Σ x P(x)=1 (**) dove per Σ x si intende sommatoria su tutti i valori x, che può acquisire la variabile X.

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1 Lezione 10 Variab. discrete: funzione di P o distribuzione di P Una funzione casuale può essere, p.e., la probabilità, che associ ad ogni valore della variabile casuale o aleatoria X la probabilità P f(x)= P(X=x) La funzione probabilità deve soddisfare le seguen< relazioni P(x) > 0 (*) Σ x P(x)=1 (**) dove per Σ x si intende sommatoria su tutti i valori x, che può acquisire la variabile X. La (**) è nota anche come normalizzazione. 1

2 Valori medi e aspe=a9ve. Possiamo estendere gli s9matori sta9s9ci introdo: per le misure ripetute a qualsiasi 9po di variabile casuale e funzione di probabilità F(E) media x = nclassi k=1 P(E) Valore di aspettazione E[X] E[X] = Fk xk Varianza della popolazione σ = x nclassi k=1 Fk ( xk x ) nclassi k=1 Pk xk = µ X varianza della distribuzione di probabilità V[X] = nclassi k=1 = nclassi k=1 Pk ( xk E[X]) = x k Pk µ X Richiami alla lavagna della derivazione delle formule

3 Funzione di ripar9zione o cumulata La funzione di probabilità fornisce la probabilità per una data variabile X casuale. Risulterà u9le anche la funzione di ripar9zione, o funzione della probabilità cumulata F(x), che fornisce la probabilità che una variabile casuale X sia minore o uguale di un valore x! F(x) = P(X x) = u x P(u) A=enzione: Se X assume un numero finito di valori x 1, x,, x n F(x) risulta: F(x) = f (x 1 ) f (x 1 )+ f (x )! 0 < x < x 1 f (x 1 )+ f (x )+"+ f (x n ) x 1 x < x x x < x 3! x n x < Fatelo come esercizio 3

4 Distribuzioni di probabilità con9nue Se X è una variabile casuale continua la probabilità, che essa assuma un valore x definito è molto bassa, praticamente nulla, si può fornire invece un intervallo dentro il quale ci aspettiamo possa trovarsi. Riprendiamo le considerazioni sulle osservazioni di misure ripetute, che infah fornisco un intervallo entro cui può trovarsi il valore misurato. Si pensi agli istogrammi delle misure, le cui classi individuano l intervallo di misura. Δx k Area del reo.= = f k Δ x k La descrizione appropriata è par<ta dalle occorrenze n k nell intervallo di misura, per poi fornire la frequenza F k, per infine fornire la densità di frequenza f k = F k, / Δx k. L area dei rettangoli f k Δx k res<tuisce le frequenze nell intervallo di misura, k-esimo, considerato. n classi Σ k=1 F k Δx k = Σ Δx k k=1 n classi ( f k )Δx k =1 lim n classi n classi f k Δx k = k=1 b f (x)dx; estesa a a e b a 4

5 Dalle densità di F alle densità di P lim F(E) = P(E) n nclassi k=1 fk ΔxK =1 f (x)dx = 1 x = Σxk fk Δxk E[X] = Valore medio sx = nclassi k x f (x)dx Valore di aspeoazione (xk x ) fk Δxk Varianza della popolazione * V[X] = Valore di aspeoazione (x E[X]) f (x)dx per la Varianza Nel passaggio dalle variabili discrete alle con<nue dovremmo usare la formula per la varianza della popolazione sx, per considerazioni sta<s<che la migliore s<ma è σ x = sx[n/(n-1)] Derivazione delle formule per le densità di frequenza. 5

6 Calcolo delle probabilità con le densità di P Nel caso di variabili casuali continue la probabilità è data dall area sottesa dalla curva densità di probabilità. Data X una variabile casuale continua con densità di probabilità f(x) e dati a e b due valori di x con a < b, per le proprietà degli integrali definiti si ha : P(a < x < b) =P(a < x < b) = P(a < x < b) = P(a < x < b) b a = f (x)dx Dato che f(x) è una densità di probabilità la funzione deve anche soddisfare i seguenti criteri: 1 criterio: f (x) 0 per qualsiasi x, criterio: f (x)dx =1 assioma della certezza normalizzazione della densità di P Si ha ovviamente anche: P(X a) = P(X < a) = a f (x)dx P(X a) = P(X > a) = a f (x)dx 6

7 La funzione di distribuzione cumulata (var. con9nue) La funzione di distribuzione cumulata, o funzione di ripartizione è sempre data da F(x) = P(X < x), pertanto per una variabile continua risulta: F(x) = P(X x) = Relazione tra F(x) e f(x) x f (t)dt Derivando rispetto ad x la funzione di ripartizione si ottiene per le proprietà del calcolo differenziale e integrale che Cosa indica f(x) d dx F(x) = d dx P(x ε t x + ε ) = P(X x) = f (x) x+ε/ x ε/ f (t)dt ε f (x) La probabilità che X stia in un intorno di x di ampiezza ε è proporzionale a εf(x), quindi f(x) dà un indicazione di quanto sia probabile che i valori di X cadano vicino ad x. 7

8 La media di X con densità di probabilità f (x) E[X] = x f (x)dx il valore medio della variabile, detto valore di aspettazione, E[X], aspettativa, speranza matematica, o valore atteso, è indicato anche come E{x}, µ X o semplicemente µ. La varianza di X con densità di probabilità f (x) V[X] = (x E[X]) f (x)dx oppure x f (x)dx (E[X]) la varianza della variabile, è indicata anche come Var{x}, con σ X o semplicemente σ. La sua radice quadrata è detta deviazione standard della popolazione, Viene riportata anche come σ X o semplicemente σ. 8

9 terminologia Visto che nel caso di variabili con<nue si è deoa f(x) funzione densità di probabilità, è comune per le variabili discrete chiamare P(x)=P(X=x) funzione di massa di probabilità. Si chiamano rispehvamente anche semplicemente funzione di densità o solo densità, e funzione di massa o massa. 9

10 La mediana di X con densità di probabilità f (x) La mediana di un campione è stata definita come il valore che occupa la posizione centrale, una volta ordinati i valori in modo crescente, o la media dei due numeri centrali. Similmente la mediana di una variabile casuale continua, che segue una densità di probabilità f(x) è quel valore x m, tale che: Percen9li P(X x m ) = x m f (x)dx = 0.5 la mediana è quindi il 50-esimo percentile. Dato un numero 0 < p < 100, il p-esimo percentile di una popolazione è quel valore x p, tale che il p % dei valori della popolazione sono inferiori o uguali a x p. P(X x p ) = x p f (x)dx = p /100 10

11 Esercizi. Equivalenza delle formule per V[X] Si dimostri che V[X] = x f (x)dx (E[X]), utile nei casi pratici per i calcoli, equivale a V[X] = (x E[X]) f (x)dx che presenta in modo più evidente il suo significato. Densità di probabilità costante Per la misura di un singolo valore letto (xl), si può considerare la densità di probabilità costante in tutto l intervallo individuato dagli estremi x=xl + εx e si pone f(x) = c, si dimostri che il valore di aspettazione E[X]= xl e la varianza V[X] = εx/3. Densità di probabilità Gaussiana Gauss dall assunzione per una variabile aleatoria, che se compare un incertezza rispetto ad un valore atteso X, questa ha la stessa probabilità di comparire sia con il segno più, che con il segno meno, ne ricavò che la densità di probabilità come: f (x) = C e ( x X ) σ. Fare lo studio di funzione per descriverne le proprietà, poi applicare le regole delle funzioni di densità di probabilità ed infine ricavare che E[X] = X e V[X]=σ. Fornire anche il valore più probabile e la mediana. Svolgimento in classe alla. 11

12 Calcolare la probabilità nell intervallo individuato da µ +/- σ. Si calcoli sia per il caso della densità di probabilità costante (ovvero il caso di incertezze di lettura), che quello della densità di probabilità gaussiana, la probabilità di trovare un valore x compreso nell intervallo µ-σ < x < µ + σ. P(µ-σ < x < µ + σ ) Lezione 11 Nel caso di una densità di probabilità costante: P(xl εl / 3 < x < xl + εl / 3) Svolgimento in classe degli esercizi Nel caso di una gaussiana: P(X-σ < x < X + σ ). 1

13 Per il calcolo delle probabilità tra due valori di una variabile gaussiana si u<lizza la Tabella A. 1, spiegata in appendice A, e qui riportata. 13

14 Dalla Tabella A.1 dell integrale normale si può ricavare l area di qualsiasi intervallo individuato dalle variabili standardizzate z 1 e z. I suddetti valori di z, dedotti dagli intervalli di una variabile generica x sotto studio, come estremi dell intervallo x 1 = a e x = b. Posso osservare che se chiamo z 1 = (x 1 X )/σ e z = (x - X)/σ z 1 = (a - X)/σ e z = (b - X)/σ, si ha: a=x + z 1 σ e b = X + z σ Pertanto la variabili standardizzata fornisce la costante che moltiplica σ da usare nella Tabella A.1 per il calcolo delle probabilità. 14

15 Guida al percorso del corso Molti testi affrontano per settori gli argomenti, quindi tutta una serie di informazioni, che riguardano la teoria delle probabilità, con varie distribuzioni, teoremi, e operazioni su variabili casuali, poi la statistica, e ancora una serie di Noi puntiamo a obiettivi di utilizzo pratico e ingegneristico immediato, e affrontiamo gli argomenti teorici al fine della comprensione del loro utilizzo pratico. Affronteremo ora la gaussiana per avere il quadro degli argomenti, sia relativi alla probabilità, che alla statistica, dopodiché, una volta che lo studente si è fatto le ossa sulla gaussiana, che è la distribuzione principe per le discipline scientifiche, sarà utile affrontare la regressione e la verifica di una legge fisica, che ci introdurrà in modo più immediato alla verifica di ipotesi, poi riprenderemo ad affrontare altre distribuzioni, nonché i supporti teorici essenziali. Questa parte è quanto presentato nel cap. 8 del libro di G. Ciullo, fornito dal docente. 15

16 Proprietà della Gaussiana La densità di probabilità di Gauss, detta anche normale, risulta normalizzata, se espressa come: La speranza matematica E[X]: E[X] = G X, σ (x) = σ 1 π e (x X ) σ. xf (x)dx = xg X, σ (x)dx = X Attenzione: X in E[X] indica la variabile casuale X, che può assumere valori x ]-, [, mentre in G X, σ (x) X è la centralità della curva. Inoltre la speranza matematica E[X] per la variabile X che segue una gaussiana, frutto della definizione e del calcolo, risulta uguale alla centralità X della curva. La varianza di una variabile che segue una gaussiana: V[X] = (x X) f (x)dx = (x X) G X, σ (x)dx = σ risulta il quadrato del parametro σ, che individua la distanza da X dei due punti di flesso, pertanto la sua radice è utilizzata come dist. stand.: deviazione standard della popolazione. 16

17 Gauss: probabilità di o=enere un risultato Dato che la gaussiana è una densità di probabilità, possiamo ricavare la probabilità di ottenere un risultato compreso tra x 1 e x da: se espressa come: P(x 1 x x ) = x G X, σ (x)dx. x 1 Operativamente: troviamo le corrispondenti variabili standardizzate, z 1 e z, successivamente dalla tabella dell integrale normale A.1, possiamo ottenere l area sottesa dalla curva per qualsiasi intervallo. Vediamo tali probabilità per intervalli delimita< proprio dal parametro σ, p.e. per gli intervalli, x [X-σ, X+σ], x [X-σ, X+σ], x [X-3σ, X+3σ], che per la variabile standardizzata z diventano z [-1, +1], z [-, +], z [-3, +3]. 1 P(entro ±σ ) = e z dz = e z dz= P(entro ± σ ) = e z dz = e z dz= Come esercizio, fornite le probabilità a lato u<lizzando la tabella A.1 3 P(entro ± 3σ ) = e z dz = e z dz=

18 Gauss: probabilità e connessione con i da9 Attenzione Analisi matematica Finora abbiamo parlato delle peculiarità analitiche della curva di Gauss: centralità X, nonché massimo relativo, simmetria, punti di flesso σ. Probabilità Dato che la gaussiana è una densità di probabilità, abbiamo parlato di probabilità, a priori, ovvero un modello teorico, e abbiamo quindi dedotto che l aspettativa matematica e la varianza per una gaussiana risultato pari rispettivamente a X e σ. X pertanto, essendo il valore per cui si ha un massimo della densità di probabilità, è anche il valore più probabile ovvero la moda, inoltre dato che è anche il 50-percentile è anche la mediana. Adesso affrontiamo la connessione di questa funzione ideale, la gaussiana, con i dati osservati sperimentalmente. 18

19 Principio di massima verosimiglianza La densità di probabilità di Gauss è quanto ci aspettiamo per n ( la popolazione), ma noi abbiamo un campione di dati rilevati, che è finito. Abbiamo anticipato, che nel caso di misure ripetute, la migliore stima della misura di una grandezza è la media aritmetica, ora possiamo giustificare tale affermazione. Abbiamo visto che la probabilità di ottenere un dato risultato x 1 che segue una densità di probabilità f(x), prendendo un intervallo infinitesimo di larghezza ε è prop. a ε f(x), proporzionale alla larghezza stessa dell intervallo e alla densità di probabilità (facendo appello al calcolo differenziale potremmo dire equivalentemente che il differenziale della probabilità è proporzionale alla densità di probabilità per il differenziale dx: dp=f(x) dx). Quindi la probabilità di ottenere un determinato x i è proporzionale a f(x i ), nel caso di una gaussiana si avrà: P(x i ) ~ G X, σ (x i ) Supponiamo di avere una serie di osservazioni x i per i =1,, n quale sarà la probabilità P(x 1, x,, x n ) di osservarle tutte? Se ogni osservazione è stocasticamente indipendente da qualsiasi altra, la probabilità di ottenerle tutte sarà data dal prodotto delle probabilità di ottenere ogni singola misura P(x i ) : P(x 1, x,, x n ) =P(x 1 ) P(x ) P (x n ). 19

20 Trovare X e σ più verosimili per le n osservazioni Il problema è quindi trovare i parametri X e σ più verosimili per i dati sperimentali. Ci aspettiamo che questi valori forniscano la probabilità massima di ottenere i risultati osservati sperimentalmente, questa premessa prende il nome di principio di massima verosimiglianza. Per trovare il parametro X più verosimile, proviamo a cambiarlo fino a ottenerne uno che dia il massimo della probabilità, espressa dal prodotto delle probabilità. Per rendere evidente che è X che varia, riscrivo P come funzione di X, cioè P(X) ed esplicito la funzione gaussiana: P(X)= P(x1, x,, xn) =P(x1) P(x) P (xn) ~ n 1 ~ e ( x1 X ) σ σ 1 ( x X ) e σ σ 1! e ( xn X ) σ σ ( xi X ) 1 i=1 = ne σ σ Quindi risulta che la probabilità di ooenere tuoe le n osservazioni, espressa in funzione del parametro X, della curva ideale G X, σ(x) che dobbiamo determinare risulta: n 1 P(X) ~ n e σ ( xi X ) σ i=1 per il principio di massima verosimiglianza P(X) deve essere massima, ovvero bisogna trovare il massimo della funzione P(X), funzione di X.il parametro della curva. Studio della probabilità massima alla. 0

21 La miglior s9ma di X è la media per Per variabili-grandezze che seguono la distribuzione di Gauss la migliore stima del parametro X, ovvero la centralità della gaussiana è data dalla media aritmetica. Possiamo allo stesso modo ottenere la migliore stima della varianza. σ più verosimili per le n osservazioni In questo caso vogliamo trovare la σ per la quale si ha il massimo di probabilità di ottenere tutti gli n dati, per cui guarderemo la proporzionalità della probabilità come funzione di σ. n ( xi X ) σ 1 i=1 e n σ Studio della probabilità massima rispe=o a σ alla P(σ ) ~. La miglior s9ma di σ è Σ(xi X) σ ms (ideale) = n la migliore stima della deviazione standard è la deviazione standard della popolazione. 1

22 Ma non conosciamo X Nella formula della migliore stima del parametro σ dai dati (campione) è presente X, che non conosciamo, del parametro abbiamo una stima utilizzando i dati: Σxi Σ(x x ) i X ms = x = : σ ms (statistica) = n n 1 deviazione standard del campione. Ci sono tre argomen< che supportano tale scelta Ø Σ(xi x ) Σ(xi X) sostituendo a X con la sua stima che è la media, si ha che σ sarà sottostimato, per cui gli scarti quadratici vanno moltiplicati per una costante maggiore di uno, n/n-1 è maggiore di uno. Ø Abbiamo già visto che nel caso di un solo dato sx=0/1 che è assurdo, mentre σx =0/0, che quindi risulta indeterminata con un solo dato! Ø Nel calcolare uno stimatore statistico, come valore medio, si deve dividere per i gradi di libertà statistici d (da degree of freedom ), in questo caso n il numero di dati meno i vincoli c (da constrains ) vincoli statistici. I vincoli statistici sono quei parametri, utilizzati nello stimatore, ottenuti dai dati sperimentali, in questa caso la media, perché X è stimato con la media dei dati. Dimostrazione della disuguaglianza nel primo argomento alla.

23 Densità triangolare Si dimostra che in presenza di una grandezza X dedotta dalla combinazione di due grandezze a densità costanti si ottiene una densità di probabilità triangolare. Cambiamo variabile z= x-x, in modo da avere una semplificazione nei calcoli e otteniamo le relative speranza matematica e varianza. È facile calcolare (si faccia come esercizio) le probabilità negli intervalli delimitati dalla deviazione standard (ottenuta dalla radice quadrata della varianza) che qui etichettiamo σ f (vedi dopo). Si ohene per le probabilità { tra + 1 σ f tra + σ f Gauss tra + 3 σ f 1.00 ~ tra } tra + 1 σ tra + σ σ = σ f 3

24 Le probabilità per una densità triangolare, sono molto simili alle probabilità della gaussiana, negli stessi intervalli individua< dalle rispehve σ. Questo argomento è di notevole importanza, una volta che verrà introdooo il teorema del limite centrale. [16]A. Rotondi, P. Pedroni, A. Pievatolo - Probabilità Sta,s,ca e Simulazione (Springer Verlag, 01, Milano). 4