Insegnamento di Idrologia. Esercitazione n. 2

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1 Insegnamento di Idrologia Esercitazione n. 2 Si vuole determinare la quota da assegnare alla sommità di un argine del Po, posto in corrispondenza del ponte ferroviario di Piacenza, dove esiste una stazione per la misura dei livelli e delle portate. Per il calcolo si assume un tempo di ritorno di 200 anni e un franco (differenza di livello tra la sommità dell'argine e la superficie dell'acqua) di 1 m. Per l'analisi idrologica sono disponibili 1) i massimi annuali della portata al colmo del Po osservati (nel periodo ) e stimati (a partire dai massimi osservati delle portate medie giornaliere del periodo ) nella sezione di misura; 2) la scala delle portate nella sezione di misura, rappresentata in forma analitica dall'espressione Q = 44,509(h + 3) 2,202, nella quale Q è la portata (in metri cubi al secondo) e h è l'altezza d'acqua rispetto allo zero idrometrico (in metri) (espressione che nel campo delle altezze idrometriche superiori a 3 m approssima la scala delle portate del 1985, fornita dal Servizio Idrografico per punti, con un errore inferiore allo 0,05%); 3) la quota dello zero idrometrico, uguale a 41,97 m s.l.m. Effettuare le seguenti elaborazioni: 1) determinare la quota della sommità dell'argine; 2) costruire il grafico che rappresenta la distribuzione del massimo della portata in un periodo di N anni (utilizzando i punti corrispondenti ai valori di N uguali a 10, 50, 100, 500 e 1000 anni e ai valori della probabilità di non superamento P uguali a 0,368, 0,500, 0,800 e 0,900); 3) determinare la probabilità di non superamento in un periodo di 200 anni della portata al colmo con tempo di ritorno di 200 anni;

2 4) determinare la probabilità di non superamento in un periodo di 200 anni della portata al colmo corrispondente alla quota assegnata alla sommità dell'argine; 5) determinare il franco che si dovrebbe adottare affinché sia uguale a 0,9 la probabilità che la sommità dell'argine non sia raggiunta dall'acqua in 200 anni (vale a dire, il franco che si dovrebbe adottare affinché la sommità dell'argine si trovi alla quota del pelo libero che corrisponde alla portata con probabilità di non superamento uguale a 0,9 in un periodo di 200 anni). Per l'esecuzione delle elaborazioni sono disponibili un programma di calcolo automatico che permette l'utilizzo di sei distribuzioni a due parametri (la distribuzione di Gumbel, la distribuzione lognormale, la distribuzione Gamma, la distribuzione di Fréchet, la distribuzione di Weibull, la distribuzione loglogistica), una carta probabilistica di Gumbel, una carta probabilistica lognormale.

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7 Stazione di Piacenza Massimi annuali della portata al colmo (stimati a partire dai massimi annuali della portata media giornaliera) anno portata [m 3 s -1] ,

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10 Distribuzione di Pareto (limite inferiore x 0 ) P(x) = 1 - x x 0 -k Distribuzione asintotica del massimo valore del II tipo o distribuzione di Fréchet (limite inferiore x 0 ) P(x) = exp - x - x 0 u - x -k 0 Non esistono momenti di ordine uguale o superiore a k Distribuzione di Fréchet a due parametri (limite inferiore zero) P(x) = exp - x u -k k > 0 Media e varianza della distribuzione di Fréchet a due parametri µ(x) = u Γ 1-1 k k > 1 σ 2 (x) = u 2 Γ 1-2 k - Γ2 1-1 k k > 2

11 Distribuzione di Weibull (coincidente con la distribuzione asintotica del minimo valore del III tipo) (limite inferiore x 0 ) P(x) = 1 - exp - x - x k 0 u - x 0 k > 0 Non esistono momenti di ordine uguale o superiore a k Distribuzione di Weibull a due parametri (limite inferiore zero) P(x) = 1 - exp - x k u Media e varianza della distribuzione di Weibull a due parametri µ(x) = u Γ k σ 2 (x) = u Γ k - Γ k (k > 1) (k > 2)

12 Distribuzione logistica (limite inferiore - ) P(x) = exp (x - µ(x) - s = tanh x - µ(x) 2s Momenti della distribuzione logistica media µ(x) varianza σ 2 π (x) = 2 s 2 3 Distribuzione loglogistica lnx) (limite inferiore zero) a due parametri (distribuzione logistica di P(x) = x β α β + x β Non esistono momenti di ordine uguale o superiore a β Media e varianza della distribuzione loglogistica πα µ(x) = β sin(π/β) σ 2 (x) = α 2 2π βsin(2π/β) - π 2 β 2 sin 2 (π/β) (β > 1) (β > 2)

13 'PO A PIACENZA' 'PORTATE AL COLMO MASSIME ANNUALI' 'PERIODO ' 'MANCA IL 1952' 'Fino al 1970 compreso i massimi annuali della portata al colmo' 'sono dati misurati.' 'Dal 1971 compreso in avanti i massimi annuali della portata al colmo' 'sono stati stimati dal SIMN.' '***' 1 '1924' 4350 '1925' 3500 '1926' '1927' 3390 '1928' 8270 '1929' 1920 '1930' 4550 '1931' 3320 '1932' 3450 '1933' 4340 '1934' 5420 '1935' 5260 '1936' 5140 '1937' 6200 '1938' 4450 '1939' 2900 '1940' 5400 '1941' 5810 '1942' 4000 '1943' 2790 '1944' 3500 '1945' 8800 '1946' 4890 '1947' 5830 '1948' 5740 '1949' 7200 '1950' 2720 '1951' '1953' 5050 '1954' 3780 '1955' 2360 '1956' 4530 '1957' 6100 '1958' 3900

14 '1959' 5630 '1960' 5150 '1961' 3940 '1962' 5230 '1963' 5220 '1964' 3950 '1965' 4740 '1966' 5120 '1967' 2110 '1968' 9500 '1969' 6510 '1970' 2810 '1971' '1972' '1973' '1974' '1975' '1976' '1977' 8431,2 '1978' '1979' '1980' '1981' '1982' '1983' '1984' '1985' '1986' '1987' '1988' '1989' '1990' '1991' '1992' '1993' '1994' '1995'

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22 Con i valori contenuti nella tabella si costruisce un grafico in cui il numero degli anni N è in ascisse e la portata Q è in ordinate e in cui i punti corrispondenti a uguali valori di P N (Q) sono uniti con una curva. Per rendere più facilmente leggibile il grafico e per facilitare il collegamento dei punti con una curva si usa per le ascisse una scala logaritmica. In questo modo le curve che rappresentano la dipendenza della portata Q dal numero di anni N, per un valore di P N (Q) assegnato, risultano molto vicine a delle rette. Sullo stesso grafico si può riportare la funzione di probabilità del massimo annuale, adoperando l'asse delle ascisse come asse del tempo di ritorno T (e mantenendo la stessa scala). Per costruire la nuova curva si adoperano i valori di portata forniti dal programma in corrispondenza dei tempi di ritorno di 10, 50, 100, 500 e 1000 anni (che servono solo a questo scopo, non a rispondere alle diverse richieste elencate nel testo dell'esercitazione): T Q [m 3 s -1 ] , La curva risulta molto vicina a quella fornita dal grafico della distribuzione del massimo in N anni in corrispondenza della probabilità di non superamento P N (Q) uguale a 0,368. Per tempi di ritorno uguali o superiori a 100 anni risulta praticamente indistinguibile. (Nelle due tabelle che precedono le cifre decimali, che corrispondono alle frazioni di metro cubo al secondo e non hanno alcun reale significato, sono riportate solo per facilitare il controllo con il tabulato prodotto dal programma MASSIMI.) Calcolo dell'altezza idrometrica corrispondente alla portata con tempo di ritorno di 200 anni e della quota della sommità dell'argine La scala delle portate è fornita dall'espressione Q = 44,509(h + 3) 2,202 da cui si ricava immediatamente l'espressione che fornisce l'altezza idrometrica in funzione della portata h = Q 2, ,509 1

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26 *************************************************** PO A PIACENZA PORTATE AL COLMO MASSIME ANNUALI PERIODO MANCA IL 1952 Fino al 1970 compreso i massimi annuali della portata al colmo sono dati misurati. Dal 1971 compreso in avanti i massimi annuali della portata al colmo sono stati stimati dal SIMN. OSSERVAZIONI NUMERO D'ORDINE, ETICHETTA, VALORE

27 PER L'ANALISI STATISTICA SONO STATE ADOPERATE TUTTE LE OSSERVAZIONI OSSERVAZIONI IN ORDINE CRESCENTE NUMERO D'ORDINE, FREQUENZA, VALORE 1 F =.014 X = F =.028 X = F =.042 X = F =.056 X = F =.069 X = F =.083 X = F =.097 X = F =.111 X = F =.125 X = F =.139 X = F =.153 X = F =.167 X = F =.181 X = F =.194 X = F =.208 X = F =.222 X = F =.236 X = F =.250 X = F =.264 X = F =.278 X = F =.292 X = F =.306 X = F =.319 X = F =.333 X = F =.347 X = F =.361 X = F =.375 X = F =.389 X = F =.403 X = F =.417 X = F =.431 X = F =.444 X = F =.458 X = F =.472 X =

28 35 F =.486 X = F =.500 X = F =.514 X = F =.528 X = F =.542 X = F =.556 X = F =.569 X = F =.583 X = F =.597 X = F =.611 X = F =.625 X = F =.639 X = F =.653 X = F =.667 X = F =.681 X = F =.694 X = F =.708 X = F =.722 X = F =.736 X = F =.750 X = F =.764 X = F =.778 X = F =.792 X = F =.806 X = F =.819 X = F =.833 X = F =.847 X = F =.861 X = F =.875 X = F =.889 X = F =.903 X = F =.917 X = F =.931 X = F =.944 X = F =.958 X = F =.972 X = F =.986 X = PARAMETRI CALCOLATI DALLE OSSERVAZIONI UTILIZZATE MEDIA = E+04 SQM = E+04 *************************************************** DISTRIBUZIONE DI GUMBEL ALFA = E-03 U = E+04 TEST CHI QUADRO NUMERO CLASSI 14 X2 = P1 = P2 = MASS. LIV. SIGN. = VALORI CORRISPONDENTI AI TEMPI DI RITORNO ASSEGNATI T = 10.0 X = E+04 T = 50.0 X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 VALORE, PROBABILITA' CALCOLATA X = P =.008 X = P =.015 X = P =.024

29 X = P =.040 X = P =.076 X = P =.085 X = P =.087 X = P =.099 X = P =.167 X = P =.180 X = P =.192 X = P =.202 X = P =.202 X = P =.246 X = P =.259 X = P =.259 X = P =.285 X = P =.294 X = P =.296 X = P =.307 X = P =.331 X = P =.348 X = P =.383 X = P =.386 X = P =.399 X = P =.408 X = P =.422 X = P =.426 X = P =.430 X = P =.441 X = P =.448 X = P =.472 X = P =.499 X = P =.504 X = P =.504 X = P =.510 X = P =.525 X = P =.537 X = P =.551 X = P =.555 X = P =.557 X = P =.565 X = P =.571 X = P =.573 X = P =.579 X = P =.589 X = P =.605 X = P =.609 X = P =.646 X = P =.665 X = P =.676 X = P =.678 X = P =.679 X = P =.680 X = P =.696 X = P =.721 X = P =.724 X = P =.735 X = P =.773 X = P =.775 X = P =.830 X = P =.846 X = P =.846 X = P =.876

30 X = P =.916 X = P =.924 X = P =.939 X = P =.960 X = P =.984 X = P =.989 X = P =.995 CURVE DELLE DISTRIBUZIONI DEL MASSIMO IN N ANNI CURVA NUMERO 1 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 2 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 3 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 4 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = *************************************************** DISTRIBUZIONE LOGNORMALE A 2 PARAMETRI A = E+01 B = E+02 TEST CHI QUADRO NUMERO CLASSI 14 X2 = P1 = P2 = MASS. LIV. SIGN. = VALORI CORRISPONDENTI AI TEMPI DI RITORNO ASSEGNATI T = 10.0 X = E+04 T = 50.0 X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 VALORE, PROBABILITA' CALCOLATA X = P =.003 X = P =.009 X = P =.016 X = P =.032 X = P =.069 X = P =.078 X = P =.081

31 X = P =.093 X = P =.166 X = P =.179 X = P =.192 X = P =.202 X = P =.202 X = P =.249 X = P =.262 X = P =.262 X = P =.289 X = P =.298 X = P =.300 X = P =.312 X = P =.336 X = P =.353 X = P =.389 X = P =.392 X = P =.405 X = P =.414 X = P =.429 X = P =.432 X = P =.437 X = P =.448 X = P =.455 X = P =.479 X = P =.506 X = P =.510 X = P =.511 X = P =.517 X = P =.532 X = P =.544 X = P =.558 X = P =.562 X = P =.564 X = P =.572 X = P =.577 X = P =.579 X = P =.585 X = P =.595 X = P =.611 X = P =.615 X = P =.652 X = P =.670 X = P =.681 X = P =.683 X = P =.683 X = P =.684 X = P =.701 X = P =.725 X = P =.728 X = P =.738 X = P =.776 X = P =.778 X = P =.831 X = P =.847 X = P =.848 X = P =.876 X = P =.916 X = P =.924 X = P =.938 X = P =.959

32 X = P =.983 X = P =.988 X = P =.994 CURVE DELLE DISTRIBUZIONI DEL MASSIMO IN N ANNI CURVA NUMERO 1 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 2 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 3 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 4 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = *************************************************** DISTRIBUZIONE GAMMA A 2 PARAMETRI ALFA = E-02 GAMMA = E+01 TEST CHI QUADRO NUMERO CLASSI 14 X2 = P1 = P2 = MASS. LIV. SIGN. = VALORI CORRISPONDENTI AI TEMPI DI RITORNO ASSEGNATI T = 10.0 X = E+04 T = 50.0 X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 VALORE, PROBABILITA' CALCOLATA X = P =.013 X = P =.024 X = P =.035 X = P =.055 X = P =.094 X = P =.103 X = P =.105 X = P =.118 X = P =.183 X = P =.195 X = P =.206

33 X = P =.215 X = P =.215 X = P =.255 X = P =.267 X = P =.267 X = P =.291 X = P =.299 X = P =.301 X = P =.311 X = P =.332 X = P =.347 X = P =.380 X = P =.382 X = P =.394 X = P =.402 X = P =.415 X = P =.418 X = P =.422 X = P =.432 X = P =.439 X = P =.461 X = P =.486 X = P =.490 X = P =.491 X = P =.496 X = P =.511 X = P =.522 X = P =.535 X = P =.539 X = P =.541 X = P =.548 X = P =.554 X = P =.556 X = P =.562 X = P =.571 X = P =.587 X = P =.591 X = P =.627 X = P =.646 X = P =.657 X = P =.659 X = P =.660 X = P =.661 X = P =.677 X = P =.702 X = P =.706 X = P =.717 X = P =.757 X = P =.759 X = P =.818 X = P =.835 X = P =.836 X = P =.868 X = P =.914 X = P =.923 X = P =.939 X = P =.962 X = P =.988 X = P =.992 X = P =.997

34 CURVE DELLE DISTRIBUZIONI DEL MASSIMO IN N ANNI CURVA NUMERO 1 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 2 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 3 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 4 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = *************************************************** DISTRIBUZIONE DI FRECHET A 2 PARAMETRI K = E+01 U = E+04 TEST CHI QUADRO NUMERO CLASSI 14 X2 = P1 = P2 = MASS. LIV. SIGN. = VALORI CORRISPONDENTI AI TEMPI DI RITORNO ASSEGNATI T = 10.0 X = E+04 T = 50.0 X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 VALORE, PROBABILITA' CALCOLATA X = P =.000 X = P =.000 X = P =.000 X = P =.000 X = P =.001 X = P =.002 X = P =.003 X = P =.006 X = P =.054 X = P =.068 X = P =.083 X = P =.096 X = P =.096 X = P =.161 X = P =.182

35 X = P =.182 X = P =.223 X = P =.238 X = P =.241 X = P =.259 X = P =.299 X = P =.325 X = P =.382 X = P =.386 X = P =.407 X = P =.420 X = P =.442 X = P =.447 X = P =.454 X = P =.469 X = P =.479 X = P =.513 X = P =.550 X = P =.556 X = P =.556 X = P =.565 X = P =.584 X = P =.599 X = P =.616 X = P =.621 X = P =.623 X = P =.633 X = P =.640 X = P =.642 X = P =.649 X = P =.660 X = P =.678 X = P =.682 X = P =.721 X = P =.740 X = P =.751 X = P =.752 X = P =.753 X = P =.754 X = P =.769 X = P =.791 X = P =.794 X = P =.803 X = P =.835 X = P =.836 X = P =.878 X = P =.889 X = P =.889 X = P =.909 X = P =.936 X = P =.941 X = P =.950 X = P =.963 X = P =.980 X = P =.984 X = P =.989 CURVE DELLE DISTRIBUZIONI DEL MASSIMO IN N ANNI CURVA NUMERO 1 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X =

36 N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 2 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 3 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 4 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = *************************************************** DISTRIBUZIONE DI WEIBULL A 2 PARAMETRI K = E+01 U = E+04 TEST CHI QUADRO NUMERO CLASSI 14 X2 = P1 = P2 = MASS. LIV. SIGN. = VALORI CORRISPONDENTI AI TEMPI DI RITORNO ASSEGNATI T = 10.0 X = E+04 T = 50.0 X = E+04 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 VALORE, PROBABILITA' CALCOLATA X = P =.034 X = P =.049 X = P =.063 X = P =.084 X = P =.120 X = P =.128 X = P =.130 X = P =.141 X = P =.196 X = P =.206 X = P =.215 X = P =.222 X = P =.222 X = P =.256 X = P =.265 X = P =.266 X = P =.285 X = P =.292 X = P =.293

37 X = P =.302 X = P =.320 X = P =.332 X = P =.360 X = P =.362 X = P =.372 X = P =.379 X = P =.391 X = P =.394 X = P =.397 X = P =.406 X = P =.412 X = P =.432 X = P =.455 X = P =.459 X = P =.459 X = P =.464 X = P =.477 X = P =.488 X = P =.501 X = P =.504 X = P =.506 X = P =.513 X = P =.519 X = P =.520 X = P =.526 X = P =.535 X = P =.551 X = P =.554 X = P =.591 X = P =.610 X = P =.622 X = P =.624 X = P =.625 X = P =.626 X = P =.643 X = P =.670 X = P =.674 X = P =.686 X = P =.730 X = P =.733 X = P =.801 X = P =.822 X = P =.823 X = P =.862 X = P =.918 X = P =.928 X = P =.948 X = P =.973 X = P =.996 X = P =.998 X = P = **** CURVE DELLE DISTRIBUZIONI DEL MASSIMO IN N ANNI CURVA NUMERO 1 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X =

38 CURVA NUMERO 2 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 3 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 4 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = *************************************************** DISTRIBUZIONE LOGLOGISTICA A 2 PARAMETRI ALFA = E+04 BETA = E+01 TEST CHI QUADRO NUMERO CLASSI 14 X2 = P1 = P2 = MASS. LIV. SIGN. = VALORI CORRISPONDENTI AI TEMPI DI RITORNO ASSEGNATI T = 10.0 X = E+04 T = 50.0 X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 T = X = E+05 VALORE, PROBABILITA' CALCOLATA X = P =.005 X = P =.010 X = P =.016 X = P =.028 X = P =.054 X = P =.061 X = P =.063 X = P =.072 X = P =.132 X = P =.144 X = P =.155 X = P =.164 X = P =.164 X = P =.210 X = P =.223 X = P =.223 X = P =.251 X = P =.261 X = P =.263 X = P =.275 X = P =.302 X = P =.321 X = P =.362 X = P =.365

39 X = P =.380 X = P =.391 X = P =.408 X = P =.412 X = P =.417 X = P =.430 X = P =.438 X = P =.467 X = P =.499 X = P =.505 X = P =.505 X = P =.512 X = P =.530 X = P =.544 X = P =.561 X = P =.566 X = P =.568 X = P =.578 X = P =.584 X = P =.587 X = P =.594 X = P =.606 X = P =.624 X = P =.629 X = P =.671 X = P =.692 X = P =.704 X = P =.706 X = P =.707 X = P =.708 X = P =.726 X = P =.752 X = P =.756 X = P =.766 X = P =.805 X = P =.807 X = P =.858 X = P =.873 X = P =.873 X = P =.898 X = P =.931 X = P =.937 X = P =.948 X = P =.964 X = P =.983 X = P =.986 X = P =.991 CURVE DELLE DISTRIBUZIONI DEL MASSIMO IN N ANNI CURVA NUMERO 1 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 2 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X =

40 N = X = N = X = CURVA NUMERO 3 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = CURVA NUMERO 4 PROBABILITA' DI NON SUPERAMENTO N = 10.0 X = N = 50.0 X = N = X = N = X = N = X = ***************************************************

41 20000 osservazioni Gumbel lognormale loglogistica Fréchet Gamma Weibull Q [m 3 s -1 ] T = 1000 anni T = 100 anni 5000 T = 10 anni 0 (2.5000) ln[-ln(p)] Po a Piacenza ( ): massimi annuali della portata al colmo Q

42 Po a Piacenza: distribuzione del massimo della portata al colmo in N anni P = P = P = P = Q [m 3s-1] P = P = P = P = Q = 3774 logn Q = 3774 logn Q = 3774 logn Q = 3774 logn N