PROBLEMA DEL PLL ATTACK RISOLUTIVO

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1 PROBLEMA DEL PLL ATTACK RISOLUTIVO Prefazione Nella risoluzione del cubo di Rubik, vi sono varie tecniche inventate che possono essere utilizzate per ricomporre il noto puzzle. La più nota per lo Speedcubing, ovvero la disciplina che consiste nel ricomporlo da uno stato sfatto ad uno completo nel minor tempo possibile, è quella inventata negli anni 80 dalla Dott.ssa Jessica Fridrich, che consta di vari passaggi. o Croce: vengono posizionati correttamente i 4 spigoli di uno stesso livello o F2L: i primi due strati vengono completati in maniera corretta, aggiungendo alla croce prima costruita gli angoli del primo strato e i corrispondenti spigoli del secondo strato. o OLL: l ultimo strato, molto probabilmente si troverà in uno stato in cui i pezzi sono NON orientati correttamente. Nell esempio di sotto, dove l ultimo strato è costituito da pezzi che hanno tutti una faccia gialla, l orientamento corretto è dato dal rendere una faccia INTERAMENTE gialla, senza considerare la posizione dei restanti pezzi, che verranno poi permutati successivamente. o PLL: giunti a questo punto, l ultimo step rimasto per la risoluzione completa del cubo è quello della permutazione dei pezzi dell ultimo strato; quelli con la faccia gialla, per intenderci. I casi PLL sono 21, classificati secondo lettere dell alfabeto in un metodo che somiglia vagamente a quello utilizzato per le costellazioni.

2 Problema Tra gli speedcuber, ovvero coloro che praticano lo sport della risoluzione del puzzle, esiste un esercizio allo scopo di mantenere allenata la velocità di esecuzione dei PLL, che sono una sequenza definita di algoritmi; cioè di mosse che vanno eseguite per portare il cubo, da uno stato A, ad uno stato B. Questo esercizio si chiama PLL Attack, e consiste nell eseguire in sequenza TUTTI i PLL, uno per volta. Quindi, un totale di 21 diversi algoritmi. Il quesito è: quanti sono i distinti PLL Attack che, eseguiti una volta sola, riportano il cubo, da uno stato A ad uno stato B tale che B sia uguale ad A? Ovvero: partendo da un cubo già risolto, eseguendo un PLL Attack, quante probabilità ci sono che questa sequenza arbitrariamente scelta dia nuovamente un cubo risolto? Si parta dal presupposto che è noto che esiste almeno un PLL Attack che risolve il cubo, partendo da un cubo già risolto. Inoltre, si consideri che molti PLL possono essere eseguiti in svariati angoli. Ad esempio, la permutazione A1 che scambia 3 angoli, potrebbe scambiare quelli sopra e quello in basso a destra; o quelli sopra e quello in basso a sinsitra; o quelli a destra e quello in alto a sinistra; o quelli a sinistra e quello in alto a destra. La lista completa di PLL con le loro azioni può essere trovata su svariati siti, come: (pagina originale di J. Fridrich) (pagina dei PLL sul sito Speedsolving.com) (pagina dei PLL di Gaetano Zumbo)

3 Considerazioni Il numero totale di PLL Attack che possono essere eseguiti risulta dal calcolo descritto qui di sotto: PLL Differenti versioni eseguibili Questa tabella si trova, logicamente, in accordo con la teoria probabilistica, che dice che il cubo può trovarsi, quando l ultimo strato è già orientato, in 72 diversi stati, dati dalla formula seguente: = 4! 4! 2 =72 I due 4 fattoriale sono dati dal fatto che gli spigoli non possono andare al posto degli angoli e viceversa; quindi, van visti come permutazioni a sé stanti. Il denominatore è dato dalle leggi di parità che governano meccanicamente il cubo, che affermano che si possono muovere, contemporaneamente, senza variare lo stato del restante cubo: o 3 angoli o 3 spigoli o 2 angoli e 2 spigoli o 3 angoli e 3 spigolo o 4 angoli o 4 spigoli Per intenderci, non esiste un algoritmo capace di scambiare SOLO 2 spigoli, SOLO 2 angoli, SOLO 2 angoli e uno spigolo e quant altro. Dalla tabella di prima si evince, sommando le possibili configurazioni nelle quali un PLL può essere eseguito, che la sommatoria di questi stati è 71, invece dei 72 descritti dalla formula. La spiegazione è semplice: il 72 stato è il cubo risolto.

4 Alla luce di quanto detto, i PLL Attack vanno a configurarsi come sequenze di 21 permutazioni, ognuna delle quali può avere uno o più varianti di esecuzioni. Come tale, è possibile anche calcolare il numero di PLL Attack differenti eseguibili (considerando come diversi 2 PLL Attack che hanno stesse permutazioni ma scritte in ordine diverso). =21! = Consideriamo, a questo punto, il cubo come una tavola rotonda, sul quale sono disposti 8 commensali che possono scambiarsi di posto SOLO e SOLTANTO secondo ordini ben definiti (i 71 descritti prima). Quindi, definiamo che lo stato {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} sia lo stato del cubo completamente risolto. I posti dispari corrispondono agli angoli; i posti pari, agli spigoli. Per aiutare la comprensione del problema anche a chi non è abituato alla notazione standard del cubo, scriviamo qui sotto tutte le 71 permutazioni che possono essere eseguite tra i pezzi utilizzando la classica forma,, per le permutazioni.

5 = 1,3,5 = 3,5,7 = 5,7,1 = 7,1,3 = 5,3,1 = 7,5,3 = 1,7,5 = 3,1,7 Non le ho scritte tutte per velocità e comodità, tuttavia è possibile, per ognuna delle permutazioni, tracciare il percorso.