Problemi di secondo grado con argomento vario

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1 Problemi di secondo grado con argomento vario Impostare con una o due incognite Problemi Età. L età di Carlo è oggi il quadrato dell età di Massimo e fra quattro anni sarà il quadruplo. Quanti anni hanno attualmente Carlo e Massimo?. L età di Alice il prossimo anno sarà un quadrato perfetto, mentre anni fa era la radice quadrata di tale quadrato. Calcolare l età attuale di Alice. 3. La media delle età dei presenti ad una festa è uguale al loro numero. Ad una certa ora arrivano, in ritardo, due invitati la cui somma delle età è di 6 anni. La media delle età di tutti i presenti diventa così di anni. Trovare quanto era la media delle età prima dell arrivo dei due ritardatari. Parallelepipedi. La mamma ha acquistato una scatola di zollette di zucchero. Mariuccia ha prima mangiato lo strato superiore, formato da 96 zollette(!), poi ha mangiato lo strato laterale, formato allora 40 zollette. Infine ha mangiato altre zollette che formavano lo strato anteriore del rimanente. Quante zollette aveva la scatola inizialmente?. Un torrone a forma di parallelepipedo rettangolo è rivestito di cioccolato. Il parallelepipedo ha una faccia quadrata e l altra ha una dimensione 4 volte il lato del quadrato. Il torrone viene tagliato in cubetti da cm di lato e si scopre che i cubetti che hanno almeno una faccia ricoperta di cioccolato sono 00. Determinare le misure in cm dei lati del torrone. Suddivisioni. Debbo comperare delle matite colorate. Con euro ne prendo un certo numero di un certo tipo oppure 8 in meno di un tipo che costa di centesimi di euro in più l una. Quanto costano le matite dei due tipi?. E Natale e il nonno regala ai suoi 9 nipotini, in totale, 400 euro. La metà la distribuisce, in parti uguali, ai nipoti maschi. L altra metà, sempre in parti uguali, alle femmine, ciascuna delle quali riceve così 0 euro in più di un maschio. Quanti maschi e quante femmine ha il nonno tra i suoi nipoti? 3. Il pullmann per la gita scolastica della classe costa 80, costo da dividersi in parti uguali tra gli studenti che vi partecipano. Se due studenti decidono di non andare in gita, allora la quota individuale dei partecipanti aumenta di rispetto quella che si avrebbe se partecipasse l intera classe. Quanti alunni ha la classe?

2 Richiedono formule particolari (Gauss, combinazioni, relazioni geometriche) Vari. In un campionato di calcio considerando i gironi di andata e di ritorno, vengono giocate 306 partite. Quante sono le squadre che vi partecipano?. Isacco compie gli anni e, dopo aver soffiato sulle candeline, come tutti gli anni, ricorda di averne spente in tutta la sua vita 86. Quanti anni ha Isacco? 3. Un poligono ha 9 diagonali. Quanti lati ha il poligono? 4. L angolo interno di un poligono regolare è maggiore di dell angolo interno del poligono regolare che ha due lati in meno. Determinare i lati del poligono.. Un pescatore costruisce da solo una rete a maglie quadrate. Cucendola ha fatto esattamente 3 nodi all interno e ha messo 8 piombini sul perimetro della rete. Quante maglie ha quella rete? (per capire cosa sono, nel disegno vi sono 6 nodi, 4 piombini e maglie) Piombini Nodi Maglia. 6 pacchetti di gomma da masticare costano tanti euro quanti sono i pacchetti che si riescono a comperare con un euro. Quanti centesimi di euro costa un pacchetto? Soluzioni Età. Questo problema si può risolvere mediante un sistema: chiamando con x l età di Carlo e con l età di Massimo. x = x + 4 = 4( + 4) Le soluzioni di sono quindi 6, }, ma poichè l età non può essere negativa solo = 6 è accettabile. Quindi, poichè x = e = 6, x = 36, Massimo ha 6 anni e Carlo ha 36 anni.. Questo problema si può risolvere mediante un sistema: chiamando con x l età di Alice e con la base del quadrato.

3 x + = x = con x > Le soluzioni di sono quindi 4, 3}, quindi, poichè x = +, x sarà o 8, ma poichè per ipotesi Alice deve avere almeno anni la soluzione accettabile è solo x =. Alice ha quindi anni. 3. Questo problema si può risolvere mediante un sistema chiamando con x la somma delle età dei presenti e con il numero dei presenti. x = x+6 = + x = + 0 = 0 Delle soluzioni di 0, } solo 0 è accettabile perchè per ipotesi ci sono più presenti alla festa (con l altra soluzione alla festa ci sarebbe stato solo un neonato di un anno...) quindi alla festa prima dell arrivo dei ritardatari la media delle età dei presenti è 0 anni. Parallelepipedi. Questo problema si può risolvere con un sistema chiamando con x l altezza, la larghezza e z la profondità del parallelepipedo totale. z = 96 (x )z = 40 (x )( ) = z = 96 (x ) 96 = 40 (x )( ) = z = 96 = x ( x ) (x ) = Prendendo le soluzioni positive di una variabile, ad esempio x come proposto sopra, e inserendole nelle altre equazioni i risultati sono x = 6, = e z = 8. Questo problema si può risolvere mediante un sistema di secondo grado, chiamando con x il numero dei cubetti del lato della faccia quadrata del parallelepipedo e con l altra dimensione. x + (4x )x + (4x )(x ) = 00 3x 4x 3 = 0 = 4x = 4x Delle soluzioni 4, 8 3} solo x = 4 è accettabile perchè positiva, quindi il lato della faccia quadrata misurerà 4 cm e l altro lato sarà di 6 cm. Suddivisioni. Questo problema si può risolvere con un sistema, chiamando con x il numero delle matite nel primo caso, con il costo in euro del primo tipo di matite e con z il costo in euro del secondo tipo di matite. x = = (x 8)( + 4 ) = x z = + 4 x x 96 = 0 z = Delle soluzioni di x, 4, 6}, solo 4 è accettabile perchè positiva e quindi con x = 4 le matite del primo tipo costano 0 centesimi e le matite del secondo tipo 7 centesimi.. Questo problema si può risolvere con un sistema, chimando con x il numero dei nipoti maschi e con gli euro ricevuti da ogni nipote maschio. 3

4 x = 00 (9 x)( + 0) = 00 Delle soluzioni di 40, 0 9 dei nipoti maschi sarà x = x = 00 x = 00 (9 00 )( + 0) = = 0 } solo = 40 è accettabile perchè positiva, quindi il numero = e quindi quello delle femmine 9 = Questo problema si può risolvere con un sistema, chiamando con x il numero degli studenti della classe e con il costo del Pullman per ogni studente. x = 80 (x )( + ) = 80 x = = 0 Delle soluzioni di 9, 0} solo = 9 è accettabile perchè positiva, quindi con x = 80 9 = 0 gli alunni della classe sono 0. Richiedono formule particolari (Gauss, combinazioni, relazioni geometriche). Risoluzione: Dato n il numero delle squadre, ogni squadra affronta n - partite, infatti essendo gironi si intenda nel primo squadra A contro squadra B e nel secondo squadra B contro squadra A Quindi n(n ) = 306 n n 306 = 0 Poichè n deve essere positivo, solo il risultato x = 8 è accettabile e quindi le squadre partecipanti sono 8. NOTA: Le partite di un girone sono anche n k= k = (n ) + n e quindi poichè i gironi sono due (n ) + n = n n. Questo problema si può risolvere tramite la formula di Gauss per la progressione aritmetica (a ragione ): n n(n + ) k = E quindi: k= 86 = n +n n + n 7 = 0 Delle soluzioni di n 4, 4} solo n = 4 è accettabile perchè positiva, quindi Isacco ha 4 anni. 3. La formula che lega il numero delle diagonali d al numero dei vertici n (o a quello dei lati che è uguale), è la seguente: n(n 3) d = Che si ricava dalla sommatoria di una progressione aritmetica di n (con la quale si ottiene il numero delle diagonali + il numero dei lati, poichè considera tutte le linee che partono dai vertici verso gli altri vertici compresi i lati) sottraendo il numero n di vertici (o lati) n(n ) n = n(n 3) 4

5 L equazione per risolvere il problema sarà quindi: 9 = n 3n n 3n 38 = 0 Delle soluzioni di n 7, 4} solo n = 4 è accettabile perchè positiva, quindi il poligono avrà 7 lati. 4. Dato n il numero di lati di un poligono regolare la formula che determina l ampiezza di ogni angolo interno α è la seguente: Quindi L equazione verra impostata così: (n )80 n = α (n 4)80 n + = (n )80 n Ovvero angolo interno del poligono regolare con due lati in meno + uguale all angolo interno del poligono regolare. n n 48 = 0 Delle soluzioni 8, 6} solo n = 8 è accettabile perchè positiva, quindi il poligono regolare ha 8 lati. Vari. Questo problema si può risolvere con un sistema, chiamando con x il numero dei piombini della base, con il numero dei piombini dell altezza e con z il numero delle maglie. x + ( ) = 8 (x )( ) = 3 (x )( ) = z x = = 0 (x )( ) = z Le soluzioni di 0, 6} sono anche quelle di x poichè il sisteme è simmetrico, quindi se = 6 allora x = 0 e se = 0 allora x = 6. Inserendo le soluzioni nell equazione del sistema per trovare z si avrà come soluzione z = 4, quindi la rete ha 4 maglie.. Questo problema si può risolvere con una equazione di secondo grado, chiamando con x il costo in euro di ogni pacchetto. 6x = x Quindi x = ± 4 centesimi. 6x = x = ± 6 ma è accettabile solo la soluzione positiva, ovvero ogni pacchetto costa