Elementi. di Calcolo Combinatorio. Paola Giacconi

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1 Elementi di Calcolo Combinatorio di Paola Giacconi

2 Premessa Con la Meccanica Quantistica Il concetto di probabilità è entrato a fare parte integrante della FISICA e quindi della nostra vita La visione deterministica dell'universo è svanita per sempre! Si può solo prevedere la probabilità con la quale un determinato evento si verificherà Il Calcolo Combinatorio è propedeutico al concetto di probabilità

3 Calcolo Combinatorio I numeri con il punto esclamativo Definizione di fattoriale di un numero naturale N!=N(N-1)(N-2)(N-3)...1 0!=1 1!=1

4 Coefficiente Binomiale a b 2 =a 2 b 2 2 a b a b 3 =a 3 b 3 3 a 2 b 3 a b 2... a b n = k=0 n n k a n k b k n = k n! n k! k!

5 Permutazioni Semplici Permutazioni con Ripetizioni Quanti sono gli anagrammi, non importa se abbiano o meno significato, della parola MATEMATICA o della parola FISICA? Quanti numeri di 4 cifre posso scrivere usando le cifre supponendo che essi abbiano tutte le 4 cifre differenti? Oppure quanti numeri di 5 cifre supponendo che contengano 2 volte 1? Supponendo che contengano 2 volte 3? In quanti modi si possono disporre 3 persone su 3 sedie numerate?

6 Permutazioni Semplici Pk 3 persone su 3 poltrone numerate Ci sono 3! = 6 possibilità

7 Permutazioni Semplici 5 amici in pizzeria discutono sulla disposizione dei posti con cui debbono sedersi attorno al tavolo, alla fine si accordano: ogni sera cambieranno posto!! Quante sere sono necessarie per esaurire tutte le possibilità? Permutazioni Semplici: P5 = 5!= 120 Dopo circa 4 mesi hanno esaurito tutte le possibilità!!

8 Permutazioni con Ripetizioni Pk;k k;k1, 1,.. E se tra i 5 amici ci fossero 2 gemelli monozigoti assolutamente indistingubili quanto tempo ci vorrebbe? Permutazioni con Ripetizioni: P5;2 = 5!/2!=60 Anagrammi della parola FISICA Permutazioni con ripetizione: 6!/2!=360 Anagrammi della parola MATEMATICA Permutazioni con ripetizione: P10;2,2,3 =10!/(2!3!2!)=151200

9 Definizioni Permutazioni Semplici di un insieme finito di n elementi sono tutti i possibili raggruppamenti che si possono costruire con gli n elementi considerando distinti i raggruppamenti formati da elementi disposti in ordine diverso Permutazioni con Ripezione Permutazioni con Ripezione di un insieme finito di n elementi di cui k1, k2,... uguali sono tutti i possibili raggruppamenti che si possono costruire con gli n elementi considerando distinti i raggruppamenti formati da elementi disposti in ordine diverso diviso il numero delle permutazioni degli elementi uguali.

10 Disposizioni Semplici Dn,k n>k 1elemento 2elemento... k-1 elemento n Scelte possibili n-1 Scelte possibili n-(k-2) Scelte possibili K elemento n-(k-1) Scelte possibili Le Disposizioni Semplici indicano il numero di modi nel quale si possono raggruppare n oggetti presi k a k rispettando l'ordine

11 Disposizioni Semplici Dn,k n>k In quanti modi diversi possono essere disposti su di una libreria 7 libri presi da un gruppo di 20 libri differenti? In una corsa partono 10 cavalli, quanti sono i possibili ordini di arrivo nelle prime tre postazioni? In un torneo con 16 squadre quante partite andata e ritorno si debbono disputare?

12 Disposizioni Semplici Dn,k Sappiamo che le partite di campionato sono 16x15, si giocano 240 partite. Come si procede per ottenere questo dato? Consideriamo un torneo a 5 squadre le possibili coppie sono: (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) Cioè D5,2= 5x4 = 5 (5-2+1)= 5! / (5-2)! =5! / 3! Dn,k = n(n-1)...(n-k+1) = n! / (n-k)!

13 Disposizioni Semplici Dn,k...I libri della libreria si possono disporre in D20,7 = 20(20-1)...(20-7+1) = 20!/ (20-7)!= 20!/13!= nelle corsa dei cavalli I possibili ordini sono D10,3 = 10x9x8 = 720 Nelle Disposizioni Semplici di n < k elementi presi k a k è importante l'ordine Se n=k allora = Dn,n Pn

14 Disposizioni con Ripetizione D' D'n,k n e k qualsiasi 1elemento 2elemento... k-1 elemento K elemento n Scelte possibili n Scelte possibili n Scelte possibili n Scelte possibili

15 Disposizioni con Ripetizione D' D'n,k D ' n, k =n k Le D'n,k indica il numero di modi nel quale si possono raggruppare n oggetti presi k a k rispettando l'ordine MA ogni elemento può essere ripetuto nel gruppo k volte Quante colonne si debbono giocare al totocalcio per essere sicuri di fare 13? D ' 3,13 =3 13

16 Combinazioni Semplici Cn,k Nelle Composizioni Semplici di n elementi presi k a k NON conta l'ordine Cn,k Quindi = D / K! n,k Dn,k C n, k = n = k n! n k! k!

17 Combinazioni Semplici Cn,k In quanti modi possibili si possono estrarre 5 numeri al Lotto? C90,5 In una classe di 22 persone si debbono eleggere 2 rappresentanti in quanti modi diversi si può fare la scelta? C22,2 Nel gioco del poker ogni giocatore riceve 5 carte da un mazzo di 32. In quanti modi diversi si possono ricevere le carte? C32,5

18 Combinazion con Ripetizioni C'n,k n e k qualsiasi Le combinazioni di n oggetti di classe k sono i raggruppamenti che si possono formare con gli n elementi di un insieme Ogni gruppo ne contiene k, k gli elementi nel gruppo possono essere ripetuti Due gruppi differiscono tra loro per almeno un elemento C ' n, k = n k 1 = n k 1! k n k! k!