FAM. 2. A che cosa corrisponde l intersezione delle iperboli con la retta y = 2? Rappresenta graficamente la situazione.

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1 FAM Serie 6: Fenomeni ondulatori VI C. Ferrari Esercizio 1 Equazione dell iperbole ed interferenza Considera due sorgenti S 1 e S 2 poste sull asse Ox in x = d 2 e x = d Nel piano Oxy determina le equazioni cartesiane dei luoghi geometrici (iperboli) in cui si osservano interferenze costruttive rispettivamente distruttive. 2. A che cosa corrisponde l intersezione delle iperboli con la retta y = 2? Rappresenta graficamente la situazione. 3. Se d = 0,1mm e la lunghezza d onda vale λ = 560nm determina le coordinate dei punti corrispondenti ai primi 3 massimi di interferenza costruttiva se lo schermo è posto ad una distanza y = 2m. 4. Ripeti il punto 1. nello spazio ed utilizza Maple per rappresentare alcune superfici di interferenza costruttiva e distruttiva. Queste superfici sono degli iperboloidi di rotazione. A cosa corrispondono le intersezioni di questi iperboloidi con dei piani perpendicolari agli assi Oy e Ox? Esercizio 2 Interferenza da N fenditure Studia l interferenza ottenuta con N fenditure separate l una dall altra da una distanza g. Supponi che il punto P preso in considerazione si trovi ad una distanza D g e che le N fenditure siano sorgenti di onde armoniche temporalmente in fase. Ricorda che Ī0( ) 2 Ī = sinnx sinx dove X = πgsinθ/λ. 1. Rappresenta graficamente con Maple l intensità media in funzione di g sin θ/λ per N = 2,4,8, Verifica, utilizzando il grafico del punto 2, che i massimi principali sono determinati dalla condizione gsinθ = nλ, (n Z). 1

2 Esercizio 3 Interferenza da N fenditure 1. Della luce cade normalmente su di un reticolo con 4000 tratti/cm e l immagine del secondo picco principale si trova a 34 rispetto alla normale. Calcola la lunghezza d onda della luce e stabilisci a quale colore corrisponde. 2. Unfasciodiluceverde(λ = 5400Å)èdiffrattodaunreticolodi2000tratti/cm. (a) Calcola la deviazione angolare dell immagine del terzo picco principale. (b) È possibile che si ottenga il decimo picco principale? Esercizio 4 Interferenza da N fenditure: dispersione e risoluzione Consideriamo un reticolo sul quale incide un fascio di luce con diverse lunghezze d onda. Si parla anche di reticolo di diffrazione. Definiamo la dispersione D del reticolo, parametro che caratterizza la separazione angolare tra due righe, come D = θ λ dove θ è la distanza angolare tra due righe la cui lunghezza d onda differisce di λ. Più D è grande maggiore è la dispersione. Si dimostra che D = n gcosθ dove n è l ordine del picco. Definiamo il potere di risoluzione R del reticolo, parametro che caratterizza la larghezza delle righe, come R = λ λ dove λ è la media delle lunghezze d onda di due righe e λ la loro differenza. Si dimostra che R = Nn dove n è l ordine del picco e N il numero di fenditure. Considera tre reticoli A, B e C per il quale si considera il primo picco (n = 1) con i seguenti dati: Reticolo N g [nm] θ D [ /µm] R A ,4 B ,4 C ,5 1. Completa la tabella e commenta e rappresenta qualitativamente l intensità di due righe con lunghezza d onda vicina. 2. Dimostra le formule per D e R. Per far ciò utilizza che la larghezza di una riga che si trova ad un angolo θ è data da λ δθ = Ngcosθ. 2

3 Esercizio 5 Interferenza da N fenditure: il doppietto del sodio Un reticolo di diffrazione dotato di 1, incisioni uniformemente spartire su una lunghezza di 25,4 mm è illuminato perpendicolarmente dalla luce gialla di una lampada a vapori di sodio. Questa luce contiene due righe molto vicine (il noto doppietto del sodio) con lunghezze d onda λ 1 = 589nm e λ 2 = 589,59nm. 1. Qual è la posizione angolare del primo massimo relativo alla prima delle due lunghezze d onda, e per la seconda? 2. Qual è la distanza angolare tra le due righe disperse dal reticolo al primo ordine? 3. Qualèlalarghezzadellerighealprimoordine?Èrisolvibile(ossiadistinguibile) il doppietto del sodio? 4. Quante incisioni deve avere come minimo il reticolo per poter risolvere il doppietto del sodio al primo ordine? 5. Se il terzo ordine viene osservato con un angolo di 10 e in tale situazione il doppietto è appena risolto, qual è il passo del reticolo e la larghezza totale del reticolo? Esercizio 6 Diffrazione di onde luminose 1. Un fascio di luce monocromatica incide su una fenditura larga 22 µm e produce il primo minimo di diffrazione nella direzione che forma un angolo di 1,8 o rispetto al raggio incidente. Trova la lunghezza d onda della luce e stabilisci a quale colore corrisponde. 2. Una fenditura di 0,1mm di larghezza viene illuminata con luce di 6000Å di lunghezza d onda e si osservano le bande di diffrazione prodotte su di uno schermo distante 40 cm dalla fenditura. Quanto dista la terza banda scura dalla banda chiara centrale? Esercizio 7 Diffrazione di onde luminose Su una stretta fenditura incide una luce monocromatica di lunghezza d onda 441 nm. Su uno schermo posto a 2m di distanza, l intervallo tra il massimo centrale ed il secondo minimo risulta essere di 1,5 cm. 1. Calcola l angolo di diffrazione del secondo minimo. 2. Determina la larghezza della fenditura. 3

4 Esercizio 8 Trasmissione di un onda piana da una fenditura Considera un onda piana di lunghezza d onda λ che incide su una fenditura di larghezza a. 1. Sia X = a πsinθ. Calcola i limiti λ lim sinx a λ 0 X e a lim sinx λ X e determina cosa accade nei casi a λ e a λ. Fai un disegno della propagazione dell onda (prima e dopo la fenditura) nei due casi e stabilisci con quali angoli è trasmessa l onda piana dopo la fenditura. 2. Che cosa accade se a λ? Con l aiuto di Maple, rappresenta graficamente l intensità Ī in funzione di θ quando a = 10λ e l intensità del picco centrale vale 10mW/cm Se a λ = m, dove x Z rappresenta la parte intera di x R, quanti minimi di diffrazione si avranno? 4. Dimostra che la larghezza angolare del picco centrale di diffrazione vale θ = 2arcsin λ a e verifica il risultato nel caso dell esempio del punto 2. Esercizio 9 Diffrazione di onde acustiche Onde sonore di 3000Hz di frequenza e con una velocità di 343m/s vengono diffratte dall apertura rettangolare di una cassa acustica in un vasto auditorium. L apertura, larga 30 cm, dista 100 m dalla parete di fondo dell auditorium. Cassa acustica Asse centrale 100m Localizza sulla parete il primo minimo di diffrazione e quindi la posizione d ascolto meno favorevole. (Trascura la riflessione del suono sulle pareti.) 4

5 Esercizio 10 Criterio di Rayleigh Consideriamo la diffrazione della luce attraverso un foro circolare (e non una fenditura rettangolare) di diametro a. Si dimostra che il primo minimo della figura di diffrazione si ottiene per sinθ = 1,22 λ a. Considerando due sorgenti lontane dal foro e con una lieve distanza angolare, esse sono risolvibili (cioè distinguibili) a partire dalla situazione in cui il massimo centrale della figura di diffrazione di una sorgente coincide con il primo minimo della figura di diffrazione dell altra (criterio di Rayleigh), questo vale se θ θ min dove per piccoli angoli θ min sinθ min = 1,22 λ a. La risoluzione di un telescopio è limitata dal diametro della lente oppure dal diametro dello specchio dell obiettivo. Un tipico telescopio astronomico amatoriale può avere uno specchio di diametro 15,24 cm. 1. Qual è la minima separazione angolare (in secondo d angolo) di due stelle perché possano essere risolte con un telescopio di questo tipo? (Considera λ = 550nm). 2. Qual è la minima distanza (in km) che devono avere due punti sulla superficie della Luna perché possano essere risolti da un telescopio di questo tipo? (Distanza Terra-Luna: km). Esercizio 11 Diffrazione da una doppia fenditura Una luce di lunghezza d onda 440 nm passa attraverso una doppia fenditura dando luogo ad una figura di diffrazione la cui intensità è mostrata nella figura sottostante. 1. Calcola la larghezza delle fenditure e la loro distanza. 2. Verifica la correttezza dei valori di intensità indicati per le prime due frange laterali. 5

6 Esercizio 12 Diffrazione da una doppia fenditura Nell esperimento con un sistema a due fenditure la lunghezza d onda vale 405 nm, la distanza tra le fenditure vale d = 19,44µm e la larghezza delle fenditure vale a = 4,05µm. 1. Quante frange chiare si contano dentro il picco centrale dell inviluppo di diffrazione? 2. Quante frange chiare sono contenute dentro uno dei due primi massimi laterali? 3. Utilizza Maple per rappresentare la figura di diffrazione ottenuta e verifica i risultati dei punti precedenti se l intensità del picco centrale vale 10mW/cm 2. 6