Combinatoria. Lezione del 16/12/2009. Stage di Treviso Progetto Olimpiadi

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1 Combinatoria Lezione del 16/12/2009 Stage di Treviso Progetto Olimpiadi

2 Fattoriali e Binomiali Fattoriale: n!=n*(n-1)*(n-2)* 2*1 0!=1 Binomiale (n,k)= n!/(k!(n-k)!) I binomiali formano il triangolo di tartaglia e sono i coefficienti del termine k-esimo della potenza ennesima di un binomio Es: (a+b) 5 =(5,0)a 5 + (5,1)a 4 b + (5,2)a 3 b 2 + (5,3)a 2 b 3 + (5,4)ab 4 + (5,5)b 5

3 Permutazioni Abbiamo un insieme composto di n elementi distinti fra loro Le permutazioni sono i possibili ordinamenti che possiamo dare a questi elementi Quante sono? Per il primo elemento possiamo scegliere fra tutti gli n elementi, come secondo elemento potremo scegliere fra n-1, ecc Si intuisce facilmente che le permutazioni di n elementi sono n!

4 Esempio: Calcolare il numero di anagrammi distinti della parola CUORE Le lettere sono tutte diverse => sono le permutazioni di 5 elementi distinti => 5! E se invece l insieme contiene degli elementi ripetuti? ES: calcolare il numero di anagrammi della parola MATEMATICA In questo caso bisogna ricorrere a un trucchetto : consideriamo in un primo momenti tutti gli elementi differenti. Possiamo immaginarci mentalmente di porre un segno che contraddistingua lettere uguali, per esempio un pedice con un indice M 1 A 1 T 1 E 1 M 2 A 2 T 2 I 1 C 1 A 3

5 Le permutazioni in questo caso sono 10! (la parola ha 10 lettere) Ora bisogna contare il fatto che anagrammi che differiscono per permutazioni di lettere uguali (con indice diverso) sono in realtà indistinguibili: M 1 A 1 T 1 E 1 M 2 A 2 T 2 I 1 C 1 A 3 e M 2 A 3 T 1 E 1 M 1 A 2 T 2 I 1 C 1 A 1 sono da considerarsi uguali Consideriamo singolarmente ogni lettera: Ci sono 2 M, se scambio M 1 con M 2 non succede nulla In generale dato un gruppo di lettere uguali se ne faccio una permutazione la parola resta la stessa Quindi ogni anagramma compare un numero di volte pari alle permutazioni di ciascun insieme di lettere uguali Nel nostro caso comparirà 2! volte per scambi di M, 3! Volte per scambi di A e 2! Volte per scambi di T Gli anagrammi sono quindi 10!/(2!3!2!)

6 Esercizi d esempio Calcola il numero di anagrammi di STAGISTI Calcola il numero di anagrammi di ARMATA

7 Disposizioni Torniamo all insieme con n elementi distinti. Invece di chiederci quanti sono i modi possibili di dare un ordine a tutti gli elementi dell insieme(permutazioni), possiamo chiederci quanti sono i modi di dare un ordine a k elementi scelti dall insieme (con k<n, con k=n si torna al caso delle permutazioni) Analogamente a prima possiamo pensare così: Diamo un ordine a tutti gli elementi dell insieme: n! Poi però consideriamo solo i primi k elementi delle sequenza ottenuta. Considerando solo i primi k, ogni sequenza risulterà equivalente a molte altre. A quante? Quante sono le permutazioni degli elementi che non consideriamo: (n-k)! => D(n,k)= n!/(n-k)!

8 Esempio: insieme di 4 numeri 1,2,3,4 Voglio D(4,2) Scrivo tutte le permutazioni: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ogni disposizione che per me è differente dalle altre è contrata 2! Volte, cioè il numero di permutazioni degli altri 2 elementi: per esempio per 1 2 è contata 2 volte. Cioè le permutazioni di 3, 4.

9 Caso con ripetizione: voglio sapere in quanti modi posso formare una sequenza lunga k partendo da n elementi differenti ripetendo però anche più volte lo stesso elemento Per esempio: combinazione cassaforte a 4 cifre Ogni cifra ha 10 possibilità (da 0 a 9)=> 10 4 In generale sarà n k

10 Combinazioni Se mi chiedo quante sono i possibili sottoinsieme di k elementi di un insieme che contiene n elementi differenti fra loro queste sono le combinazioni C(n,k). In pratica sono le disposizioni a meno dell ordine. Quindi il numero di combinazioni sarà uguale a quelle delle disposizioni fratto il numero di possibili permutazioni dei k elementi scelti: C(n,k)=D(n,k)/k!=n!/(k!(n-k)!)= Binomiale (n,k)

11 Esempio: in quanti modi è possibile scegliere un gruppo di 5 alunni in una classe di 30? Risposta: gli alunni sono tutti diversi, l ordine non conta quindi C(30,5) La maestra deve interrogare 5 alunni alla cattedra, uno alla volta. In quanti modi può farlo? Risposta: stavolta l ordine conta quindi sarà D(30,5)

12 Esercizi proposti: Vogliamo suddividere una classe di 30 alunni in 6 gruppi da 5. In quanti modi possiamo farlo? Quanti sono i modi di estrarre 1 pallina rossa e 2 palline gialle da un sacchetto che contiene 5 palline rosse, 4 gialle e 6 blu?

13 Inclusione/Esclusione Caso 2 insiemi: A U B= A + B - A B Caso 3 insiemi: A U B U C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C Esercizio di esempio: In una classe 20 ragazzi giocano a calcio, 15 basket, 7 praticano entrambi gli sport. Quanti sono i ragazzi nella classe?

14 Probabilità Definizione classica P = casi favorevoli/casi possibili Esercizio di esempio: quale era la probabilità di estrarre la pallina rossa e le 2 gialle dal sacchetto nel problema precedente?

15 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A B)= P(A)*P(B A) = P(B)*P(A B) dove P(B A) è la probabilità che si verifichi B essendosi verificato A Nel caso di eventi indipendenti P(B A) = P(B) Esercizio di esempio: rifacciamo l esercizio della palline usando le formule della probabilità condizionata

16 Colorazioni Quando abbiamo a che fare con grafi, tabelle, scacchiere, è utile ricorrere alle colorazioni ES: da una scacchiera standard 8x8 si tolgono la casella in un angolo e quella opposta. È possibile ricoprire ora la scacchiera con tasselli 2x1? NO, in quanto colorando a scacchiera tali tasselli occupano sempre una casella bianca e una nera, quindi il ricoprimento può essere possibile solo se le caselle nere sono in numero uguale a quelle bianche, ma nel nostro caso abbiamo tolto 2 caselle dello stesso colore.

17 Un commesso viaggiatore deve girare tutte le città della regione partendo da A e tornando ad A. I collegamenti in linea continua sono le ferrovie e il biglietto costa 150 euro, i collegamenti tratteggiati sono gli aerei e costano 250 euro. Quanto spenderà al minimo il commesso viaggiatore?

18 Invarianti L invariante è una quantità che non cambia Esempio: su una lavagna sono scritti 10 numeri. Ad ogni turno si aggiunge 1 ad un numero e si toglie 1 da un altro. Invariante: somma dei numeri Esempio: su una lavagna sono scritti 10 numeri. Ad ogni turno si aggiunge o si toglie 1 da 2 numeri. Invariante: parità della somma dei numeri.

19 Esercizio di esempio: Ci sono 3 scatole contenenti molte palline. Ad ogni mossa si può o togliere una pallina da ogni scatola o prendere 2 palline da una scatola e metterne una in ciascuna delle altre due. Qual è l invariante?

20 Antonio e Bernardo giocano al seguente gioco: sono date due pile di gettoni, una con m gettoni e l'altra con n gettoni. Ogni giocatore sceglie a turno una delle seguenti mosse: prendere un gettone da una delle pile; prendere un gettone da ciascuna delle pile; spostare un gettone da una pila ad un'altra. Perde chi non può più muovere. Comincia Antonio. Determinare, in funzione di m ed n, se uno dei due giocatori ha una strategia vincente, e in caso affermativo specicare di quale giocatore si tratta.

21 Su un isola ci sono furfanti e cavalieri. In tutto sono Il primo giorno si riuniscono attorno a una tavola rotonda e ciascuno dice: entrambi i miei vicini sono furfanti. Il secondo giorno una persona si è ammalata e i presenti attorno alla tavola sono quindi 2002, e ciascuno afferma: entrambi i miei vicini sono della categoria opposta alla mia. Il malato era un furfante i un cavaliere?