4.3 Esercizi. (a) Qual è il numero massimo di cesti distinti che può formare?

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1 4.3 Esercizi Esercizio 4.1 Un pasticcere prepara dei cesti di 6 ovetti di cioccolato; questi possono avere la carta che li confeziona di 5 colori: Blu, Verde, Rossa, Bianca, Gialla. L ordine con cui sono collocati gli ovetti nel cesto non conta. (a) Qual è il numero massimo di cesti distinti che può formare?

2 110 Inclusione/esclusione (b) La pasticceria dispone di tutti i cesti che si possono formare in questo modo. Un signore compra tutti i cesti nei quali vi sia almeno un ovetto Blu o esattamente 2 ovetti Gialli. Quanti ne compra? Esercizio 4.2 In quanti modi è possibile dare 16 caramelle ad un bimbo, da un grande cesto contenente caramelle al limone, alla menta ed al rabarbaro, in modo che ne riceva esattamente 3 di almeno uno dei gusti? Esercizio 4.3 Determinare il numero di mani di 13 carte da un mazzo di 52, che hanno 4 Re, o 4 Assi, o esattamente quattro picche. Esercizio 4.4 Quante parole di 5 lettere si possono formare utilizzando un alfabeto di 26 lettere (con possibili ripetizioni) in modo che ogni parola cominci oppure finisca con una vocale? Esercizio 4.5 In quanti modi possiamo formare una sequenza di lunghezza 5 utilizzando un alfabeto di 3 lettere in modo che almeno due lettere consecutive coincidano? Esercizio 4.6 Supponiamo che in una libreria ci siano 200 libri, 70 in francese e 100 di argomento matematico. Quanti sono i libri non scritti in francese e di argomento diverso dalla matematica se ci sono 30 libri francesi di matematica? Esercizio studenti possono frequentare tre corsi di Matematica: Matematica Discreta, Analisi e Geometria. Ogni corso è seguito da 80 studenti. Ogni coppia di discipline ha 30 studenti in comune; 15 studenti frequentano tutte e tre le materie. (a) Quanti sono gli studenti che non frequentano nessuna delle tre discipline? (b) Quanti sono gli studenti che frequentano solo il corso di Matematica Discreta? Esercizio 4.8 Quanti sono i numeri tra 1 e 30 che sono primi con 30? Esercizio 4.9 Quante sono le 10 sequenze di I 9 nelle quali compaiono le cifre 1,2 e 3? Esercizio 4.10 Quanti sono i modi di distribuire 20 persone diverse in 3 aule in modo che in ogni aula vi sia almeno una persona? Esercizio 4.11 Quanti sono gli anagrammi di SALUMI dove si verifichi almeno una delle tre possibilità: (i) S precede A, (ii) A precede L, (iii) L precede U? Per precedere si intende che sia posizionata prima, non necessariamente immediatamente prima. Esercizio 4.12 I Brusegan, i Visentin e i Casarin hanno ciascuno 5 figli. Se i 15 figli campeggiano in 5 tende differenti, 3 per ogni tenda, e sono assegnati in maniera casuale alle 5 tende, qual è la probabilità che ogni famiglia abbia almeno due dei suoi figli nella stessa tenda?

3 4.3 Esercizi 111 Esercizio 4.13 Qual è la probabilità che una mano di 13 carte prese da un mazzo di 52 abbia: (a) almeno un seme mancante? (b) almeno una carta di ogni seme? (c) almeno una carta per ogni tipo di figura (cioè almeno un asso, almeno un jack, almeno una regina ed almeno un re)? Esercizio 4.14 Quante sono le 9-sequenze di I 3 nelle quali compaiono tre 1, tre 2 e tre 3, senza tre numeri uguali consecutivi? Esercizio 4.15 Quante sono le permutazioni delle 21 lettere dell alfabeto italiano che non contengono nessuna delle seguenti parole: ARCO, UVE, LUNA, GIN. Esercizio 4.16 In quanti modi si possono distribuire 25 palline identiche in 6 contenitori distinti in modo che vi siano al massimo 6 palline in uno qualunque dei primi 3 contenitori? Esercizio 4.17 Uno stregone ha 5 amici. Durante una lunga conferenza di stregoni, è andato a cena con ogni amico 10 volte, ogni data coppia di amici 5 volte, ogni data terna di amici 3 volte, ogni data quaterna di amici 2 volte ed una volta sola con tutti e 5 gli amici. Se inoltre lo stregone ha cenato 6 volte da solo, quanti giorni è durata la conferenza? Esercizio 4.18 Supponiamo che in un dipartimento di matematica vi siano 10 corsi che devono essere assegnati a 5 professori diversi. In quanti modi si possono assegnare a ciascuno dei 5 professori due corsi all anno in due anni accademici successivi in modo che nessun professore insegni gli stessi 2 corsi entrambi gli anni? Esercizio 4.19 Quante permutazioni di (1, 2,...,n) ci sono, nelle quali i non sia immediatamente seguito da i +1, con 1 apple i apple n 1, en non sia immediatamente seguito da 1? Esercizio 4.20 In quanti modi si possono distribuire 10 libri a 10 ragazzi (uno ad ogni ragazzo), ed in seguito raccogliere i libri e ridistribuirli in modo che tutti i ragazzi abbiano un nuovo libro? Esercizio 4.21 In una città vengono venduti 3 giornali: A,B e C. Da un indagine risulta che il 47% degli abitanti legge il giornale A, il 34% il giornale B, il 12% il giornale C; l 8 % legge A e B, il 5% A e C, il 4% B e C; infine il 4% legge tutti e 3 i giornali. Se si sceglie a caso una persona, trovare la probabilità che (a) non legga alcun giornale; (b) legga un solo giornale;

4 112 Inclusione/esclusione Esercizio 4.22 Dobbiamo inserire in una tabella, di 4 righe e 6 colonne, 9 numeri distinti compresi tra 1 e 90 (estremi inclusi). (a) Quante tabelle distinte si possono realizzare? (b) Quante sono le tabelle che hanno una riga vuota oppure il 90 nella prima riga? Esercizio 4.23 È assegnato un alfabeto composto da 13 simboli distinti. (a) Quante parole di 8 lettere contenenti almeno un simbolo ripetuto esattamente 3 volte è possibile scrivere? (b) Quante parole di 8 lettere contenenti almeno due simboli distinti ripetuti esattamente 3 volte è possibile scrivere? Esercizio 4.24 Si considerano le carte rosse di un mazzo da poker di 52 carte (13 di cuori, 13 di quadri). Distribuisco a 13 persone prima le carte di cuori e poi le carte di quadri (una carta ciascuno di ogni tipo). (a) Quanti sono i possibili esiti di tale distribuzione? (b) Qual è la probabilità che almeno una persona riceva una coppia (due carte con lo stesso numero)? Soluzioni degli esercizi Soluzione es (a) Il numero massimo di cesti possibili è uguale al numero di 5- risoluzioni di 6, ovvero C(6 + 4, 4) = 210. (b) Indichiamo con B l insieme dei cesti con almeno un ovetto blu e con G l insieme dei cesti con esattamente 2 ovetti gialli. Si ha B [ G = B + G B \ G = C(5 + 4, 4) + C(4 + 3, 3) C(3 + 3, 3) = 141 Soluzione es Siano A L, A M, A R le distribuzioni di caramelle nelle quali il bimbo riceve rispettivamente esattamente 3 caramelle al limone, alla menta, al rabarbaro. Dobbiamo calcolare A L [ A M \ A R. Si ha A L [A M \A R = A L + A M + A R A L \A M A L \A R A M \A R + A L \A M \A R Ora A L = A M = A R è il numero di 2-risoluzioni di 16 3 = 13, ovvero C(14, 1) = 14; analogamente A L \ A M = A L \ A R = A M \ A R =1e A L \ A M \ A R =0. Pertanto A L [ A M \ A R = = 39 Soluzione es Siano A R, A 1 e A P le mani contenenti rispettivamente quattro Re, quattro assi, quattro picche. Si ha A R [A 1 [A P =

5 4.3 Esercizi 113 Soluzione es Indichiamo con C ed F rispettivamente l insieme delle parole che cominciano con una vocale e che finiscono con una vocale. Dobbiamo calcolare C [ F. Si ha C = = F, C \ F = Pertanto C [ F = C + F C \ F = = Soluzione es Indichiamo con X i le sequenze nelle quali la i-esima e la i +1- esima lettera coincidono, i =1,...,4. Dobbiamo calcolare X 1 [... [ X 4. Si ha X i =3 5 1 ; X i \ X i+1 =3 5 2 ; se i +1 <jabbiamo X i \ X j =3 5 2 ; X i \ X i+1 \ X i+2 = ; X 1 \ X 2 \ X 4 = X 1 \ X 3 \ X 4 = ; X 1 \ X 2 \ X 3 \ X 4 =3. Si ha X 1 [... [ X 4 = = 195 Soluzione es Indichiamo con F e M rispettivamente gli insiemi dei libri in francese e di quelli di carattere matematico. Dobbiamo calcolare F c \ M c. Si ha F c \ M c = (F [ M) c = 200 F [ M = 200 [ F + M F \ M ] = = = 60 Soluzione es Indichiamo con D, A e G rispettivamente gli insiemi degli studenti di Matematica Discreta, Analisi e Geometria. (a): Dobbiamo calcolare D c \ A c \ G c. Si ha D c \ A c \ G c = (D [ A [ G) c = 200 D [ A [ G = = 200 [ D + A + G D \ A D \ G G \ A + D \ A \ G ] = = = 35 (b): Dobbiamo calcolare la cardinalità di S = D \ A c \ G c. Si ha 80 = D = S + D \ S = S +[ D \ A + D \ G D \ A \ G = Pertanto S = 35. = S + [ ] = S + 45 Soluzione es Indichiamo con A 2, A 3 e A 5 i numeri ra 1 e 30 divisibili rispettivamente per 2, 3, 5. Dobbiamo calcolare A c 2 \ A c 3 \ A c 5. Si ha A c 2 \ A c 3 \ A c 5 = (A 2 [ A 3 [ A 5 ) c = =8

6 114 Inclusione/esclusione Soluzione es Indichiamo con A i, i =1, 2, 3, le 10 sequenze di I 9 nelle quali non compare il numero i. Dobbiamo calcolare A c 1 \ A c 2 \ A c 3. Si ha A c 1 \ A c 2 \ A c 3 = (A 1 [ A 2 [ A 3 ) c =9 10 (A 1 [ A 2 [ A 3 ) = [ ]+[ 7 10 ] [6 10 ] = Soluzione es Etichettate con I 3 le aule, ogni distribuzione delle persone corrisponde ad una 20-sequenza di I 3. Indichiamo con X i, i =1, 2, 3, le 20 sequenze di I 3 in cui non compare il numero i. Dobbiamo calcolare X c 1 \ X c 2 \ X c 3. Si ha X c 1 \ X c 2 \ X c 3 = (X 1 [ X 2 [ X 3 ) c =3 20 X 1 [... [ X n = = = Soluzione es Indichiamo con X SA, X AL e X LU rispettivamente gli insiemi di parole dove S precede A, A precede L, L precede U. Dobbiamo calcolare X SA [ X AL [ X LU. Una parola in XSA si costruisce decidendo quante lettere inserire prima della S, quante tra la S e la A e quante dopo la A, e poi negli spazi decisi inserendo una 4-sequenza senza ripetizioni di {L, U, M, I}. Pertanto prima 6 calcoliamo le soluzioni di x 1 + x 2 + x 3 =4che sono, e poi le 4-sequenze senza ripetizioni di {L, U, M, I} che sono 4! Si ha dunque X SA = X AL = 6 6 X LU = 4! Analogamente X SA \ X AL = 3! = X LU \ X AL e 6 X SA \X AL \X LU = 2! Per quanto riguarda X 4 SA \X LU si può procedere così: sia P una parola in X SA e P 0 la parola ottenuta da P scambiando le lettere L e U; una ed una sola tra P e P 0 appartiene a X LU e quindi X SA \ X LU = 1 2 X SA. Allora X SA [X AL [X LU = 6 4! 3 6 3! !+ 2! = Soluzione es Etichettiamo con I 5 le tende. Le possibili assegnazioni dei 15 figli nelle tende sono S(5, 15; (3, 3, 3, 3, 3)). Vanno evitate le assegnazioni nelle quali c è una tenda nella quale è stato alloggiato un figlio di ogni famiglia. Indichiamo con A i le assegnazioni nelle quali nella tenda i c è un figlio di ogni famiglia. Si ha A 1 [...[A 5 =5 [5 3 S(4, 12; (3, 3, 3, 3))] [ S(3, 9; (3, 3, 3))]+ + [ S(2, 6; (3, 3))] 4 [ S(1, 3; (3))]+

7 4.3 Esercizi [ ] = Infatti si ottiene un assegnazione in A i scegliendo chi mettere nella tenda i (5 3 modi) e poi riempiendo le altre 4 tende (S(4, 12; (3, 3, 3, 3)) modi); un assegnazione in A i \ A j, i<j, scegliendo chi mettere nella tenda i (5 3 modi), chi nella tenda j (4 3 modi) e poi riempiendo le altre 3 tende (S(3, 9; (3, 3, 3)) modi);... e così via. La probabilità cercata è dunque / 15! 3! =1 3! = 97, 53% 5 15! Soluzione es Indichiamo con A C, A Q, A F, A P le mani di 13 carte rispettivamente prive di cuori, quadri, fiori e picche. (a): dobbiamo calcolare A C [ A Q [ A F [ A P = = = (b): dobbiamo calcolare (A C [ A Q [ A F [ A P ) c = A C [ A Q [ A F [ A P = (c): Siano X A, X K, X Q, X J le mani di 13 carte prive rispettivamente di assi, re, donne, jack. Si ha 52 XA\X c K\X c Q\X c J c = (X A [X K [X Q [X J ) c = X 13 A [X K [X Q [X J = [4 + ] = Soluzione es Indichiamo con A i, i =1, 2, 3, le 9 sequenze di I 3 in cui compaiono tre i consecutivi. Dobbiamo calcolare A c 1 \ A c 2 \ A c 3. Tenendo conto che le sequenze in A 1, ad esempio, possono essere viste come 7 sequenze di {111, 2, 3} con occupancy (1, 3, 3), si ha A c 1 \ A c 2 \ A c 3 = (A 1 [ A 2 [ A 3 ) c = S(3, 9; (3, 3, 3)) A 1 [ A 2 [ A 3 = = 9! 3! 3 [3 S(3, 7; (1, 3, 3)) 3 S(3, 5; (1, 1, 3)) + S(3, 3; (1, 1, 1))] = Soluzione es Siano X ARCO, X UV E, X LUNA, X GIN le permutazioni di (A, B, C,..., Z) che contengono rispettivamente le sottoparole ARCO, UVE, LUNA, GIN. Dobbiamo calcolare X c ARCO \X c UV E\X c LUNA \X c GIN = (X ARCO [X UV E [X LUNA [X GIN ) c =

8 116 Inclusione/esclusione 21! X ARCO [ X UV E [ X LUNA [ X GIN = = 21! [ X ARCO + X UV E + X LUNA + X GIN...] Ora si osservi che ARCO, UVE, GIN non hanno lettere in comune, mentre LUNA ha una lettera in comune con ciascuna delle altre. Una permutazione in X ARCO è una permutazione della 18-sequenza (ARCO, B, D, E,..., N, P, Q, S,..., Z); pertanto X ARCO ha cardinalità 18!. Analogamente si trova X UV E = 19!, X LUNA = 18!, X GIN = 19!. L insieme X ARCO \ X UV E è costituito delle permutazioni della 16-sequenza (ARCO, UV E, B, D, F,..., N, P, Q, S, T, Z) e quindi ha cardinalità 16!, analogamente si trova X ARCO \ X GIN = 16! e X UV E \ X GIN = 17!. L intersezione X ARCO \ X LUNA è l insieme delle permutazioni della 15-sequenza (LUNARCO, B, D,..., I, M, P, Q, S, T, V Z) e quindi ha cardinalità 15!. Le intersezioni X UV E \ X LUNA, X GIN \ X LUNA sono vuote. Infine l unica intersezione tre a tre non vuota è X ARCO \X UV E \X GIN, che è l insieme delle 14! permutazioni della 14-sequenza (ARCO, U V E, GIN, B, D,..., Z). Così procedendo si ottiene 21! X ARCO [ X UV E [ X LUNA [ X GIN = = 21! [(18! + 19! + 18! + 19!) (16! + 16! + 15! + 17!) + 14!]. Soluzione es Indichiamo con X i, i = 1, 2, 3, le distribuzioni di palline con rispettivamente almeno 7 palline nel contenitore i. Dobbiamo calcolare X c 1 \ X c 2 \ X c 3 : 30 X c 1 \ X c 2 \ X3 c = (X 1 [ X 2 [ X 3 ) c = 5 X 1 [ X 2 [ X 3 = 30 = 5 [ ] = Soluzione es La durata della conferenza corrisponde al numero di cene fatte dallo stregone. Etichettati con I 5 gli amici dello stregone, rappresentiamo con X i, i 2 I 5, l insieme delle cene a cui ha partecipato l amico i. Allora la durata della conferenza è uguale a giorni 6+ X 1 [... [ X 5 = = 27 Soluzione es Etichettati con I 10 i corsi e con I 5 i docenti, l assegnazione di due corsi per il primo anno può essere fatta fissando una qualunque 10-sequenza di I 5 con occupancy (2, 2, 2, 2, 2). Ora decisa l assegnazione per il primo anno dobbiamo scegliere quella per il secondo. Se indichiamo con X i, i =1,...,5, le assegnazioni

9 4.3 Esercizi 117 dei 10 corsi per il secondo anno che vedono il professore i ricevere gli stessi corsi dell anno precedente, per il secondo anno abbiamo X c 1 \... \ X c 5 assegnazioni possibili. Si ha X c 1 \... \ X c 5 = (X 1 [... [ X 5 ) c = S(5, 10; (2, 2, 2, 2, 2)) X 1 [... [ X 5 = = S(5, 10; (2, 2, 2, 2, 2)) [5 S(4, 8; (2, 2, 2, 2)) S(3, 6; (2, 2, 2))+ + S(2, 4; (2, 2)) 4 S(1, 2; (2)) + 1] = Pertanto le assegnazioni per i due anni possono essere assegnate in S(5, 10; (2, 2, 2, 2, 2)) = modi. Soluzione es Sia X i, 1 apple i apple n 1, l insieme delle permutazioni di (1, 2,...,n) nelle quali i sia seguito da i +1e X n l insieme delle permutazioni di (1, 2,...,n) nelle quali n è seguito da 1. Dobbiamo calcolare X c 1 \...X c n. Si ha X c 1 \... \ X c n = (X 1 [... [ X n ) c = n! X 1 [... [ X n = = n! [n (n 1)! n n (n 2)! ( 1) n 1 ]=D n n dove D n è il numero degli scombussolamenti di (1, 2,...,n). Soluzione es Etichettati con I 10 sia i libri che i ragazzi, le distribuzioni di libri sono tante quante le permutazioni di (1, 2,...,10), ovvero 10! Nella seconda distribuzione devo prendere uno scombussolamento della sequenza scelta nella prima distribuzione. Pertanto in tutto le due distribuzioni possono essere fatte in 10! D 10 = 10! 10!(1 1 1! + 1 2! 1 3! ) = ! Soluzione es Indichiamo con X A, X B e X C gli insiemi di persone che leggono rispettivamente i giornali A,B e C e con X l insieme degli abitanti della città. (a): Si ha P (A c \ B c \ C c )= Ac \ B c \ C c =1 A [ B [ C = =1 [ A + B + C A \ B A \ C B \ C + A \ B \ C = = 0.2 = 20% =

10 118 Inclusione/esclusione (b): Dal punto precedente sappiamo che il 80% della popolazione legge almeno un giornale. La probabilità cercata è (A \ B) [ (A \ C) [ (B \ C) P (A[B[C) P ((A\B)[(A\C)[(B\C)) = 0.8 [ = A \ B + A \ C + B \ C =0.8 [ A \ B \ C = = 0.67 = 67% Soluzione es (a) Ogni tabella può essere realizzata nelle seguenti fasi: 1) scelta di 9 posizioni ove inserire i numeri; 2) scelta dei numeri da mettere nella prima, nella seconda,..., nella nona posizione. In tutto abbiamo un numero di scelte pari a 24 8! S(90, 9) = (b) Sia A ; l insieme delle tabelle con una riga vuota e A 90 quello delle tabelle con il 90 nella prima riga. =4 A ; [ A 90 = A ; + A 90 A ; \ A 90 = 23 S(89, 8) S(90, 9) = S(89, 8) = Soluzione es Etichettiamo con I 13 l alfabeto. Ogni parola di 8 lettere corrisponde ad una 8-sequenza di I 13. Sia X i, i 2 I 13, l insieme delle parole nelle quali il simbolo i è ripetuto esattamente tre volte. (a): dobbiamo calcolare X 1 [... [ X 13 = = (b): dobbiamo calcolare [ i<j (X i [ X j ) = = Soluzione es Ogni distribuzione corrisponde ad assegnare due permutazioni della sequenza (1, 2, 3,...,13). (a): vi sono 13! 2 = possibili distribuzioni. (b): Nessuna persona riceve una coppia se e solo se la seconda permutazione è uno scombussolamento della prima. La probabilità cercata è pertanto 1 13! D 13 13! 2 =1 (1 1 1! + 1 2!... 1 ) = 63.2% 13!