Un elenco di esercizi per il corso Matematica docente: Alberto Dolcetti

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1 Un elenco di esercizi per il corso Matematica docente: Alberto Dolcetti Ricevo molti messaggi di posta elettronica che suggeriscono varie soluzioni per gli esercizi proposti. Questo non mi dispiace perchè mostra interesse per il corso. Purtroppo, data la mole, non mi è possibile prendere in considerazione tutte le soluzioni. D'altra parte molti messaggi si limitano a proporre delle soluzioni per gli esercizi numerici e a chiedere se vanno bene. Molto spesso si tratta di veriche alla portata di tutti ottenibili per confronto diretto con i dati degli esercizi. In caso di incertezza (ma non solo) può essere istruttivo confrontarsi con qualche collega del corso (oltre che con me, durante l'orario di ricevimento studenti). Inne il processo (il metodo) é per molti versi più importante del prodotto (il risultato), semplicando un po': un esercizio condotto con un buon metodo, ma sbagliato (per futili motivi) nel risultato è largamente preferibile ad una soluzione numericamente esatta, ma ottenuta per caso con metodi scorretti. Invito a (ri-)leggere quanto aermato nella sezione Qualche consiglio per lo studio.. Scrivere la tavola di verità delle proposizioni: a) P (P Q) b) P (P Q) c) R R d) S S e) (A B) ( A B) f) (P Q) ( P Q) g) P ( P Q) h) P ( P Q) i) (A B) A j) ( (A B) A) k) (P Q) (P Q) l) ((P Q) (P Q)) m) P (Q P ) n) P (Q P ) o) (Q P ) ( Q P ) p) (P Q) Q q) (P Q) (Q P ) r) (P Q) (Q P ) Mostrare che le seguenti coppie di proposizioni sono logicamente equivalenti a) (P Q), P Q b) (P Q), P Q (le precedenti sono note come leggi di De Morgan). c) P Q, Q P 1

2 Quando la proposizione (P Q) Q è vera, che cosa si può dire di P? Ossia P può essere solo vera, oppure solo falsa, oppure sia vera che falsa? (Suggerimento si scriva, ad esempio, la tavola di verità della proposizione, si considerino i casi in cui questa è vera e si guardi ai corrispondenti valori di P. Si prcerchi, se possibile, anche di risolvere l'esercizio senza scrivere esplicitamente la tavola di verità. Dati un insieme arbitrario U e due suoi sottoinsiemi qualsiasi X, Y U, mostrare che valgono le seguenti uguaglianze (leggi di De Morgan): a) U \ (X Y ) = (U \ X) (U \ Y ) b) U \ (X Y ) = (U \ X) (U \ Y ) In ciascuna delle situazioni indicate di seguito determinare esplicitamente lo spazio degli eventi S e i sottoinsiemi A, B corrispondenti; determinare i loro complementari S \ A, S \ B ed enunciare gli eventi corrispondenti; determinare unione e intersezione A B, A B ed enunciare gli eventi corrispondenti; inne vericare le formule insiemistiche n(a) + n(s \ A) = n(s), n(b) + n(s \ B) = n(s), n(a B) + n(a B) = n(a) + n(b) e quelle probabilistiche p(a) + p(s \ A) = 1, p(b) + p(s \ B) = 1 e p(a B) + p(a B) = p(a) + p(b). 1) Lancio di un dado (non truccato) con A corrispondente all'evento: esce un numero compreso fra 4 e 6 B corrispondente all'evento: esce un numero pari. 2) Estrazione di una pallina da un'urna contenente palline numerate da 0 a 20 con A corrispondente all'evento: esce un numero compreso fra 10 e 20 B corrispondente all'evento: esce un numero dispari. 2

3 Date 12 palline bianche indistinguibili al tatto, è possibile, aggiungendo solo delle palline rosse, ottenere un'urna tale che la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 3 4? Date 12 palline bianche indistinguibili al tatto, è possibile, aggiungendo solo delle palline rosse, ottenere un'urna tale che la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 4 3? Date 12 palline bianche indistinguibili al tatto, è possibile, aggiungendo solo delle palline rosse, ottenere un'urna tale che la probabilità di estrarre una pallina rossa sia 3 4? Date 12 palline bianche indistinguibili al tatto, è possibile, aggiungendo solo delle palline rosse, ottenere un'urna tale che la probabilità di estrarre una pallina rossa sia 2 7? Un'urna contiene: 35 palline bianche e 9 rosse indistinguibili al tatto. Modicando eventualmente solo il numero delle palline bianche è possibile ottenere un'urna con la proprietà che la probabilità di estrazione di una pallina rossa sia uguale a 3/5? Un'urna contiene: 35 palline bianche e 10 rosse indistinguibili al tatto. Modicando eventualmente solo il numero delle palline bianche è possibile ottenere un'urna con la proprietà che la probabilità di estrazione di una pallina rossa sia uguale a 3/5? Il problema alle pagine 1920 di [Sciolis Marino] ha creato in diversi casi qualche dicoltà prevalentemente a livello di visualizzazione della situazione geometrica. Si provi sulla falsariga di quello a risolvere prima un problema più semplice, prendendo per esempio un cubo tagliato in 27 o in 64 cubetti. Un'urna contiene 6 palline rosse e 7 verdi indistinguibili al tatto. Distinguendo i due casi in cui le estrazioni avvengano con o senza reimbussolamento, determinare la probabilità che in due successive estrazioni escano nell'ordine a) due palline rosse 3

4 b) due palline verdi c) prima una pallina rossa e poi una verde d) prima una pallina verde e poi una rossa e che in tre successive estrazioni escano nell'ordine f) prima due palline rosse e poi una verde g) prima due palline verdi e poi una rossa h) prima una pallina rossa e poi una verde e inne di nuovo una rossa i) prima una pallina verde e poi due rosse Per ciascuna delle seguenti coppie di frazioni trovare quella più grande e scrivere esplicitamente almeno una frazione compresa fra le due: a. 2, 5 b. 2, 4 c. 2, d. 2, 4 e. 2, 4 f. 2, e. 5, 2 h. 8, 7 i. 10, j. n 1, n, dove n è un artitrario numero naturale 1. n n+1 Svolgere in colonna le seguenti operazioni e argomentare i procedimenti svolti ricorrendo alle proprietà formali delle operazioni: a = b = c = d = e = f = g = h = i = j = k }{{} 11 = l = 32 volte m = n }{{} 9 volte }{{} 9 volte = o }{{} 10 volte }{{} = 10 volte Calcolare ( 1) 2, ( 1) 3, ( 1) 4, ( 1) 5, ( 1) n, dove n è un numero intero positivo. Se a è un numero relativo intero o razionale arbitrario, è possibile collocare in ordine crescente 0, a, a? E invece 0, a, a? 4

5 Riscrivere in ordine crescente le seguenti successioni di numeri: a. 5; 5 ; 0; 1; 5 ; 1; 5 ; 5 ; 1; 2; 2 b. 3; 3 3 ; 0; 1; ; 1; 3; 3 ; 3 ; 4; 4 4 ; ; 4; 4 ; ; 2; 2 3 Stabilire quali fra le seguenti coppie di frazioni sono equivalenti: 374 a., ; b , ; c., 2079 ; d. 374, ; e., Dimostrare che sono irrazionali tutti i numeri seguenti (si veda anche Radice di 2 non è razionale, in Esercizi suggeriti e note del docente, alla Bibliograa del corso): a. 8 b. 18 c. 32 d. 2t 2, con t numero naturale arbitrario t 1 e. 12 f. 27 g. 48 h. 3t 2, con t numero naturale arbitrario t 1 Trovare una sviluppo decimale per ciascuno dei seguenti numeri razionali a. 2 b. 3 c. 14 d. 1 e. 6 f. 2 g. 3 h. 14 i. 1 j k. l. 39 m. 14 n o. p. q. r. 1 s t Dimostrare che se a è un numero naturale divisibile per 5 e b è un numero naturale divisibile per 7, allora il prodotto a b è divisibile per 35. Dimostrare che la somma di tre numeri naturali consecutivi qualsiasi è divisibile per 3. Esempi di esame scritto di Matematica 1. Durante l'esame scritto è possibile consultare testi ed appunti. E' inoltre consentito l'uso di calcolatrici tascabili, purché non incorporate in un telefono cellulare. Il punteggio degli esercizi 1, 2, 3, 4, 5, 6 è: 3 per ogni risposta esatta, -1 per ogni 5

6 risposta sbagliata o multipla, 0 per ogni risposta lasciata in bianco. Gli esercizi 7 e 8, la cui soluzione deve essere adeguatamente argomentata, valgono di norma al più 7 punti. Tale limite può essere superato in caso di svolgimento particolarmente interessante. Tempo massimo: 50'. 1. L'insieme dei numeri primi maggiori di a è sicuramente un insieme innito b è sicuramente un insieme nito c non è noto se sia nito o innito 2. Disporre in ordine crescente le frazioni 1 2, 27 26, 6 11, 2 7. a 2; 1; 6 ; b 1; 2; 6 ; c nessuna delle precedenti è corretta 3. Il doppio di 9 11 è a b c nessuna delle risposte precedenti è corretta 4. Il numero 6 42 a ha uno sviluppo decimale innito non periodico b ha uno sviluppo decimale nito c ha solo uno sviluppo decimale innito periodico 5. La proposizione ( R S) a può essere sia vera che falsa b è sempre vera c è sempre falsa 6. Quando la proposizione R S è vera, che cosa si può dire di S? 6

7 2. a S può essere solo vera b S può essere solo falsa c S può essere sia vera che falsa 7. Un'urna contiene 16 palline gialle, è possibile aggiungendo solo delle palline rosse ottenere un'urna tale che la probabilità di estrarre una pallina gialla sia 4 5? 8. Dimostrare che 2 3 non è un numero razionale. Durante l'esame scritto è possibile consultare testi ed appunti. E' inoltre consentito l'uso di calcolatrici tascabili, purché non incorporate in un telefono cellulare. Il punteggio degli esercizi 1, 2, 3, 4, 5, 6 è: 3 per ogni risposta esatta, -1 per ogni risposta sbagliata o multipla, 0 per ogni risposta lasciata in bianco. Gli esercizi 7 e 8, la cui soluzione adeguatamente argomentata deve essere svolta sul retro di questo foglio, valgono di norma al più 7 punti. Tale limite può essere superato in caso di svolgimento particolarmente interessante. Tempo massimo: 50'. 1. Dalla relazione 46 = si deduce che a 6 è il resto della divisione 46 : 5 b 6 è il resto della divisione 46 : 8 c 6 è il resto di entrambe le divisioni 46 : 5 e 46 : 8 2. Fra le frazioni 11 e a non ce ne sono altre b ce ne sono innite altre c ce ne sono altre, ma complessivamente solo un numero nito 3. Il doppio di 15 è vale 11 a b c nessuna delle risposte precedenti è corretta 4. Il numero a ha uno sviluppo decimale nito 7

8 b ha solo uno sviluppo decimale innito periodico c ha solo uno sviluppo decimale innito non periodico 5. La proposizione (P P ) Q a può essere sia vera che falsa b è sempre vera c è sempre falsa 6. Quando la proposizione P Q è falsa, che cosa si può dire di Q? a Q può essere solo vera b Q può essere solo falsa c Q può essere sia vera che falsa 7. Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi con le facce numerate da 1 a 6, escano due numeri la cui somma sia Dimostrare che se a è un numero naturale divisibile per 5 e b è un numero naturale divisibile per 7, allora il prodotto ab è divisibile per 35. 8