza ponderata delle medie (varianza tra gli strati, o between) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 10 / 35

11 Disegno campionario stratificato il disegno campionario stratificato consiste nel selezionare, in maniera indipendente da uno strato all altro: - un campione s.s.r. di numerosità n 1 dallo strato 1; - un campione s.s.r. di numerosità n 2 dallo strato 2; un campione s.s.r. di numerosità n M dallo strato M; Il campione totale è formato dagli M sotto-campioni relativi agli M strati: s = (s 1, s 2,..., s M ) di numerosità complessiva M g=1 n g = n. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 11 / 35

12 Stimatore della media dello strato g Dal momento che s g è un campione s.s.r., lo stimatore corretto della media µ yg dello strato g è la media delle osservazioni in s g (media campionaria dello strato g): ȳ g = 1 n g i s g y gi, dove y gi è la modalità dell unità i nello strato g. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 12 / 35

13 Stimatore della media della popolazione Lo stimatore della media dell intera popolazione è dato dalla media ponderata delle medie di strato ȳ g, con pesi dati dai pesi di strato w g : µ st = M w g ȳ g g=1 µ st è uno stimatore corretto della media di popolazione µ y. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 13 / 35

14 Allocazione delle osservazioni agli strati Data la numerosità campionaria totale n, il problema dell allocazione delle unità campionarie ai vari strati consiste nello scegliere n 1,..., n M in base a determinati criteri. Sia a g = n g /n la frazione di unità campionarie allocate allo strato g. Il problema è quello di assegnare dei valori a 1,..., a M tali che a g 0 e M g=1 a g = 1. I criteri più utilizzati sono: allocazione uniforme allocazione proporzionale allocazione ottima (o di Neyman) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 14 / 35

15 Allocazione uniforme Con il campionamento stratificato uniforme le numerosità campionarie di strato sono uguali in tutti gli strati: n g = n M, g = 1,..., M Questa allocazione è utile per ottenere stime della media di strato più efficienti. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 15 / 35

16 Allocazione proporzionale Con il campionamento stratificato proporzionale le numerosità campionarie di strato sono proporzionali ai pesi degli strati nella popolazione: n g = w g n, g = 1,..., M il che equivale a porre a g = n g /n = w g Lo stimatore della media così ottenuto è più efficiente dello stimatore ottenuto con il disegno s.s.r.. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 16 / 35

17 Allocazione ottima Con l allocazione proporzionale i pesi degli strati nel campione sono uguali ai pesi nella popolazione. Se la popolazione è stratificata in base al genere, nel campione avremo la stessa proporzione di unità di sesso maschile e femminile di quelle osservate nella popolazione. In alternativa, possiamo determinare quei valori n g tali da rendere minima la varianza dello stimatore della media, ricorrendo al disegno stratificato ottimale. Intuitivamente, se la variabilità di uno strato è maggiore, occorrerà estrarre un maggior numero di unità da quello strato. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 17 / 35

18 Allocazione ottima (o di Neyman) L allocazione ottima è ottenuta ponendo: a g = w g σ yg M g=1 w g σ yg da cui si ottiene n g = n w g σ yg M g=1 w g σ yg dove σ yg è la deviazione standard della variabile oggetto di interesse dello strato g. Il campione ottenuto è detto campione di Neyman. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 18 / 35

19 Allocazione ottima (o di Neyman) In base all allocazione ottima, da ogni strato viene estratto un numero tanto più elevato di unità quanto più: è elevato w g, ossia il numero di unità dello strato (come nell allocazione proporzionale) è elevata la varianza dello strato Osservazione Se le varianze di strato sono tutte uguali il campione di Neyman coincide con quello proporzionale In tutti gli altri casi, lo stimatore della media campionaria ottenuto con l allocazione ottima è più efficiente di quello ottenuto con l allocazione proporzionale. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 19 / 35

20 Costo di campionamento Il costo complessivo del campionamento è composto da una parte fissa (c 0 ) e da costi variabili, legati al numero di untà da rilevare. Supponiamo che i costi di variabili siano diversi da strato a strato, ad esempio perchè in alcuni strati le unità sono più difficili da raggiungere. Indichiamo con c g il costo unitario di campionamento per una unità nello strato g. Il costo complessivo di campionamento è uguale a: M C = c 0 + n g c g g=1 Nel seguito, per semplicità supporremo che c 0 = 0, per cui C = M g=1 ng cg. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 20 / 35

21 Allocazione ottima per C fissato Invece di fissare la numerosità campionaria, supponiamo di avere a disposizione un budget pari a C. Il numero di unità per strato tale da minimizzare la varianza dello stimatore della media, dato il costo fissato, è: n g = C w g σ yg / c g M g=1 w g σ yg cg = C q g dove q g = wg σyg/ c g M g=1 wg σyg cg è la quota del costo totale da imputare allo strato g-mo. Se c 0 > 0, la formula diventa: n g = (C c 0 ) w g σ yg/ c g M g=1 wg σyg/ c g Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 21 / 35

22 Allocazione ottima per C fissato Avendo fissato il costo complessivo, da ogni strato viene estratto un numero tanto più elevato di unità quanto più: è elevato w g, ossia il numero di unità dello strato (come nell allocazione proporzionale) è elevata la varianza dello strato è basso il costo unitario di campionamento, dato tra la relazione inversa tra n g e c g Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 22 / 35

23 Esempio: Esposizione pubblicità Data una popolazione di 8000 utenti di un servizio di musica in streaming siamo interessati a stimare il tempo medio di esposizione ai messaggi pubblicitari. É intuitivo supporre che l esposizione alla pubblicità sia correlata al numero di ore di ascolto settimanale di musica. La popolazione viene quindi stratificata in base a quest ultima variabile. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 23 / 35

24 Disponiamo delle seguenti informazioni sugli strati: dimensione, deviazione standard del tempo di esposizione ai messaggi pubblicitari, costo unitario (in euro). ore N g σ yg c g Fissata la numerosità campionaria uguale a n = 120, vogliamo determinare la numerosità dei campioni negli strati, in base ai criteri illustrati. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 24 / 35

25 Allocazione uniforme n g = n M = = 30 ore N g σ yg c g n unif Totale Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 25 / 35

26 Allocazione proporzionale Le operazioni da svolgere per l allocazione proporzionale sono: w 1 = 500/8000 = n 1 = = 7.56 w 2 = 1500/8000 = n 2 = = w 3 = 3000/8000 = n 3 = = w 4 = 3000/8000 = n 4 = = ore N g w g n g n g Totale I valori n g = n w g vanno arrotondati, perchè non avrebbe senso allocare, ad esempio, un campione di 7.44 unità al primo stadio. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 26 / 35

27 Allocazione ottima Per l allocazione ottima è necessario tener conto anche della variabilità negli strati: ore N g σ yg w g w g σ g a g n g n g Totale Nel primo strato il numero di unità da estrarre (17) è maggiore di quello individuato con il criterio proporzionale (7), a causa dell elevata variabilità nel primo strato. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 27 / 35

28 Allocazione ottima per C fissato Con il creiterio dell allocazione ottima, il costo complessivo di campionamento sarebbe di 1986 euro. Supponiamo che il budget sia solo di 1000 euro. ore Ng σyg cg wg σg cg wg σg / cg wg σg cg qg ng Totale Il costo complessivo del campione è 996 euro, quindi rispetta il vincolo di costo. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 28 / 35

29 Per approfondire Conti P. & Marella D., Campionamento da popolazioni finite, Springer (2013). Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 29 / 35

30 Esercizio 1 Si ha un campione di 350 utenti di un gestore di telefonia mobile, 98 utenti hanno affermato di essere soddisfatti del servizio: (a) Calcolare l intervallo di confindenza per la percentuale di utenti soddisfatti, ad un livello 1 α = (b) Supponendo di volere dimezzare il margine di errore, quale dovrebbe essere la dimensione del campione? (c) Calcolare la dimensione cautelativa del campione. Soluzione (a) [0.233, 0.327]; (b) 1345; (c) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 30 / 35

31 Esercizio 2 Siamo interessati a stimare la spesa media familiare per alimenti e riteniamo che tale variabile sia correlata al numero di figli. Data una popolazione di N = 9300 famiglie stratificate in base al numero di figli (da 0 a 3 o più), vogliamo estrarre un campione di n = 190 famiglie. figli N g σ yg c g Totale 9300 (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, con il criterio dall allocazione proporzinale. (b) Calcolare il costo complessivo di campionamento. Soluzione (a) n g = (51,47,61,31); (b) C=3122; Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 31 / 35

32 Esercizio 3 Con gli stessi dati dell esercizio precedente: (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, tenuto conto che il budget per il campionamento è pari a C=1600 euro. (b) Calcolare la dimensione complessiva del campione così ottenuto. Soluzione (a) n g = (21,11,30,35); (b) n=97; Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 32 / 35

33 Esercizio 4 Dato un campione di 3000 intervistati, estratti dalle liste elettorali di un comune, il 45% di essi ha espresso una preferenza per il partito A al prossimo ballottaggio: (a) Dato un livello di confidenza del 99% calcolare l intervallo di confidenza per l intenzione di voto per il partito A. (b) Supponendo di volere un margine di errore dell 1%, quale dovrebbe essere la dimensione del campione. (c) Calcolare anche la dimensione cautelativa. Soluzione (a) [0.427, 0.473]; (b) 16457; (c) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 33 / 35

34 Esercizio 5 Dovendo stimare il fatturato medio dei punti vendita per la telefonia mobile, riteniamo che il fatturato sia legato all area geografica in cui si trova il punto vendita. Da una popolazione di N=14800 punti vendita stratificati in base all area geografica (Nord Ovest, Nord Est, Centro, Sud, Isole), vogliamo estrarre un campione di n=250 negozi. area N g σ yg c g NO NE C S I Totale (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, con il criterio dall allocazione ottimale. (b) Calcolare il costo complessivo di campionamento. Soluzione (a) n g = (74,102,30,19,25); (b) C=3882; Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 34 / 35

35 Esercizio 6 Con gli stessi dati dell esercizio precedente: (a) Calcolare la numerosità campionaria degli strati, tenuto conto che il budget per il campionamento deve essere 1/3 di quello calcolato con il criterio ottimale. (b) Calcolare la dimensione complessiva del campione così ottenuto. Soluzione (a) n g = (26,43,9,5,6); (b) n=89; Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #06 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 35 / 35