CALCOLO COMBINATORIO

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1 Il DNA fa l RNA, l RNA fa le proteine e le proteine fanno noi (F.H.C, Crick) La fase di costruzione della proteina da parte dell RNA prende il nome di traduzione: le basi dell RNA vengono lette in triplette, dette codoni, e ad ogni codone è associato un preciso aminoacido Sia A rna = {A,C,G,U} l insieme delle basi azotate dell RNA. Quanti diversi codoni si possono avere con queste quattro basi?

2 Quanti diversi codoni si possono avere con queste quattro basi? I codoni sono parole formate da tre lettere. Le lettere sono le quattro basi azotate A, C, G, U Sono ammesse ripetizioni??? Al primo posto ho 4 scelte, per ognuna di queste ho ancora 4 scelte per il secondo posto, quindi 4 4, e per ognuna di queste ancora 4 scelte per il terzo e ultimo posto, quindi in tutto 4 4 4= 4 3 = 64 codoni possibili.

3 Quanti sono i codoni in cui nessuna base è ripetuta? Ragionando come prima 4 scelte per il primo posto, per ognuna di queste ci sono ora 3 scelte per il secondo(dobbiamo escludere la lettera già scelta), quindi 4 3, e per ognuna di queste solo 2 scelte per il terzo posto, in tutto = 24 codoni senza ripetizione di basi.

4 In generale: se ho n specie diverse di oggetti (dispongo di un numero illimitato di oggetti di ogni specie) devo occupare k spazi, occupando ogni spazio con un oggetto in quanti modi diversi posso farlo? n n n.n n = n k k volte (vengono dette disposizioni con ripetizione)

5 Se ho n specie diverse di oggetti, ogni oggetto è disponibile senza ripetizione devo occupare k spazi, occupando ogni spazio con un oggetto, in quanti modi diversi posso farlo? n (n-1) (n-2). (n-k+1) (vengono dette disposizioni semplici o senza ripetizione)

6 Nel caso delle disposizioni semplici quando n=k (il numero delle specie diverse di oggetti è uguale al numero dei posti da occupare), otteniamo n (n-1) (n-2) 2 1=n! Il simbolo n! si legge n fattoriale, ed indica il numero di permutazioni degli n oggetti sugli n spazi Esempio: In una gara di corsa, cui partecipano 8 atleti, quanti diversi ordini di arrivo si possono avere? = 8!

7 Avendo a disposizione 20 cavie, se ne devono scegliere 5 per un certo esperimento. In quanti modi diversi possiamo effettuare la scelta? Potremmo, ragionando secondo lo schema delle disposizioni senza ripetizione, pensare di avere modi, ma. è importante l ordine con cui scegliamo le 5 cavie? No, conta quale gruppo di 5 cavie prenderemo, ma non l ordine con cui le prenderemo. Dobbiamo quindi.? dividere il numero per 5! Otteniamo possibili gruppi di 5 cavie delle 20 disponibili.

8 In generale, in quanti modi si possono scegliere k da un totale di n diversi oggetti, quando l ordine in cui appaiono i k scelti è irrilevante? [n (n-1) (n-2). (n-k+1)]/k! ovviamente k n Per indicare il numero ottenuto, utilizziamo il simbolo che si legge n su k. n k

9 Si osserva che, ad ogni scelta di k oggetti, corrisponde esattamente una scelta di n-k oggetti e viceversa. Deve valere quindi la seguente uguaglianza (della cui validità possiamo accertarci anche algebricamente, come?.) per k= 1,2,,n-1 n k = n n-k

10 Poiché si ha n n = 1 Volendo mantenere la simmetria precedentemente osservata, poniamo n 0 = n n = 1

11 I numeri n k Vengono spesso ordinati in modo tale da formare il famoso triangolo di Tartaglia (noto anche come triangolo di Pascal; fu infatti Pascal a diffonderlo). Nel triangolo ogni numero è la somma dei due numeri più vicini nella riga immediatamente superiore al numero considerato

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13 Come scrivere in generale la relazione messa in evidenza nello slide precedente? n k = n-1 k-1 + n-1 k Come si può dimostrare la validità di questa relazione?

14 Supponiamo che ci siano due alleli possibili per uno stesso locus genetico. Quanti genotipi sono possibili? Indichiamo con A 1 e A 2 i due alleli, si hanno i seguenti genotipi A 1 A 1 A 1 A 2 A 2 A 2 Supponiamo ora che ci siano sei alleli possibili per uno stesso locus genetico. Quanti genotipi sono possibili? 21