CALCOLO DELL'ENERGIA INTERNA

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1 CALCOLO DELL'ENERGIA INTERNA Enrico Valenti Matricola novembre ore 10,30-12,30 ( trasformazione a temperatura costante ) U 0 = 0 J energia ( J ) p 0 = 1 bar pressione ( Pa ) T 0 = 273 K temperatura ( K ) M massa ( kg ) c v capacità termica a volume costante ( J/K ) -1-

2 Q 0 1" = M c p ( T 1 + T 0 ) U= M c v ( T 1 + T 0 ) U 1 ' = U 0 + M c v ( T 1 + T 0 ) ma essendo U 0 = 0 e U = M c v T ( dove T è la temperatura espansa espressa in c ) U 1 ' = M c v T ENTALPIA ( H ) = U + p V U(t)+ M*R*T = H(t) L = Q - U = p 0 ( V 1 " - V 0 ) = M*R*( T 1 + T 0 ) H = H 1 - H 0 = U 1 - U 0 + ( p 1 V 1 - p 0 V 0 ) ma essendo U 1 - U 0 = M c v ( T 1 + T 0 ) e ( p 1 V 1 - p 0 V 0 ) = M*R*( T 1 + T 0 ) allora H = M c p T U = M c v T e non importa, ai fini del calcolo, che la reazione sia avvenuta, o meno, a pressione e volume costante in quanto queste grandezze sono funzioni di stato!!! L'ENTROPIA di un gas perfetto dipende da 3 variabili: S ( p, T ) S ( p, V ) S ( V, T ) Le curve isoentropiche sono, quindi, tridimensionali. -2-

3 Integrando i termine si hanno le seguenti: dh = du + d( pv ) dh = du + Vdp + pdv sostituendo du = dq - dl si ha dh = dq - dl - Vdp + pdv ma sapendo che dq = du + pdv dh - Vdp - pdv = dq - pdv Primo principio della termodinamica espresso in forma entalpica dh = dq + Vdp da cui dq = dh - Vdp ds = dq / dt = p*v = M*R*T ( dv+pdv ) / T = M*c v ( dt / T ) + ( M*R / V ) dv ( dh+vdp ) / T = M*c p ( dt / T ) + ( M*R / p ) dv p / T = (M*R) / V V / T = (M*R) / p { A B M*c v ( dt / T ) + M*R ( dv / V ) = S B - S A = B A M*c P ( dt / T ) - M*R ( dp / p ) = M*c v * ln ( T B / T A ) + M*R*ln ( V B / V A ) = { M*cp * ln ( T B / T A ) - M*R*ln ( p B / p A ) -3-

4 dove la prima formula esprime S in funzione di pressione e temperatura mentre la seconda in funzione di volume e temperatura. Combinando le due equazioni precedenti, si ottengono le seguenti: p A * V A = M* R* T A p B * V B = M* R* T B facendo il rapporto p A * V A = T A p B * V B = T B andando a sostituire S B - S A = M*c v * ln ( T B / T A ) + M*R*ln ( V B / V A ) = = M*c v * ln ( p B * V B / p A * V A ) + M*R*ln ( V B / V A ) = = M*c v * ln ( p B / p A ) + M*c v * ln ( V B / V A ) + M*R*ln ( V B / V A ) = = M*c v * ln ( p B / p A ) + M*c p * ln ( V B / V A ) che rappresenta la formula di calcolo di S in funzione di pressione e volume. Questa espressione, inoltre, mette in luce le curve isoentropiche, ovvero, il luogo dei punti delle reazioni reversibili adiabatiche. ( fascio delle isoterme e la trasformazione adiabatica ) c v * ln ( p B / p A ) + c p * ln ( V B / V A ) = 0 c v * ln ( p B / p A ) = c p * ln ( V B / V A ) ln ( p B / p A ) C V = ln ( V B / V A ) C P ( p B / p A ) C V = ( V B / V A ) C P -4-

5 p B C V *V B C P = p A C V *V A C P p B *V B (C P /C V ) = p A *V A (C P /C V ) ponendo cp / cv = γ otteniamo l'equazione della curva adiabatica : p*v γ = k con k = cost. Da notare che γ > 1 sempre!!! Ciò è spiegabile col fatto che cp > cv. Questa equazione determina la legge di espansione dei gas ed il suo grafico è costituito da una curva più ripida di quella che rappresenta l'isoterma. Esercizio 1 ( pistone ) Dati: p 1 = 45 bar T 1 = 450 c cp = 1005 ( J/K ) cv =717 ( J/K ) γ = cp / cv = 1,40 M = 1 kg Richieste: L? -5-

6 Svolgimento: Poiché la reazione è reversibile, è possibile stabilire che γ γ p 1 *V 1 = p 2 *V 2 (1) e quindi, sapere che l'entropia del punto 1 è pari a quella del punto 2. p 1 *V 1 = M* R* T V 1 = ( M* R* T ) / p 1 Andando a sostituire nella (1) V 1 si ha p 1 * [( M* R* T 1 ) / p 1 ] γ = p 2 * [( M* R* T 2 ) / p 2 ] γ è possibile semplificare M*R in entrambi i membri e quindi p 1 (1- γ ) * T 1 γ = p 2 (1- γ ) * T 2 γ (1-γ) / γ = (1-1,40)/1,40 = - 0,286 Possiamo così ottenere T 2 = T 1 *( p 1 / p 2 ) [(1- γ) / γ] = 723* (45/1) *( -0,286 ) = 243 K Volendo sapere il valore in C sottraiamo al risultato 273 ottenendo - 30 c Sapendo che la trasformazione è adiabatica, possiamo dire che Q = 0 e quindi U = Q - L = - L L = M* c v *( T 1 / T 2 ) = 1* 717* (450+30) = J Volendo sapere il lavoro effettivamente trasmesso all'albero, si dovrebbe togliere al risultato ottenuto, il lavoro dissipato sull'ambiente. -6-

7 Esercizio 2 "Lo scatolone adiabatico" Dati: Q = 0 J L = 0 J V 1 = 1 m 3 V 2 = 2 m 3 V 3 = 3 m 3 (essendo l'aria in uno scatolone adiabatico, abbiamo la conservazione del volume) T 1 = 100 C 373 K T 2 = 200 C 473 K p 1 = 1 bar p 2 = 10 bar R ARIA = 287 J/kg K Richieste: T 3? p 3? Svolgimento: Abbiamo 2 incognite e quindi dobbiamo trovare il sistema a due equazioni che ci dia le soluzioni cercate. Considerando che Q = 0 L = 0} U = 0 J { U3 = U 1 + U 2 M 3 = M 1 + M 2 Possiamo scrivere il seguente sistema: ma dall'equazione di stato, possiamo ottenere i seguenti risultati: { p 1 *V 1 = M 1 * R* T 1 p 2 *V 2 = M 2 * R* T 2 M 1 = (p 1 *V 1 ) / ( R* T 1 ) = ( * 1) / (287 * 373) = 0,934 kg M 2 = (p 2 *V 2 ) / ( R* T 2 ) = ( * 2) / (287 * 473) = 14,746 kg -7-

8 Quindi, sommando i risultati ottenuti, otteniamo che: M 3 = M 1 + M 2 =15,68 kg Per il sistema scritto sopra, sappiamo, inoltre, che: U 3 = U 1 + U 2 che è equivalente a scrivere: M 3 * c v * T 3 = M 1 * c v * T 1 + M 2 * c v * T 2 Dividendo entrambi i membri per c v otteniamo che: T 3 = ( M 1 * T 1 + M 2 * T 2 ) / (M 1 + M 2 ) = ( 0,934 * ,746 * 200 ) / ( 15,68 ) = 194 C Applicando di nuovo l'equazione di stato: p 3 *V 3 = M 3 * R* T 3 da cui p 3 = ( M 3 * R* T 3 ) / V 3 = [15,68 * 287 * ( )] / 3 = Pa 7 bar Esercizio 3 Condizioni del problema precedente con le variazioni indicate di seguito. Dati: V 1 = 1 m 3 (O 2 ) V 2 = 2 m 3 (N 2 ) T 1 = 100 C (O 2 ) T 2 = 200 C (N 2 ) p 1 = 1 bar p 2 = 2 bar Richieste: Composizione del miscuglio?t 3? V 3? p 3? % in moli? % in massa? -8-

9 Svolgimento: NOTA Composizione dell'aria: 21% O 2 79% N 2 ( % in moli ) 23,3% O 2 76,7% N 2 ( % in massa ) Il miscuglio che si otterrà coi dati del problema, sarà aria sintetica in cui sono alterate le percentuali di O 2 e N 2 rispetto all'aria che troviamo in natura; questo miscuglio prende il nome di nitrox. p 1 *V 1 = M 1 * R* T 1 R 1 = R 0 / µ 1 = / 32 = 259,812 J/kg K dove µ 1 è la massa molare dell'ossigeno. M 1 = (p 1 *V 1 ) / ( R 1 * T 1 ) = ( * 1) / (259,812 * 373) = 1,03 kg p 2 *V 2 = M 2 * R* T 2 R 2 = R 0 / µ 2 = / 28 = 296,928 J/kg K dove µ 2 è la massa molare dell'azoto. M 2 = (p 2 *V 2 ) / ( R* T 2 ) = ( * 2) / (296,928 * 473) = 2,85 kg M 3 = M 1 + M 2 = 3,88 kg % MASSA O 2 = M 1 / M 3 = 1,03 / 3,88 = 26,54 % % MASSA N 2 = M 2 / M 3 = 2,85 / 3,88 = 73,46 % n moli O 2 = M 1 / µ 1 = 1,03 / 32 = 0,00322 n moli N 2 = M 2 / µ 2 = 2,85 / 28 = 0,10178 % moli O 2 = n moli O 2 / (n moli O 2 + n moli N 2 ) = 0,00322 / ( 0, ,10178 ) = 24% % moli N 2 = n moli N 2 / (n moli O 2 + n moli N 2 ) = 0,10178 / ( 0, ,10178 ) = 76% U 3 = U 1 + U 2 da cui M 3 * c v3 * T 3 = M 1 * c v1 * T 1 + M 2 * c v2 * T 2-9-

10 c v3 = ( M 1 * c v1 + M 2 * c v2 ) / ( M 1 + M 2 ) = = (1,03 * ,85 * 724) / 3,88 = 700 J/kg K c v3 risulta, quindi, essere la media pesata dei c v dei due componenti!! T 3 = ( M 1 * c v1 * T 1 + M 2 * c v2 * T 2 ) / ( M 3 * c v3 ) = = (1,03 * 634 * 100 ) + ( 2,85 * 724 * 200 ) / ( 3,88 * 700 ) = 176 C p 3 *V 3 = M 3 * R 3 * T 3 R 3 = ( M 1 * R 1 + M 2 * R 2 ) / ( M 1 + M 2 ) = = ( 1,03 * 259, ,85 * 296,928 ) / 3,88 = 287 J/kg K p 3 = ( M 3 * R* T 3 ) / V 3 = [3,88 * 287 * ( )] / 3 = Pa 1,67 bar -10-