Strutture TEM. La costante di propagazione vale, per qualunque struttura TEM. β = β 0

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Serena Tedesco
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1 Strutture TEM La costante di propagazione vale, per qualunque struttura TEM β = β 0 dove β 0 è la costante di propagazione della linea in aria e ε r la costante dielettrica del materiale ce riempie la struttura, eventualmente complessa per tener conto delle perdite nel materiale stesso. Impedenza Z 0 e resistenza distribuita R sono invece specifice della singola ztruttura. Cavo coassiale Nella resistenza distribuita Z 0 = ζ log r e π r i R = R s π ( r e + r i ) con σ c conducibilià del metallo. R s = σ c δ δ = ωµ 0 σ c MICROSTRIP propagazione La propagazione in una microstrip a bassa frequenza può essere considerata quasi TEM, con parametri β = β 0 εe Z 0 = ζ εe e La costante dielettrica efficace vale ε e = ε r + + ε r + ( + Ξ ) dove In tutte queste formule i logaritmi sono sempre naturali (base e)

2 ( ( ) 0.04 Ξ = 0 ) < Per quanto riguarda la largezza efficace, per >, si a [ ( )] e = log e, per <, e = π [ 8 log + ] 4 La differenza normalizzata tra la largzza efficace e quella vera e riportata (per microstrip large) nel grafico ce segue. 3.6 allargamento di una microstrip (e-)/ / Conviene introdurre il fattore di riempimento q definito da ε e = q ε r + ( q) ce consente ance di calcolare la attenuazione dovuta al dielettrico. Basta utilizzare come conducibilità efficace σ e = q σ d + ( q) 0 = q σ d

3 essendo σ d la conducibilità del dielettrico (ed essendo nulla quella del vuoto) Le formule di sintesi, inverse delle precedenti, sono, per Z 0 εe > 89.9 con mentre per Z 0 εe < 89.9 risulta con = π = 8 exp A exp (A) A = Z ε [ r ] 60 ε r + ε r { B log (B ) + ε [ r log (B ) ]} ε r ε r B = 60π Z 0 Al crescere della fraquenza vanno considerati gli effetti della dispersione. Per la costante dielettrica efficace una espressione semplice ma notevolmente accurata è: dove ε e (f) = ε r + ε e(0) ε r + G f f p f p = c 0 εe (0) e (0) G = Z Z 0 con Z 0 impedenza caratteristica (a frequenza zero) misurata in Ω e c 0 velocità della luce nel vuoto. Per quanto riguarda l impedenza (e la largezza efficace) una espressione ragionevolmente accurata è: dove Z(f) = Z s + Z 0 Z s + G M f f g mentre Z s = ζ + 4 log () π f g = c 0 3

4 G G M = Z ε r > Z 0 ε r 3 discontinuità Terminazione aperta: Allungamento della linea di l dato da l = 0.4 ε e ε e Se necessario, occorre aggiungere alla terminazione ance una resistenza pari a ( ) λ0 R i = 90 [Ω] e ce tiene conto delle perdite per irradiazione della termianzione. Salto di impedenza: Siano e e e le largezze efficaci delle due linee, di largezza fisica rispettiva e, con >. Detto l 0 l allungamento di una terminazione aperta, di largezza pari a, la linea di largezza si allunga di mentre quella di largezza si accorcia di e l = l 0 e + e e l = l 0 e + e Giunzione a T simmetrica: Il braccio derivato della T, di impedenza caratteristica Z, si accorcia di { ζ d = Z [ ( )]} Z log Z εe, Z Z essendo Z l impedenza della linea principale e ε e, la sua costante dielettrica efficace. Le perdite dovute ai conduttori, in una linea di impedenza Z 0 e largezza efficace e, producono una attenuazione addizionale esprimibile come α c = R s Z 0 e K i ce va aggiunta alla parte immaginaria della costante di propagazione. Nella espressione precedente R s è la resistenza superficiale del conduttore, di condubilità σ c, e vale 4

5 R s = σ c δ δ = ωµ 0 σ c La grandezza δ è detta profondità di penetrazione (o skin dept) e per i materiali metallici è inferiore a µm alle frequenze delle microonde. La espressione precedente di α c vale purcè il conduttore abbia uno spessore superiore a circa 0 δ. Per spessori inferiori la attenuazione cresce molto rapidamente. K i tiene conto della distribuzione non uniforme della corrente sul conduttore. Il valore di K i dipende tra l altro ance dallo spessore del conduttore. Per spessori del conduttore compresi tra 30 µm e 50 µm (ce sono valori tipici per substrati dielettrici) e spessori del dielettrico almeno 0 volte maggiori una buona approssimazione di K i è ) exp ( 4π e K i = 8 4π e ( ) ( +.8 ) Va notato ce la costante di attenuazione è direttamente proporzionale ad ε e (tramite Z 0 ). Quindi al crescere della costante dielettrica, aumenta la attenuazione. Ciò percè al crescere di ε e si riduce Z 0 e pertanto, a parità di flusso di potenza, cresce la corrente sui conduttori e quindi la dissipazione. GUIDE D ONDA La costante di propagazione del modo fondamentale di una guida metallica ciusa vale k = β ε r k t dove β è la costante di propagazione nel vuoto alla medesima frequenza e ε r la costante dielettrica relativa, complessa, del mezzo ce riempie la guida e k t un parametro geometrico. La presenza di perdite nel dielettrico viene automaticamente tenuta in conto in k dall uso della costante dielettrica complessa. L impedenza corrispondente vale Z 0 = ωµ 0 k Per una guida rettangolare di lati a, b( a/) risulta k t = π a Dalla espressione di k si vede ce si a propagazione solo se, per dielettrico privo di perdite, 5

6 β ε r > k t = f > f c = ck t π ε r ovvero solo se la lungezza d onda è paragonabile alle dimensioni della struttura. Se la conducibilità delle pareti σ c non è infinita, e le perdite del dielettrico sono piccole alla costante di propagazione k va aggiunta una ulteriore parte immaginaria jα c con α c = R s ζb + b a ( ) fc Nelle espressioni di jα c e f c, con ε r si intende la parte reale della costante dielettrica del materiale ce riempie la guida. f ( fc f ) Se le perdite del dielettrico sono grandi, l attenuazione aggiuntiva dovuta alle pareti è del tutto trascurabile 6

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