Scappatoie. Indicherò le scappatoie per le scuole superiori, con l intestazione scappatoie in sfondo celestino. Consideriamo la regressione lineare

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1 Scappatoie Indicherò le scappatoie per le scuole superiori, con l intestazione scappatoie in sfondo celestino. e rigore. Segnalerò con e rigore a sfondo rosso la trattazione corretta. E indicherò le parti dove è possibile reperire indicazioni più rigorose dal testo Ciullo G. «Introduzione al Laboratorio di fisica (Springer Verlag, 014, Milano). Consideriamo la regressione lineare

2 La verifica di una legge fisica La verifica di una legge fisica risulta di maggiore interesse e applicabile nelle scuole. Inoltre è un ottimo strumento didattico, per estendere tale verifica (che prenderà il nome di chi-quadro), anche alle distribuzioni di dati o comunque a istogrammi.

3 Scappatoie Quindi Yi - yi < δyi yi Yi 1 δyi yi Yi δy N i y Y min i i δyi

4 Ciullo G. Introduzione al laboratorio di Fisica e rigore. Pg 14 χ = y i Y i = σ i ( χi ) σ i = y min i Y i σ i ( ) varianza δy i

5 Scappatoie Pendenza massima dai i punti estremi punteggiata ymax =A + Bmax x su y1 - δy1 e yn + δyn e pendenza minima Retta tratteggiata ymin =A + Bmin x Su y1 + δy1 e yn - δyn 3,7 y =,44x - 0,868 y = 1,8538x + 0,189 Periodo di oscillazione del pendolo T [s] 3,,7, 1,7 Bms dal valore centrale δb dalla semidispersione 1, 0,50 0,70 0,90 1,10 1,30 massa [g] 1,50 1,70 1,90 Ams dal valore centrale δa dalla semidispersione

6 e rigore. y Y min i i σ i Dalla minimizzazione del χ si ottengono le migliori stime dei parametro A e B, avendo assunto che i dati seguano una relazione lineare del tipo Y=A+Bx. Fogli di calcolo forniscono tali valori

7 e rigore. Considero A e B, funzioni delle yi (xi non affette da errore o propagato su y) dalla propagazione delle incertezze Per il teorema del limite centrale A è gaussiana con varianza σα Programmi di analisi dati tali valori:propagazione.

8 e rigore.

9 e rigore. È utile considerare l enunciato

10 σy cos è invece? Scappatoie (y σy = Yi ) i d Distanza media (/N numero di punti coppie di dati) Statistica (/d gradi di libertà = numero di dati vincoli statistici) N σy = (y Yi ) i i d vincoli statistici- parametri utilizzati per la stima che si ottengono utilizzando i dati, osservare la formula per il numero di dati

11 σy cos è invece? P per N yi che seguono una la gaussiana di parametri Y, σy) P per n xi seguono G X, σ(x) e rigore.

12 e rigore.

13 PAUSA di meditazione Gauss: misure ripetute X (valore centrale) stimato da xmedia σ (punti di flesso) stimati da σx se gaussiana per il teorema del limite centrale Regressione: relazioni funzionali Y (valore centrale) stimato da A e B se retta Se tutte le yi gaussiane

14 Conseguenze per gaussiane Migliore stima di x, assunta la variabile gaussiana, dalla media aritmetica Incertezza statistica, comunque per più di trenta dati, assunta la gaussiana, σx. Incertezza totale δ somma in quadratura di εx e σx ed eventuale accuratezza + o ηx (vedi calibrazioni). Nocciolo duro per le scuole: se x gaussiana, incertezza statistica, teorema del limite centrale.

15 Conseguenze per regressioni Migliore stima dei parametri, con formule o «scappatoie». Incertezze totale δα e δβ, sia da formule (propagazione delle incertezze) che da valori centrali e semidispersione. Eventuale accuratezza (vedi calibrazioni) con leggi fisiche (esempi: caduta del grave e calorimetro).

16 Come possiamo verificare le ipotesi Partiamo dalla regressione: abbiamo ottenuto le stime dei parametri minimizzando il χ y Y min i i σ i yi Yi χ = = (χi ) σi o meglio yi Yi χ = = (χi ) δyi

17 La verifica del χ

18 Scappatoia σy = (yi Yi ) d σy (yi Yi ) N yi Yi = (χi ) N χ = δyi Considero δyi uguali per tutte le i o il valore medio se cambiano. 1 yi Yi χ = N (δy) 1 σ N = Y (y 1 χ = (σy N) N σy (δy) (δy) Yi ) i

19 per la verifica del χ Scappatoia Se σy δy La legge è appropriata per i dati: Invece di (δ y i ) (δ y i ) = ε y + σ Y i = ε y i una buona stima dell incertezza statistica è σy ( ) Scorciatoi a δy = + ε σ +σ y (δy ) = ε + σ y yi y Y

20 Scappatoie Se σy δy Possiamo abbattere l incertezza statitisca e quindi ricalcolare le incertezze su A e B Sconto per le superiori buone le stime e buona la legge niente ricalcolo

21 Stima sull interpolazione Ci permette di capire cosa vogliamo dire Incertezza sulla y dedotta dalla legge (interpolazione). Per esempio calibriamo un Sistema, ed usiamo il valore y dedotto da y=a+bx

22 Se possiamo accettare la legge? Se σy δy t [s] 8,15 7,95 7,75 δy = σ + ε Y 7,55 7,35 y 7,15 6,95 6,75 6,55 Tratteggio rosso rette Y+δY e Y-δY previsione al 68 % incluse le incertezza 6,35 1,60,10,60 3,10 n

23 Se non possiamo accettare la legge? 8,50 t [s] Se σy > δy 8,00 δy = σ + (δy) 7,50 Y 7,00 6,50 6,00 1,50,00,50 3,00 n 3,50 Non accettiamo la legge Forniamo comunque una stima per Y+δY e Y-δY al 68 % incluse le incertezze

24 e rigore.

25 e rigore.

26 e rigore. Per d > 100 χ = d Deviazione Standard = = ( d )1/

27 Altrimenti tabella della probabilità di ottenere Un chi-quadro ridotto (χ /d) > di quello osservato e rigore. Coda destra Verifica di significatività 1% Ipotesi da rigettare Legge non appropriata

28 O anche tabella della probabilità di ottenere Un chi-quadro ridotto (χ /d) < di quello osservato e rigore. Coda sinistra Verifica di significatività 1% Incertezze elevate

29 Estensione della verifica del χ Per le distribuzioni di tipo istogramma: Organizzo per classi e confronto quante occorrenze ho ottenuto in una classe con le aspettative calcolate per una gaussiana

30 Ogni gaussiana riconducile a G0,1(z) z= x X σ

31 Integrale normale tra zero e z (Tab)

32 Teorema della somma di Pearson Quante classi dobbiamo scegliere? Q tende alla funzione χ, se in ogni classe si aspettano Ek = npk >10

33

34 Sconto per le superiori χ / nclassi < 1 gaussiana χ / nclassi > 1 non gaussiana occorrenze Ok Verifica sui conteggi Istogrammi di Ok ed Ek , , , , ,8 5199, ,0 Non gaussiana x [s]

35 Sconto per le superiori χ / nclassi < 1 gaussiana χ / nclassi > 1 non gaussiana occorrenze Ok Verifica sul pendolo Istogrammi di Ok ed Ek x [s] 5163, , , , ,8 5199, ,0 Non gaussiana

36 Conclusioni L obiettivo di un esperienza del laboratorio, è fornire una misura, in ogni caso. La verifica di una legge fisica sicuramente risulta più diretta ed interessante. La verifica di una variabile gaussiana, un po artificiosa. Ma da quanto visto usare la deviazione standard del campione è conservativo. Per dati maggiori di trenta comunque se non si può verificare che sia gaussiana, comunque l incertezza statistica è stimabile con la deviazione Standarda del campione.