Corso di Laurea in Fisica Compito di Fisica 3 (Prof. E. Santovetti) 21 giugno 2018

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1 Corso di Laurea in Fisica Compito di Fisica 3 (Prof. E. Santovetti) giugno 08 Problema Due lenti sottili, biconvesse e simmetriche, hanno raggio di curvatura R = 0.0 cm e indice di rifrazione n =.5. Queste sono poste sullo stesso asse ottico ad una distanza d = R, come nella figura, e lo spazio tra le due lenti è riempito di acqua ( =.33).. Calcolare la posizione dei fuochi del sistema. Il sistema è convergente o divergente?. Calcolare dove si forma l immagine di un oggetto posto alla distanza p = 30 cm a sinistra della prima lente e l ingrandimento trasversale, specificando se l immagine è dritta o capovolta. 3. Supponendo di poter variare l indice di rifrazione del liquido tra le lenti, per quale valore di la relazione tra oggetto e immagine del sistema diventa particolarmente semplice? Si scriva tale relazione. A quale sistema più semplice tale situazione è equivalente? Problema Un fascio di luce non polarizzato, di potenza P 0 = 0 mw e sezione trasversale Σ 0 = 8 mm, incide su un prisma retto di vetro (n =.5), avente per base un triangolo rettangolo con l angolo acuto pari a α = 6 o, come nella figura, in modo che il piano di incidenza è parallelo alle basi del prisma. α. Calcolare l intensità del fascio incidente.. Calcolare l angolo di incidenza θ i tale per cui la luce esce dal prisma in modo normale alla seconda superfice. θ i 3. Relativamente al fascio che esce dal prisma, calcolare la potenza, l intensità e il grado di polarizzazione. 4. Considerando ora tutte le possibili riflessioni e trasmissioni e assumendo che il prisma sia indefinito verso il basso, quali altri raggi escono dal prisma? Calcolare la potenza totale che esce dal prisma e quella che ne rimane all interno. n

2 Problema 3 Un foro circolare in uno schermo opaco, di diametro 3 mm, viene illuminato con un onda piana di lunghezza d onda λ = 500 nm e la figura di diffrazione viene osservata su un secondo schermo alla distanza di.5 m.. Il centro della figura di diffrazione è chiaro o scuro?. Qual è la minima variazione della distanza tra i due schermi che porta ad invertire la situazione del punto precedente? 3. Per quale valore della distanza tra i due schermi si ha la massima intensità di luce al centro della figura di diffrazione? 4. (facoltativo) Considerando il metodo grafico dei vettori rotanti, calcolare la massima distanza degli schermi per cui, sempre al centro della figura, l intensità si dimezza, rispetto al massimo.

3 Soluzione Problema Poichè tra le due lenti abbiamo l acqua, non possiamo usare l equazione della lente sottile ma dobbiamo partire dalle equazioni dei quattro diottri che costituiscono il sistema. Le equazioni sono: + n = n p q R n + = n p q R + n = n p 3 q 3 R n + = n p 4 q 4 R p = q p 4 = q 3 q 3 = R p () () dove il segno del raggio R è stato esplicitato e ora R = 0 cm ovunque. Abbiamo dunque sette equazioni e otto incognite, per cui, data la posizione di un oggetto (p ), possiamo trovare la sua immagine (q 4 ) prodotta dal sistema. Usando le prime due relazioni della () possiamo ridurci al sistema + = n = α p q R + = n = α p = R q (3) p q R dove ora i pedici sono solo e e si riferiscono alla prima e alla seconda lente rispettivamente e, per comodità di calcolo, abbiamo introdotto il parametro α = cm, che rappresenta l inverso di una specie di distanza focale della lente sottile. Troviamo il fuoco posteriore. p, q = α, p = R α, = α q = F = αr = 4.95 cm. q p α(αr ) Il fuoco posteriore si trova 4.95 cm a destra della seconda lente. Il sistema è perfettamente simmetrico e dunque potremmo ripetere esattamente gli stessi passaggi (q ) per trovare il fuoco anteriore che si trova in posizione simmetrica dall altra parte, come in figura =.33 F F Il fuoco posteriore si trova davanti e fuori dal sistema e dunque possiamo dire che questo è convergente. Troviamo l immagine e l ingrandimento di un oggetto posto a p = 30 cm a sinistra della prima lente. p = 30.0 cm, q = (α ) ( = 39.5 cm, p = R q = 9.5 cm, q = α n ) = 8.9 cm. p p Per quanto riguarda l ingrandimento, dobbiamo ricordare che questo è il prodotto degli ingreandimenti dei vari strumenti (diottri o lenti), con l accortezza che per ogni prodotto ci va un segno meno ( ). Partendo dalle equazioni dei diottri (), troviamo I = I I I 3 I 4 = ( ) 3 q n p nq p nq 3 n p 3 nq 4 p 4 = q q 4 p p 3 In termini di oggetti e immagini delle due lenti, cioè del sistema descritto dalle equazioni (3) l ingrandimento vale I = q q p p = L ingrandimento è positivo e dunque l immagine è capovolta. Le equazioni (3) si semplificano molto se poniamo In tale caso le equazioni (3) diventano n = 0 = n =.0 3

4 p + q = 0 p + q = 0 p = R q q = p d Abbiamo dunque le equazioni di una lastra di piana di spessore d e indice di rifrazione. È interessante osservare che per questo valore particolare dell indice di rifrazione del mezzo intermedio, le due lenti sottili scompaiono e infatti per tale valore di abbiamo / f = α = 0, cioè la pseudo-focale della lente sottile tende a infinito. Problema L intensità del fascio incidente si trova subito dividendo la potenza per la sezione trasversale del fascio. I 0 = P 0 Σ 0 = 50 W/m Dalla geometria del sistema si vede facilmente che se vogliamo che la luce incida in modo normale sulla seconda superfice, θ r, angolo di rifrazione sulla prima superfice, deve essere proprio θ r = α. Possiamo allora scrivere sinθ i = nsinα θ i = sin (nsinα) = 4. o Calcoliamo ora la potenza usando i coefficienti di riflessione e rifrazione. A tale scopo osserviamo che ci sono due superfici attraversate, in cui i coefficienti sono diversi, essendo diversi gli angoli di incidenza. Inoltre nel caso della seconda superfice, in cui l incidenza è normale, il coefficente è uno solo non essendo definito il piano di incidenza. Indicando con i pedici e la prima e la seconda superfice, abbiamo R π = tan(θ i θ r ) tan(θ i + θ r ) = T π = R π = R σ = sin(θ i θ r ) sin(θ i + θ r ) = T σ = R σ = α R = ( n) ( + n) = T = R = Il coefficiente di trasmissione o riflessione sul piano si troverà dalla somma dei due coefficienti π e σ, pesati per l intensità (o la potenza) nelle rispettive direzioni. All inizio la luce non è polarizzata dunque avrà metà potenza nel piano π e metà potenza nella direzione σ e dunque T = /(T π + T σ ). Possiamo scrivere 3 θ i θ r 4 P = (T π + T σ )T P 0 = 9.54 mw. n Per l intensità dobbiamo semplicemente dividere per la superficie Σ del fascio uscente e abbiamo I = P = P cosθ i = 959 W/m p Σ Σ 0 cosα = T π T σ T π + T σ = Il fascio uscente dalla seconda superfice `stato indicato come il fascio. Considerando riflessioni e trasmissioni si posso trovare i seguenti altri raggi, come indicato nella figura: fascio : Il fascio riflesso dalla prima superfice. La potenza di tale fascio vale P = (R π + R σ )P 0 = mw. fascio 3: Il fascio, trasmesso dalla prima superfice e riflesso dalla seconda (verticale) e infine trasmesso dalla prima in senso contrario al fascio incidente. Evidentemente tale fascio percorre esattamente la stessa traiettoria del fascio incidente. Per calcolare la potenza di tale fascio bisogna considerare che, fino alla riflessione sulla seconda faccia tutto va come per il fascio, poi, per calcolare il coefficiente di trasmissione sulla prima faccia traversata in senso contrario (da destra verso sinistra), i coefficienti di trasmissione sono quelli gia calcolati (simmetria per lo scambio θ i θ r ) ma 4

5 ora il fascio ha componenti π e σ un po diverse (esattamente T π e T σ ) e queste vanno usate per calcolare il nuovo coefficiente di trasmissione. P 3 = (T Tπ π + T σ )R + T σ P 0 = T π + T σ T π + T σ R (Tπ + Tσ ) = mw. Dalla formula appena scritta si vede come possiamo trattare separatamente le potenze sul piano π e nella direzione σ in tutti i vari passaggi (trasmissioni e riflessioni) e poi mettiamo insieme. fascio 4: Infine c è il fascio 4 che subisce la doppia riflessione all interno del prisma. La sua potenza si calcola esattamente come per il fascio 3, tranne che ora devo usare i coefficienti di riflessione R π e R σ, sempre pesati con le diverse potenze nelle due direzioni. P 4 = (T π + T σ )R ( Tπ T π + T σ R π + T ) σ R σ P 0 = T π + T σ R (T π R π + T σ R σ ) = mw. Si verifica facilmente che P + P + P 3 + P 4 = P 0. È interessante osservare che il raggio 4, quando raggiunge la seconda superfice del prisma viene riflettuto completamente in quanto l angolo di incidenza vale θ i = α = 5 o e risulta maggiore dell angolo limite di riflessione totale interna, che vale θ = sin (/n) = 4.8 o. Il raggio 4 rimane all interno del prisma anche nelle riflessioni successive. Problema 3 Si tratta di un semplice caso di diffrazione di Fresnel. Per capire se il centro è chiaro o scuro dobbiamo vedere quante zone di Fresnel cadono all interno del nostro foro. Il raggio della zona di Fresnel n-sima vale R n = r 0 λn dove r 0 rappresenta la distanza dello schermo dal foro. Possiamo dunque trovare n che corrisponde al nostro caso n = R λr 0 = 3 Nel foro dunque entrano esattamente le prime tre zone e dunque il centro dello schermo è chiaro (numero dispari). Se voglio avere scuro al centro, dobbiamo fare in modo che ci sia un numero pari di zone di Fresnel, aumentando o diminuendo la distanza r 0. La minima variazione della distanza si avrà passando alla zona di Fresnel pari adiacente n = o n = 4. r 0 (n = 4) = R 4λ =.5 m r 0(n = ) = R λ =.5 m Dunque la minima variazione di distanza si ha passando alla zona n = 4 che corrisponde ad avvicinare lo schermo di d = m. La massima intensità al centro si ha quando nel foro entra esattamente la prima zona r 0 (n = ) = R λ = 4.5 m Nelle altre zone pari abbiamo un intensità simile ma leggermente più bassa, per via degli effetti geometrici e del fattore di obliquità. Dal grafico dei vettori rotanti, rappresentato nella figura, si vede il contributo della prima zona (in nero) e della seconda zona (in azzurro) e si può vedere come, quando lo sfasamento corrisponde a π/, il campo è esattamente pari a E / e dunque l intensità è la metà. D altra parte lo sfasamento di π/ corrisponde ad un cammino di λ/4 e dunque a prendere un foro di raggio R = (r 0 + λ/4) r0 r0 λ r 0 = R λ = 9 m E E* 5