Determinanti. Definizione ed esempi. Definizione ed esempi. Proprietà dei determinanti Rango di matrici

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1 Introduzione S S S Rango di matrici Si dice sottomatrice d'una matrice data la matrice ottenuta selezionando un certo numero di righe e di colonne della matrice iniziale. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 1 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 2 data la matrice D ora in poi si tratteranno solo matrici reali. Definizione: Si dice determinante d'una matrice quadrata la funzione che ad ogni matrice quadrata A associa il numero reale la prima delle seguenti è una sottomatrice di A, la seconda non lo è. dove con A* ij s indica il complemento algebrico di a ij, cioè il determinante della sottomatrice A ij, ottenuta da A sopprimendo la riga i-esima e la colonna j-esima (I teorema di Laplace). Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 3 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 4

2 Definizione Data una matrice A M m,n, si dice minore d ordine p, ogni determinante d una sottomatrice d ordine p, ottenuta considerando p righe e p colonne della matrice di partenza. Se la matrice è ridotta ad un solo elemento (ordine 1) risulta det (a) = a Se la matrice è d'ordine 2, Si chiama aggiunto di a ij, il suo complemento algebrico con il segno opportunamente cambiato. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 5 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 6 Se la matrice è d ordine 3, Data la matrice, qual è il complemento algebrico di 3? Il suo determinante si può calcolare in vario modo: Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 7 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 8

3 Data la matrice, il suo determinante vale Data una matrice n n, il suo determinante è composto dalla somma di tutti gli n! prodotti notevoli della matrice, prodotti di elementi presi su righe e colonne differenti, ciascuno con il segno dipendente dalla sua parità rispetto alla permutazione identica 12...n. Per parità rispetto ad 1...n s intende il numero di permutazioni di coppie di numeri necessari ad ottenerla. Esempio Le permutazioni di 123 sono: ha parità 0 con 123, 132 ha parità 1, 231 ha parità 2, 321 ha parità 1, 213 ha parità 1, 312 ha parità 2. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 9 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 10 Nota: Assunta questa definizione di determinante, quella data costituisce il Iº Teorema di Laplace. Il determinante è dunque una funzione dall insieme delle matrici ai numeri reali: det: M n n R Proposizione 1. Se una matrice ha una linea (riga o colonna) composta di zeri, il suo determinante è nullo. Dimostrazione: sviluppando secondo la riga o la colonna in questione, risulta, dalla definizione di determinante Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 11 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 12

4 Proposizione 2. Se due matrici A e B hanno due linee parallele scambiate fra loro, det A = - det B. Dimostrazione: infatti, in ciascun prodotto notevole compaiono elementi d entrambe le linee, solo che, se sono scambiate, in una matrice i prodotti avranno segno scambiato rispetto all'altra. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 13 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 14 Proposizione 3. Se una matrice ha due linee parallele uguali, il suo determinante è zero. Dimostrazione: infatti, scambiando le linee fra loro il determinante dovrebbe cambiar segno, ma, essendo le linee uguali, sarà lo stesso, e dunque zero. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 15 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 16

5 Proposizione 4. In una matrice, la somma di prodotti d'elementi d'una linea per gli aggiunti d una linea parallela è zero (II teorema di Laplace). Sia, allora Dimostrazione: è come calcolare il determinante d una matrice avente due linee parallele uguali, giacché (parte del)la linea compare anche dentro gli aggiunti dell'altra linea. è come calcolare il determinante della matrice Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 17 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 18 Proposizione 5. Se si moltiplica una linea d una matrice per k il determinante è moltiplicato per k. Dimostrazione. Infatti, sviluppando secondo quella linea, si può raccogliere a fattore comune k, dunque 3 la seconda colonna si ha, moltiplicando per mentre moltiplicando per 3 tutta la matrice si ha: Se invece si moltiplica per k tutta la matrice, allora det (ka) = k n det(a) Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 19 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 20

6 Proposizione 6. Se la linea h-esima d una matrice A può scriversi come combinazione lineare di più linee parallele, il determinante è la combinazione lineare di determinanti di matrici A 1,A 2,...,A s aventi le stesse linee di A, meno la h-esima, che in ogni matrice è una delle linee formanti la combinazione lineare. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 21 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 22 Dimostrazione: basta scomporre lo sviluppo del determinante secondo la linea: Sia la prima riga ( -1 0 ) = 3. ( 1 2 ) - 2. ( 2 3 ) Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 23 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 24

7 3 (- 2) - 2 (- 1) = = - 4 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 25 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 26 Proposizione 7. Se in una matrice, una linea è combinazione lineare di linee parallele, allora il suo determinante è nullo. la terza colonna della matrice seguente è somma della prima e della seconda colonna. Dimostrazione: in base alla proposizione precedente il determinante si scompone in una combinazione lineare di determinanti di matrici con linee parallele uguali. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 27 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 28

8 Il determinante è dunque una funzione che si annulla ogniqualvolta esistono linee di zeri o combinazioni lineari. Pertanto è un utile strumento di verifica delle relazioni intercorrenti fra le linee di una matrice. Sia A = (a ij ) una matrice quadrata. Sia A a = ((- 1) i+j det A ij ) la matrice aggiunta di A, formata cioè dagli aggiunti di ciascun suo elemento. Proposizione 8. Il prodotto AA at, dove A at è la matrice trasposta dell'aggiunta di A è la matrice det(a).i, matrice diagonale con tutti gli elementi uguali a det A. Dimostrazione: L'elemento generico del prodotto, sia p ij, corrisponde al prodotto di elementi della riga i-esima di A per gli aggiunti della riga j-esima. Pertanto, se i = j, allora ; se invece i j, allora. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 29 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 30 Dal teorema precedente risulta dunque: AA at = det A. I = A at A e se det A 0, allora dunque l inversa di A è Proposizione 9. Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia invertibile è che abbia il determinante non nullo. In tal caso, la sua inversa vale A -1 = (deta) -1 A at = ((-1) j+i A* ji /deta) l inversa è la matrice trasposta dell'aggiunta, divisa per il determinante di A. Pertanto, perché una matrice quadrata sia invertibile occorre e basta che linee parallele siano tutte linearmente indipendenti e non nulle. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 31 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 32

9 sia da calcolare la matrice inversa 2) Trasposizione 3) Aggiunta della trasposta 1) Calcolo del determinante Nota: se fosse det S = 0 ci si fermerebbe, perché l inversa non esisterebbe. In questo caso si può continuare. 4) Inversa Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 33 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 34 Rango di matrici Rango di matrici Rango di matrici Nel caso di matrici non quadrate, non si può calcolare il determinante, ma si possono considerare i suoi minori, cioè i determinanti di sue sottomatrici quadrate. Sia la matrice di tipo p n, con, ad es. p > n. Allora è possibile considerare i minori di A fino all'ordine n. Se una linea di A è combinazione lineare d'altre linee, questo accade in tutti i minori che contengono tali linee, che quindi sono nulli. Proposizione In una matrice, se i minori d'ordine r sono zero, lo sono anche tutti quelli d'ordine s > r. Dimostrazione Un minore d'ordine r+1 si può sviluppare come combinazione lineare di minori d'ordine r della matrice. Pertanto, se quelli sono zero lo è anch'esso e per ricorrenza sono zero tutti i minori d'ordine > r. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 35 Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 36

10 Rango di matrici Definizione Si dice rango d'una matrice l'ordine massimo dei minori non nulli. Esso è equivalente al numero di linee parallele della matrice linearmente indipendenti. Naturalmente, anche le matrici quadrate hanno un rango, che è minore dell'ordine, se il determinante è zero. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV - 37