9 - Esercizi su Test di Ipotesi e Media Pesata

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1 9 - Esercizi su Test di Ipotesi e Media Pesata

2 Esercizio 1: Prese due risme di fogli di carta, la misura della lunghezza di un campione di 10 fogli presi a caso da ciascuna delle due risme fornisce i seguenti risultati - Risma A: 297.1, 296.9, 297.3, 297.5, 296.8, 297.0, 296.5, 297.3, 297.2, Risma B: 279.4, 278.9, 280.0, 279.1, 279.2, 279.5, 279.7, 278.8, 279.7, a) Calcolare media e deviazione standard dei due campioni b) Sulla base dei dati ottenuti e possibile affermare che i fogli contenuti nelle due risme sono di due diversi formati?

3 Soluzione Esercizio 1 (pag 1): a) l A = A = l B = b) B = P i l i,a qn A P i (l i,a l A ) 2 N A 1 = P i l i,b qn B P i (l i,b l B ) 2 N B 1 = = mm q = mm q N A N A 1 (l2 A l A 2 )=0.31 mm Le migliori stime di l A ed l B sono: l A = l A ± = ( ± 0.098) mm p A NA N B N B 1 (l2 B l B 2 )=0.38 mm l B = l B ± p B NB = ( ± 0.12) mm dove si e usata l incertezza sulla media, riportata con due cifre significative. Questi risultati sono ottenuti con N A = N B = 10 misure; possiamo approssimare le deviazioni standard campionarie calcolate a partire dai dati con le deviazioni standard delle gaussiane che descrivono le misure. Tipo di test di ipotesi: - coerenza tra due misure/esperimenti - distribuzioni gaussiane, deviazioni standard non note a priori - test a due code L ipotesi H 0 e che le due misure sono in accordo tra di loro ovvero i fogli sono dello stesso formato. Si tratta di un test di ipotesi a due code. Sotto questa ipotesi la variabile = l A l B e distribuita q secondo una gaussiana con A media 0 e deviazione standard pari a = ( p NA ) 2 B +( p NB ) 2 =0.15 mm. Si considera la statistica campionaria = che, sotto l ipotesi considerata, e distribuita come una gaussiana standardizzata G 0,1 ( ). Il valore misurato e mis = l A l B = = Quindi la misura si discosta deviazioni standard dal valore atteso della distribuzione; la probabilità che ciò si verifichi sotto l ipotesi H 0 e infinitesima. Pertanto l ipotesi può essere rigettata, ovvero i fogli sono di diverso formato.

4 Esercizio 2: E noto che il 25% di un certo tipo di seme normalmente germoglia. Per provare un nuovo stimolante della germinazione, 100 di tali semi vengono piantati e trattati con lo stimolante. Si osserva che 32 di essi germogliano. - Si può concludere che c e una evidenza significativa (a livello del 5%) che lo stimolante funziona?

5 Soluzione Esercizio 2: L ipotesi H 0 e che lo stimolante non funziona. L evento successo e il verificarsi che il seme germogli. Sotto l ipotesi formulata, la variabile casuale n (numero di semi che germogliano su 100 inseminazioni) e distribuita secondo una binomiale B N,p con N = 100 e p = 25% = Essendo N relativamente grande (> 10-20) mi trovo nel limite gaussiano: B N,p! G µ, con µ = Np = 25 e = p Np(1 p) =4.3. Il valore misurato e n mis = 32. Sono interessato a calcolare la probabilità di avere un valore di n maggiore o uguale a quello osservato. Si tratta di un test ad una coda in quanto voglio verificare che lo stimolante funzioni, cioè che aumenti il numero di semi che germogliano. P (n n mis )=P(n 32) R G µ, (n)dn = 50% Q(t mis )=6.7% dove =1.5. t mis = Quindi P (n n mis ) 6.7% > = livello significativo = 5%! l ipotesi H 0 deve essere accettata, ovvero lo stimolante non funziona. Tipo di test di ipotesi: - coerenza tra una misura/esperimento ed un modello - distribuzione binomiale con parametri noti - test ad una coda NOTA: la probabilità P (n n mis ) 6.7% e molto vicina al valore limite del 5% ma non abbastanza piccola da superare la soglia per poter rigettare l ipotesi ed a ermare che lo stimolante funziona. La scelta del livello significativo si fa prima di eseguire la misura e sia applica poi al test qualunque sia il risultato. Questo garantisce imparzialità ed oggettività scientifica nell accettare o rigettare una ipotesi.

6 Esercizio 3: Tre studenti misurano la stessa resistenza R parecchie volte e le loro migliori stime sono: - studente 1: R1 = 11 +/- 1 Ω - studente 2: R2 = 12 +/- 1 Ω - studente 3: R3 = 10 +/- 3 Ω a) Verificare con un metodo grafico che le tre misure sono tra loro compatibili b) Qual e la miglior stima per la resistenza R con la sua incertezza?

7 Soluzione Esercizio 3: a) E immediato verificare anche solo graficamente che le 3 misure sono in accordo tra loro in quanto si toccano le barre di errore. Ha quindi senso combinare statisticamente i risultati. b) La miglior stima di R si ottiene con una media pesata delle 3 misure. R 1 =1, w 1 = 1 2 R1 =1 2 R 2 =1, w 2 = 1 2 R2 =1 2 R 3 =3, w 2 = 1 2 R3 = R P = w 1R 1 +w 2 R 2 +W 3 R 3 w 1 +w 2 +w 3 = R P = p w1 +w 2 +w 3 =0.69 Quindi la miglior stima di R e R = (11.4 ± 0.7), riportando l incertezza con una sola cifra significativa. NOTA: e interessante ricalcolare la media pesata escludendo la misura con incertezza maggiore R 3. Si ottiene: R = (11.5 ± 0.7). Il risultato e simile a quello corretto in cui tutte le misure sono incluse in quanto la misura R 3 ha un peso piccolo (errore grande) nella media pesata.