Epistemologia e Storia della Matematica I

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1 Epistemologia e Storia della Matematica I GLI INSIEMI Corsista Elena Spera

2 Presentazione Questa dispensa nasce come supporto alla lezione. Il docente può integrare le proprie spiegazioni proiettando le diapositive anche non in sequenza. nimazioni e chiarezza grafica sono sicuramente da considerarsi aspetti vantaggiosi rispetto agli strumenti tradizionali. Le animazioni inoltre, possono aiutare lo studente nell apprendimento graduale del concetto. Questa presentazione può anche essere utilizzata come valido supporto allo studio. L allievo può utilizzarla per rivedere autonomamente le parti fondamentali dell unità didattica. Sono state inoltre introdotte alcune diapositive di approfondimento sugli insiemi infiniti e i paradossi che ne derivano, queste diapositive richiedono il sostegno di una spiegazione. Vengono infine proposti alcuni esercizi grazie ai quali l allievo può autoverificare il proprio grado di preparazione.

3 Un po di Storia La teoria degli insiemi è una branca della matematica creata principalmente dal matematico tedesco Georg Cantor alla fine del diciannovesimo secolo. Inizialmente controversa, la teoria degli insiemi è arrivata ad avere il ruolo di teoria fondamentale nella matematica moderna, nel senso di una teoria invocata per giustificare le assunzioni fatte riguardo all'esistenza degli oggetti matematici (come i numeri o le funzioni) e delle loro proprietà. Le formulazioni formali della teoria degli insiemi hanno giocato anche un ruolo fondamentale nello specificare un ideale teorico di rigore matematico nelle dimostrazioni. Mentre i concetti basilari della teoria degli insiemi sono usati ovunque in matematica, la teoria in sé è seguita come tema specialistico da un numero relativamente piccolo di matematici e logici. Si deve ricordare inoltre che ci sono matematici che usano e promuovono diversi approcci ai fondamenti della matematica. I concetti basilari della teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi. Quindi si parla dell'insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4,... }, dell'insieme dei numeri reali, e dell'insieme delle funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio, dell'insieme { 0, 2, N } che ha come elementi i numeri 0 e 2 e l'insieme N.

4 RPPRESENTZIONE Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l insieme che chiameremo di tutti gli amici di Marco che sono: ndrea, Marta, Simone, Matteo, nna, Martina. 1 Con i diagrammi di Eulero Venn: Marta ndrea Simone Martina 2 ttraverso la rappresentazione tabulare (estensiva): Matteo nna = {Marta; ndrea; Matteo; Martina; Simone; nna} 3 Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva): = {x x è amico di Marco}

5 = {b; d} = {a; b; d; e; f} U = {a; b; c; d; e; f} PPRTENENZ U e c a b f d a, a U, a, b, b, b U c U, c, c

6 SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE, è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé stesso L insieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme è un SOTTOINSIEME DI U C è un SOTTOINSIEME DI c U,,.. b C a d C,,.. U C

7 SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE U = {a; b; c; d; e; f} = {a; b; d; e; f} = {b; d} {b; d} {a; b; d} U e c a b f d {d}

8 PPRTENENZ e INCLUSIONE PPRTENENZ INCLUSIONE b d L elemento b appartiene all insieme b L insieme {b} è strettamente incluso nell insieme {b} L insieme {d;b} è uguale ad {d;b} oppure {d;b} =

9 INSIEME COMPLEMENTRE. = C u = {x x U e x } b U E l insieme degli elementi di U a d c e f g ={a; b; g} Che non appartengono ad

10 INSIEME COMPLEMENTRE. C C = {x x e x } b E l insieme degli elementi di a d c e f g C ={a; b; g} Che non appartengono ad

11 INTERSEZIONE E l insieme degli elementi che appartengono sia ad sia a = {x x e x }

12 CSI PRTICOLRI DELL INTERSEZIONE = = Se =, e si dicono DISGIUNTI = Se allora = U =

13 UNIONE E l insieme degli elementi che appartengono ad o a, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. = {x x o x }

14 UNIONE di insiemi DISGIUNTI L UNIONE degli insiemi e è l insieme degli elementi che appartengono ad o a, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.

15 CSI PRTICOLRI DELL UNIONE = = = U Se allora =

16 = {a; b; c; d; e; f} = {d; e; f; g; h; i; l} g a d b e h c f l i = {d; e; f} = {a; b; c; d; e; f; g; h; i; l}

17 DIFFERENZ. - E l insieme formato da tutti gli elementi di che non appartengono a - = {x x e x } - Si tolgono ad tutti gli elementi che appartengono a E costituito dagli elementi di che NON appartengono a

18 DIFFERENZ. -, -. = {a; b; c; d; e; f} ={d; e; f; g; h; i; l} g a d b e h c f l i - = {a; b; c} - = {g; h; i; l}

19 DIFFERENZ. -, -. a g d b e h c f l i a g d b e h c f l - = {a; b; c} i - = {g; h; i; l} a g d b e h c f l i

20 CSI PRTICOLRI DELL DIFFERENZ TR INSIEMI - = - = Se = allora - = e - = Se allora - =

21 b INSIEME DELLE PRTI P() = {a; b; c;} a c Dato un insieme, l insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI propri e impropri, si definisce insieme delle parti di e si indica con P() I possibili SOTTOINSIEMI di L insieme delle parti di è: sono: {a} {b} {c} {a; b} {a; c} {b; c} {a; b; c} P() = { ; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c} } Gli elementi di P() sono INSIEMI Se contiene n elementi, P() ne contiene 2 n

22 PRTIZIONE DI UN INSIEME Si consideri un numero n di sottoinsiemi di. 5 4 Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PRTIZIONE di se: 1 i e i, i Ogni sottoinsieme è proprio 2 i k = con i k I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti = L unione di tutti i sottoinsiemi dà l insieme

23 PRODOTTO CRTESINO Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi e, e si indica x, l insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad e il secondo a x = {(x;y) x e y } Si legge cartesiano Dati gli insiemi: = {a; b; c;} e = {1;2} x = { (a ;1), (a ;2), (b ;1), (b ;2), (c ;1), (c ;2) } a b c 1 2

24 RPPRESENTZIONE GRFIC DEL PRODOTTO CRTESINO L insieme x = {(a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)} può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: a b c 1 2 Rappresentazione SGITTLE (FRECCI) Rappresentazione mediante tabella a DOPPI ENTRT Rappresentazione CRTESIN 2 1 (a;1) (b;1) (c;1) 1 2 (a;2) (b;2) (c;2) a b c / a b c

25 OSSERVZIONI SUL PRODOTTO CRTESINO La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x) Gli elementi dell insieme cartesiano sono coppie x = 2 x x Se e hanno rispettivamente n e m l insieme x possiede nxm elementi. elementi,

26 LE STRNEZZE DEGLI INSIEMI INFINITI

27 Rispondi: L insieme dei numeri pari P è un sottoinsieme proprio dell insieme dei numeri naturali N? N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;.. } P = {0; 2; 4; 6; 8; 10.} Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni elementi di N. Quale insieme ha più elementi? N o P? Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare essendo P un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo punto ci si dovrà fermare, proprio come succede quando si conta il numero delle stanze della casa dove abitiamo! PROV CONTRE UTILIZZNDO LE DIT IL NUMERO DELLE STNZE DELL TU CS!!!!

28 Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P. Invece che contare utilizzando le dita come facciamo qualche volta, utilizziamo l insieme N e delle frecce. Per ora trascuriamo lo zero. N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;.. } P = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18.} quale numero ci fermiamo????? Quanti sono gli elementi di P?? Chi ha più elementi N o P? bbiamo ottenuto un risultato assai strano! Dato un insieme con un numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!

29 L HOTEL DI HILERT

30 In rete: In questo sito si trovano: nozioni fondamentali sugli insiemi; animazioni riguardanti le operazioni fra insiemi; un po di storia relativa allo sviluppo della teoria degli insiemi; il paradosso dell Hotel infinito di Hilbert. Ipertesti con brevi note teoriche, alcuni esempi ed esercizi.

31 Trova: C ESERCIZIO N. 1.. C m n g a d b e h c f Clicca sulla risposta corretta l i C = {g; h; i; l} C = {d; e; f} C = {d} C = {e; f} Esercizio Successivo

32 Trova: C - ( ) ESERCIZIO N. 2.. C m n g a d b e h c f Clicca sulla risposta corretta l i C - ( ) = {m; n} C - ( ) = {e; f} C - ( ) = {m; n; d} C - ( ) = {g; h; i; l} Soluzione passo passo Esercizio Successivo

33 ESERCIZIO N. 3.. Quale espressione rappresenta l area evidenziata? C Clicca sulla risposta corretta C - ( ) (C ) - C ( ) - C Esercizio Successivo

34 ESERCIZIO N. 4.. Quale espressione rappresenta l area evidenziata? C Clicca sulla risposta corretta C - ( ) (C ) - C ( ) - C Esercizio Successivo

35 ESERCIZIO N. 5.. Quale espressione rappresenta l area evidenziata? C Clicca sulla risposta corretta (C - ( )) (( ) - C) (C ) - C ( ) - C Esercizio Successivo

36 RISPOSTE I QUESITI

37 SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2.. Trova: C - ( ) C m Un clic del mouse per Si tolgono avanzare a C passopasso di = {m; n} gli elementi Soluzione n g a d b i e h c f l Torna all esercizio

38 TEORI DEGLI INSIEMI COMPLIMENTI RISPOST ESTT!!!! Ritorna alla diapositiva precedente

39 TEORI DEGLI INSIEMI MI DISPICE RISPOST ERRT!!!! Ritorna alla diapositiva precedente