L'ENTROPIA. Lezioni d'autore

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1 L'ENTROPIA Lezioni d'autore

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4 La funzione di distribuzione delle velocità (I) Nel grafico accanto sono riportati i numeri delle molecole di un gas, suddivise a seconda del valore delle loro velocità. Il gas è mantenuto alla temperatura di 900 K e, tramite alcuni tecniche sperimentali, si dividono le molecole nei diversi gruppi in funzione delle velocità misurate. La curva continua è la previsione teorica delle velocità, calcolata per questa temperatura, ottenuta per la prima volta da Maxwell nel 1859.

5 La funzione di distribuzione delle velocità (II) La funzione ricorda la curva della distribuzione degli errori (misure ripetute intorno al valore centrale più probabile), ma a differenza di questa non è simmetrica. L area delimitata dalla funzione e dall asse delle ascisse è uguale al numero N delle molecole che compongono il gas.

6 La funzione di distribuzione delle velocità (III) L espressione analitica della funzione di distribuzione dipende dalla temperatura assoluta in modo tale che all aumentare di T la curva si schiaccia e si allarga (il numero delle molecole è costante, quindi l area rimane la stessa).

7 La funzione di distribuzione delle velocità (IV) Per basse temperature, i valori sono assai concentrati e possono assumere un ristretto valore di velocità. Viceversa, all aumentare della temperatura, i valori possibili per le velocità aumentano e il valore massimo ha una frequenza inferiore ai casi precedenti.

8 Entropia e probabilità (I) Consideriamo il solito gas perfetto monoatomico contenuto in un recipiente A avente pareti rigide e conduttrici, immerso in un bagno termico. Tramite una valvola esso è collegato a un recipiente B, identico ad A, inizialmente vuoto.

9 Entropia e probabilità (II) Aprendo la valvola il gas diffonde e, aspettando un tempo sufficientemente lungo, la densità è uniforme nei due recipienti. Il termometro nel bagno termico non registra variazioni di temperatura. La trasformazione è isoterma quindi l energia interna del gas non può essere variata. Cosa si può dire dell entropia?

10 Entropia e probabilità (III) Se essa dipendesse solo dall energia non subirebbe variazioni. Invece, come abbiamo ripetuto più volte, in una trasformazione irreversibile senza scambi con l ambiente l entropia aumenta. La grandezza estensiva che cambia nella diffusione del gas è il volume che passa dal valore Vi = V A a Vf = VA+ VB =2 VA, quindi è probabile che l entropia sia una funzione del volume.

11 Entropia e probabilità (IV) In effetti la formula dell entropia di un gas perfetto monoatomico, non considerando la dipendenza dalla temperatura, assume la forma: S = R ln V + costante (con R costante dei gas) Dunque la variazione di entropia nella trasformazione isoterma risulta: DS = R ln 2VA- R ln VA= R ln (2VA/VA) = R ln 2.

12 Entropia e probabilità (V) Andiamo a visualizzare la situazione dal punto di vista microscopico. Le sferette sono gli atomi di gas. Fra tutte le situazioni possibili, in accordo alle considerazioni di Boltzmann, il gas evolve fino a raggiungere la densità uniforme nei due recipienti che corrisponde allo stato più probabile fra tutte le configurazioni possibili.

13 Entropia e probabilità (VI) Ma come si può calcolare la molteplicità delle configurazioni corrispondenti al particolare macrostato? La situazione iniziale (la possibilità che il gas rimanga solo nel recipiente A) è quella meno probabile. Si dice, in questo caso, che essa ha molteplicità 1 (vedremo tra poco come si valuta la molteplicità). Tutte le particelle sono in un solo recipiente. Diciamo anche che la sua entropia vale zero.

14 Entropia e probabilità (VII) La configurazione più probabile è invece quella in cui metà degli atomi si trova nel primo e l altra metà nel secondo volume. Il valore dell entropia è, per le considerazioni precedenti, R ln 2.

15 Entropia e probabilità (VIII) Per capire il modo di contare la molteplicità dei microstati iniziamo con una situazione molto diversa dal gas. Due urne A e B con una sola pallina numerata. I casi possibili sono solo 2 (la pallina è in A oppure in B). Con due palline i casi diventano 4. Con 3 otto e così via.

16 Entropia e probabilità (IX) Con N particelle abbiamo perciò 2N possibilità. Accettiamo per l entropia l espressione di PlanckBoltzmann S = k ln W, con W numero di microstati equivalenti (molteplicità) che corrispondono allo stato più probabile. Approssimiamo quindi: Wfinale=2N e Winiziale=1. Da cui: DS = k ln Wfinale=2N - 0 = kn ln 2. Ricordando infine che il gas è monoatomico, N è uguale al numero di Avogadro, si può infine scrivere per la variazione di entropia dell espansione isoterma dei gas: DS = R ln 2.

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