Equazioni Generali delle Linee di Trasmissione

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1 Equazioni Generali delle Linee di Trasmissione 1

2 Rete Elettrica Ordinaria vs Linea di Trasmissione Parametri Concentrati Parametri distribuiti La lezione di oggi riguarda le linee di trasmissione dell energia elettrica. La presente formulazione differisce da quella precedente sulle guide d onda per il fatto che si considera un conduttore mono-dimensionale. La teoria dei circuiti basata sui principi di Kirchhoff non sono applicabili alle linee di trasmissione. Infatti detti principi si basano sull ipotesi di poter trascurare nelle equazioni di Maxwell le derivate rispetto al tempo del campo di induzione magnetica e del campo di densità di flusso elettrico. Grazie a questa assunzione abbiamo la possibilità di disaccoppiare lo studio dei circuiti dal funzionamento interno ai singoli dispositivi. È evidente infatti che tali ipotesi non sono più valide quando prendiamo in considerazione il funzionamento interno ai dispositivi come gli induttori all interno dei quali non si può trascurare il termine di derivata del flusso magnetico e come i capacitori dove non si può trascurare la derivata della densità di flusso elettrico. La scelta delle variabili descrittive Potenziale e Intensità di Corrente ci permette di disaccoppiare lo studio dei circuiti da quello dei componenti che vengono descritti a tutti gli effetti dalle loro equazioni caratteristiche. Possiamo affermare che le ipotesi di Kirchhoffnon sono valide all interno dei componenti perché il valore di densità dei campi sia elettrico sia magnetico sono molto elevati. Un altra ragione per la quale le derivate rispetto al tempo non sono trascurabili è che i campi variano molto rapidamente per cui le variazioni delle variabili in un punto del circuito producono effetti che si propagano 2

3 nel sistema con tempi non trascurabili. Come criterio generale assumiamo il rapporto tra la massima dimensione del sistema e la lunghezza d onda della propagazione nel senso che se le due dimensioni sono dello stesso ordine di grandezza o ancora di più se il suddetto rapporto è maggiore di 1 il sistema non può più essere considerato come istantaneo. La dimensione per la quale dobbiamo tenere conto degli effetti di propagazione è perciò relativa alla frequenza del fenomeno. Nel caso le ipotesi di Kirchhoffsono valide il sistema si dice a Parametri Concentrati mentre in caso contrario si parla di sistema a Parametri Distribuiti. Sono esempi di sistemi a parametri distribuiti le linee di trasmissione dell energia elettrica come i microchip dei computer 2

4 Elemento differenziale della linea =0 LKV + + =0 LKC Per poter studiare i fenomeni di propagazione lungo la linea consideriamo il modello dell elemento infinitesimo di linea di lunghezza. Si tratta di un componente 2- portedove sono presenti un impedenza ohmico-induttiva longitudinale e un ammettenza ohmico-capacitiva trasversale. Indichiamo rispettivamente con R L G C i valori di resistenza induttanza ammettenza e capacità per unità di lunghezza della linea. Il prodotto di queste grandezze per la lunghezza fornisce le stesse proprietà per l elemento di linea.quanto minore è il tratto tanto migliore risulterà l approssimazione dovuta al fatto che consideriamo l ammettenza trasversale tutta concentrataa valle dell impedenza longitudinale. Nella diapositiva sono riportate l equazione di Kirchhoffalle tensioni relativa alla maglia di sinistra e quella alle correnti relativamente al nodo centrale 3

5 + + =0 + =0 Dividendo per e calcolando il limite per 0: = + = + = Fasori =! = + = + = + = + Costante di propagazione: %= + + α=re % : Costante di attenuazione β=im % :Costante di fase " =γ $! =γ$ Dividendo per e calcolando il limite per 0otteniamo due equazioni differenziali alle derivate parziali del I ordine nellatensione e nella corrente alla prima porta. Riportando le due equazioni nel dominio dei fasori otteniamo due equazioni differenziali complesse nella tensione e nella corrente che possono essere espresse in due equazioni armoniche rispettivamente nella corrente e nella tensione. Formalmente le due equazioni armoniche sono identiche essendo coincidenti anche i coefficienti. La radice quadrata del coefficiente del termine di grado zero prende il nome di costante di propagazione. Esso è un numero complesso con parte reale detta costante di attenuazione e parte immaginaria detta costante di fase 4

6 " =γ $! =γ$ Soluzioni = + 6 = = + 6 = =Onde che viaggiano in direzione positiva Si può dimostrare che: 9 :! 9 := 9 ;!; = <= 9 8 La quantità 7 =! 6 6 =Onde che viaggiano in direzione negativa Rete di lunghezza infinita onda riflessa nulla: > = 7 68 = 7 68 non dipende da e prende il nome di Impedenza Caratteristica 7 = = + % = % + = + + Le equazioni armoniche forniscono due soluzioni che corrispondo ad un onda incidentee un onda riflessa.indichiamo con l apice + l onda che viaggia in direzione positiva e con il quella che viaggia in direzione opposta. Si può dimostrare che il rapporto tra tensione e corrente dell onda incidente coincide con l analogo rapporto dell onda riflessa. Nel caso di linea di lunghezza infinita non ci può essere l onda riflessa. Si può notare in questo caso che il rapporto tra tensione e corrente si mantiene costante lungo z. Tale rapporto prende il nome di impedenza caratteristica. Le sue possibili espressioni sono riportate in basso nella diapositiva. 5

7 Casi Particolari 1 Linea senza perdite: R = 0; G = 0 Costante di propagazione: %=?+@= + + = Velocità di fase: A B = C = =D = E =D Impedenza caratteristica: 7 = 7 +F 7 = <= GD = = D Analizziamo alcuni casi di particolare interesse. Il primo è quello delle linee senza perdite ossia si considera nulla la resistenza del conduttore e si assume che i due fili siano tra loro isolati perfettamente. In questo caso la costante di propagazione è immaginaria pura e la velocità di fase è indipendente dalla pulsazione per cui eventuali forme d onda con componenti di diversa frequenza sono trasmesse senza distorsione. L impedenza caratteristica della linea è puramente reale vale a dire che una linea infinita senza perdite risulta equivalente ad una resistenza. 6

8 Casi Particolari 2 Linea con poche perdite: R << wl; G << wc Costante di propagazione: %=?+@= + + = < = +1 G +1 < +1 G +1 E = + D D $= $D $ D = + Velocità di fase: A B = C =D = E =D Impedenza caratteristica: 7 = 7 +F 7 = <= GD = = D J J 6 < +1 " G +1 " = D = = D 1+ E $ < = G D = D Analizziamo ora il caso più realistico di linea con poche perdite. Il criterio per poter considerare tale una linea è che la resistenza longitudinale sia trascurabile rispetto all impedenza induttiva e che la conduttanza trasversale sia trascurabile rispetto all ammettenza capacitiva. Questo significa che l ipotesi per una stessa linea può essere ammissibile oppure no a seconda del regime di funzionamento. In questo caso la costante di propagazione ha una parte reale non nulla ma la parte immaginaria è in prima approssimazione proporzionale alla pulsazione per cui la velocità di fase risulta anche in questo caso indipendente dalla pulsazione per cui la propagazione di un segnale multi-frequenza avviene senza distorsione. Per quanto riguarda infine l impedenza caratteristica ancora una volta essa risulta pari ad una semplice resistenza. 7

9 Casi Particolari 3 Linea senza distorsione: R /L = G/C Costante di propagazione: %=?+@= + + = + <D + = D + = D + = = = Velocità di fase: A B = C = =D = E =D Impedenza caratteristica: 7 = 7 +F 7 = <= KL M D= = D Un terzo caso di interesse è rappresentato dal caso in cui il rapporto R/L è uguale al rapporto G/C. Anche in questo caso la costante di propagazione ha una parte reale diversa da zero ma ancora una volta la costante di fase dipende linearmente dalla pulsazione quindi anche in questo caso la trasmissione di un segnale multi-frequenza avviene senza distorsione. Infine ancora una volta l impedenza caratteristica della linea è una resistenza semplice. 8

10 Costante di Attenuazione e Potenza α=re % =Re + + = 7 68 = 7 68 = N =Re = 9 " 9 " 6$P Andamento della potenza lungo la linea Per definizione la potenza perduta N = è pari a: N = = QN Q =2αN α= N = 2N La costante di attenuazione cioè la parte reale della costante di propagazione deve il suo nome al fatto che è strettamente legata a come la potenza si riduce lungo la linea a causa delle perdite. La potenza che fluisce nella linea è una funzione della coordinata z e si può calcolare come la parte reale della potenza complessa. Come si può osservare nel prodotto della tensione per il coniugato della corrente si semplifica la parte immaginaria per cui l andamento della potenza è quello di un esponenziale decrescente e la costante di attenuazione determina il tasso con cui la potenza diminuisce. Per definizione la potenza perduta è pari alla derivata della potenza cambiata di segno che è pari alla potenza stessa moltiplicata per 2α. Otteniamo quindi infine cheil rapporto tra la potenza perduta e la potenza trasmessa nella linea non dipende dalla posizione nella linea stessa e tale rapporto è pari al doppio della costante di attenuazione. 9

11 Linee di lunghezza finita adattate + + = STX W X W ST W = ST= =0 =V Z =V =V =0 " =γ $! =γ$ Soluzioni = + 6 = = + 6 = Nel caso si abbia a che fare con linee di lunghezza finita in generale dovremmo attenderci che sia presente un onda riflessa che dipenderà dall impedenza del carico su cui è terminata la linea stessa. Possiamo analizzare questa situazione seguendo lo schema rappresentato in figura dove un generatore Vgcon una sua impedenza interna Zgalimenta la linea terminata all estremo opposto su un carico Zl. Indichiamo con Vi la tensione di ingresso alla linea rilevata a valle dell impedenza interna del generatore e con Zi l impedenza rilevata dal generatore cioè il rapporto tra la tensione e la corrente all ingresso nella linea. Indichiamo infine con VL e IL rispettivamente la tensione e la corrente che interessano il carico Zl. 10

12 Linee di lunghezza finita adattate Condizioni al contorno per =V V = = = 7 68[ [ V = = = 7 68[ S 7 S 7 7 = 1 2 =+ = S 7 8[ = + 6 = = + 6 = = 1 2 = = S 7 68[ Sia: S = = = = Essendo note la tensione e la corrente del carico possiamo applicare le condizioni al contorno sulla parte terminata. Esprimiamo le due condizioni al contorno in funzione delle tensioni iniziali dell onda incidente e dell onda riflessa. Abbiamo detto infatti in precedenza che l impedenza dell onda incidente è la stessa dell onda riflessa e si mantiene costante lungo tutta la linea. Da queste relazioni possiamo calcolare i valori iniziali delle tensioni delle due onde incidente e riflessa. Al tempo stesso la tensione e la corrente al carico sono legate tra loro attraverso l impedenza del carico stesso quindi possiamo esprimere la tensione del carico in funzione della corrente e mettere quindi quest ultima in evidenza. Le espressioni delle due tensioni iniziali 7 e 7 6 possono essere sostituite nelle espressioni della e della. Vale la pena ricordare ancora una volta che il rapporto tra tensione e correntetanto per l onda incidente che per quella riflessa è costante lungo la linea ed è pari all impedenza caratteristica. 11

13 Equazioni della Linea (riferimento emettitore) = = 2 S =+S 7 8 [6 + S = S 7 68 [6 = = S 2S = +S 7 8 [6 S = S 7 68 [6 7 S = S 7 Linea Adattata: non è presente l onda riflessa come nelle linee infinite = = S = cosh% +S 7 sinh% = = S 7 S = sinh% +S 7 cosh% Otteniamo le espressioni cercate della e della in funzione dei parametri della linea e del carico. Si può osservare che sel impedenza del carico è uguale all impedenza caratteristica della linea l onda riflessa viene soppressa cioè la linea si comporta come se avesse una lunghezza infinita. In questo caso si parla di linea adattata.vale la pena far notare che questo tipo di adattamento è completamente diverso da quello noto dalla teoria dei circuiti in cui si cerca di massimizzare la potenza attiva assorbita dal carico. Infatti le condizioni di adattamento in questo caso non corrispondono a quelle di massimo trasferimento di potenza. Le equazioni della linea sono spesso scritte con un diverso sistema di riferimento nel quale l origine è posizionata in corrispondenza del carico e la direzione assunta come positiva è quella di propagazione dell onda riflessa. Con queste assunzioni le equazioni assumono una forma più compatta grazie anche al ricorso alle funzioni iperboliche. 12