Il Calcolo combinatorio.

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1 Il Calcolo combinatorio. 1) Disporre persone. a) Andrea e Bea frequentano la stessa classe e sono vicini di banco. Sapendo che i banchi sono posizionati due a due, in quali e quanti modi possono disporsi?.... Puoi aiutarti con un diagramma ad albero nel seguente modo: b) Andrea, Bea e Carlo, frequentano la stessa classe, ma i banchi sono disposti a tre a tre, in quali e quanti modi si possono collocare? Puoi aiutarti con un diagramma ad albero: 1

2 c) Quattro amici, Andrea, Bea, Carlo e Daniela, vanno al cinema, in quali e quanti modi possono disporsi uno accanto all altro? Puoi aiutarti con un diagramma ad albero: d) Cinque amici, Andrea, Bea, Carlo, Daniela e Enrico, partecipano ad una gara di freccette, quante sono le possibili classifiche?... Puoi aiutarti con un diagramma ad albero:.. Regola: Andando al cinema, in quanti modi i 18 allievi di III C possono sedersi uno vicino all altro?.. 2

3 2) Disporre numeri. a) Prendi in considerazione le cifre 1 e 2, quanti numeri di due cifre puoi scrivere? Quale differenza trovi con il primo esempio della diposizione di persone? Puoi aiutarti con un diagramma ad albero: b) Prendi in considerazione le cifre 1 e 2, quanti numeri di tre cifre puoi scrivere? Puoi aiutarti con un diagramma ad albero: c) Prendi in considerazione le cifre 1, 2 e 3, quanti numeri di tre cifre puoi scrivere? Quale differenza trovi con il primo esempio della diposizione di persone? 3

4 d) Prendi in considerazione le cifre 1, 2 e 3, quanti numeri di quattro cifre puoi scrivere? Quale differenza trovi con il primo esempio della diposizione di persone? Regola: Negli esempi che abbiamo trattato, in ogni situazione abbiamo verificato in quali e quanti modi potevamo spostare i vari elementi; matematicamente abbiamo delle PERMUTAZIONI ( Pn), che si dividono in permutazioni semplici, e permutazioni con ripetizioni. Per calcolare il numero di permutazioni utilizzeremo la seguente formula: Permutazioni semplici: Pn = n! = n. (n 1). ( n - 2) n!, si legge n fattoriale ; dunque 2! :.; 9! = Sulla calcolatrice utilizzeremo i tasti : Es: Calcola: P3 = =..; sulla calcolatrice P3 = P7 =..; sulla calcolatrice: P7 =..; P18 =. ; sulla calcolatrice: P18 =..; Permutazioni con ripetizione: Pn,r= n n 3) Disporre lettere. a) Prendi in considerazione la parola ERA, spostando le lettere quante altre possibili parole, anche prive di significato, ottieni? Aiutati con un diagramma ad albero. Trovi un analogia con gli esercizi precedenti? Osservazione: La permutazione delle lettere in una parola è detta ANAGRAMMA. Una parola può avere diversi anagrammi, ma non tutti di un senso compiuto. b) Quanti e quali anagrammi possiede la parola ROMA. Aiutati con un diagramma ad albero. 4

5 c) Quanti e quali anagrammi possiede la parola ORO? Aiutati con un diagramma ad albero. Osservazione: Nelle parole in cui delle lettere si ripetono, per calcolare gli anagrammi dobbiamo dividere il numero totale degli anagrammi, per il numero degli anagrammi che si ripetono, utilizzando la seguente regola. Esempio : anagramma della parola mamma: P5, 3m;2a = 5! = 120 = 10, che puoi tranquillamente elencare. 3! 2! 6 4 Osservazione: Sulla calcolatrice puoi inserire direttamente i calcoli con il fattoriale. Determina il possibile numero d anagrammi delle seguenti parole, indicandone almeno uno di senso compiuto, sperando che esista. Ira; SOS ; Mare ; Gala ; Padre; Abaco; Matematica Determina il numero degli anagrammi del tuo nome e del tuo cognome, ne esiste almeno uno di senso compiuto? Cosa servono le permutazioni nella vita di tutti i giorni? 4) Le disposizioni. a) Andrea, Bea e Carlo frequentano la stessa classe e vogliono stare di banco assieme. Quali possibilità si presentano, sapendo che nel banco a due v è la possibilità di stare vicino alla finestra. Aiutati con un diagramma ad albero. Osservazione:.. 5

6 b) Andrea, Bea, Carlo e Daniela frequentano la stessa classe e vogliono stare di banco assieme. Quali possibilità si presentano, sapendo che nel banco a due v è la possibilità di stare vicino alla finestra. Aiutati con un diagramma ad albero. Negli esempi trattati, abbiamo sempre preso in considerazione solo una parte degli elementi e li abbiamo ordinati senza ripeterli, ottenendo una DISPOSIZIONE SEMPLICE di n elementi presi k volte. Matematicamente scriveremo: Dn ;k = n. ( n -1). ( n 2). k volte. E si legge disposizione di n elementi presi k volte. Sulla calcolatrice utilizzeremo i tasti: D3;2 = ; D4;2 = ; D18;2 = ; In una classe di 21 allievi, in quanti modi puoi eleggere il capoclasse e il vice capoclasse, sapendo che i due ruoli non possono essere ricoperti dalla stessa persona? Ad un campionato di calcio partecipano 10 squadre. Sapendo che il torneo viene disputato con partite d andata e ritorno, quante gare avrai in totale? c) Con le cifre 1; 2; 3 quanti numeri di due cifre puoi definire? Aiutati con un diagramma ad albero. d) Con le cifre 1; 2; 3 ; 4 quanti numeri di due cifre puoi definire? Aiutati con un diagramma ad albero. e) Con le cifre 1; 2; 3 quanti numeri di tre cifre puoi definire? Aiutati con un diagramma ad albero. Prendi in considerazione i seguenti esempi e cerca di dedurre la regola generale. 6

7 a) Con le cifre 1 e 2 quanti numeri di tre cifre puoi definire? Aiutati con un diagramma ad albero. Quanti numeri di 4; 5; 6..n cifre puoi definire? b) Con le cifre 1,2 e 3 quanti numeri di quattro cifre puoi definire? Aiutati con un diagramma ad albero. Quanti numeri di 5;6..n cifre puoi definire? c) Con le cifre 1,2,3 e 4 quanti numeri di cinque cifre puoi definire? Aiutati con un diagramma ad albero. Quanti numeri di 6;7..n cifre puoi definire? Negli esempi trattati, abbiamo sempre preso in considerazione tutti gli elementi ripetendoli, ottenendo una DISPOSIZIONE CON RIPETIZIONE di n elementi presi k volte. Matematicamente scriveremo: Dn ;k ;r = n k. 5) Le combinazioni. 7

8 Esercizi. 1) Quanti sono gli anagrammi (anche privi di senso) delle parole DON, RAMO; SCUOLA, SCHERMO? 2) Quanti sono gli anagrammi delle parole: ORO ; ORSO; NOTTE; CELLE; VACANZA. 3) Quanti sono gli anagrammi del Nome dei tuoi genitori? 4) In quanti modi Andrea, Bea, Carlo e Daniela possono essere interrogati durante una Lezione? 5) In quanti modi l insegnate d educazione fisica può farvi mettere su di un rango? 6) In quanti modi si possono schierare in campo (senza distinzione di ruoli): a) 5 giocatori di una squadra di Hockey b) 6 giocatori di una squadra di pallavolo c) 11 giocatori di una quadra di calcio d) 15 giocatori di una squadra di rugby 7) Con le cifre 1; 2 e 3 quanti numeri di tre cifre puoi formare? Quali casi si presentano? Quali sono? 8) Enrico possiede un guardaroba poco fornito, costituito solamente da 2 paia di pantaloni, 2 giacche e 4 camice. In quanti modi potrà vestirsi Enrico, combinando questi 8 capi d abbigliamento? 9) Hai due lucchetti a combinazione variabile: a) Descrivi la differenza tra i due tipi di lucchetto. b) Quanti numeri puoi scrivere sul primo lucchetto. c) Quanti numeri puoi scrivere sul secondo lucchetto. d) Quanti numeri in più puoi scrivere con il primo lucchetto? e) Supponi d avere un lucchetto con cinque possibilità, quanti numeri puoi scrivere? f) In una scuola media vuoi codificare tutti i 270 allievi, quale lucchetto proporresti? 10) Con le 10 cifre, quanti numeri di targa a cinque cifre puoi produrre, sapendo che lo zero non verrà messo a come prima cifra? 11) Con le 10 cifre, quanti numeri di targa a sei cifre puoi produrre, sapendo che lo zero non verrà messo a come prima cifra? 12) Nel canton Ticino erano immatricolati a fine settembre 2014 circa 296'640 veicoli. Come ben saprai il numero massimo per le targhe ticinesi è di sei cifre. Fin quando basteranno sei cifre per poter targare tutti i veicoli? 13) Le targhe italiane, sono composte da due lettere, tre cifre e ancora due lettere. Quante targhe potrai comporre? 8

9 CALCOLO COMBINATORIO NEL RALLY MATEMATICO. 1) BANDIERE MULTICOLORI (Cat. 5, 6) Per la festa della scuola, ognuna delle 19 classi disegna una bandiera con quattro strisce orizzontali. Gli alunni di ogni classe devono colorare le strisce seguendo queste regole: - ogni striscia deve essere di un solo colore: rosso, giallo o blu - in ogni bandiera bisogna utilizzare tutti e tre i colori, - non si devono colorare con lo stesso colore due strisce che si toccano. Ogni classe potrà avere una bandiera differente da quelle di tutte le altre classi? Disegnate o descrivete le bandiere che avete trovato. 2) VACANZE INVERNALI. (Cat.3,4,5) Per le sue vacanze sulla neve, Michele vuole acquistare un completo composto da una giacca a vento, un paio di pantaloni e un berretto. I pantaloni, la giacca e il berretto sono disponibili ognuno in tre colori: rosso, giallo e blu. Michele non vuole dei pantaloni rossi, vuole anche che il colore dei pantaloni sia diverso da quello della giacca a vento e da quello del berretto. Quanti diversi completi può formare Michele? Indicate i colori della giacca a vento, dei pantaloni e del berretto di ogni completo che avete trovato. 3) BASTONCINI E TRIANGOLI (Cat. 7, 8, 9, 10) Giorgio ha trovato in una scatola sei bastoncini di lunghezze rispettive 4 cm, 5 cm, 6 cm, 9 cm, 10 cm e 11 cm. Ne sceglie tre per formare un triangolo. Ecco per esempio il triangolo costruito con i bastoncini di 4 cm, 6 cm e 9 cm di lunghezza: Dopo aver costruito un triangolo, Giorgio rimette i tre bastoncini nella scatola e ricomincia. Quanti triangoli differenti potrà costruire Giorgio con i suoi sei bastoncini? Spiegate come avete trovato le vostre soluzioni e descrivetele. 9

10 4) BANDIERINE (I) (CAT. 3, 4) ARMT FINALE Ecco 10 modelli di bandierine che sono composte ognuna da 4 rettangoli, da colorare. Saranno poi appese sulle porte di 10 classi di una scuola. Gli allievi decidono di colorare le bandierine di ciascuna classe in questo modo: - ognuno dei quattro rettangoli deve essere colorato tutto di un colore: rosso, oppure blu, oppure giallo; - ogni bandierina non deve essere colorata con più di due colori; - due rettangoli che hanno un lato in comune devono essere di colori differenti. Ciascuna delle dieci classi potrà avere una bandierina diversa da quelle delle altre classi, rispettando le regole per colorarle? Quante sono le bandierine differenti? Mostrate come le avete colorate. 5) IL CODICE DEL PALAZZO (CAT. 3, 4) ARMT FINALE Ecco la tastiera che si trova all entrata di un palazzo: Componendo un codice si può aprire la porta d ingresso. Il codice deve essere composto da due lettere diverse. Per esempio con le lettere B e F si possono formare due codici diversi: BF e FB. Invece BB non è un codice che apre la porta. In questo palazzo ci sono 35 appartamenti. I proprietari vorrebbero avere, ciascuno, un codice diverso. Sarà possibile avere 35 codici diversi, di due lettere, per aprire la porta d ingresso? Spiegate perché è possibile o perché non è possibile. 6) Pierino possiede 2 cravatte, una blu e una rossa, e tre camice, blu, bianca e rossa. In quanti modi può combinare cravatta e camicia? Aiutati con un diagramma ad albero. Qual è la probabilità che a) Abbia la cravatta rossa e la camicia rossa? b) Non abbia cravatta e camicia dello stesso colore? 7) Prendendo in considerazione le cifre 4 5 6, senza ripeterle, determina: a) Quanti numeri puoi ottenere? A B C D E F b) Supponi di mettere tutti questi numeri in un sacchetto, qual è la probabilità d estrarre un numero: i) Pari. ii) Primo. iii) Un multiplo di 3? c) Prendendo in considerazioni le medesime cifre quanti numeri di due cifre puoi ottenere? (senza ripeterle!) 10