Algoritmo di best-fit (o fitting) sinusoidale a 3 parametri ( ) ( )

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1 Algoritmo di best-it (o itting) sinusoidale a 3 parametri Supponiamo di disporre della versione digitalizzata di un segnale sinusoidale di ampiezza di pio A, requenza nota, ase assoluta ϕ e on omponente ontinua spuria (oset) C: = Asin ( 2 π t + ϕ) + C t = =, =, 1, 2,... N 1 (1) Ove: - ed sono rispettivamente il periodo e la requenza di ampionamento; - t = = è il -esimo istante di ampionamento; - N è la lunghezza del reord del segnale digitalizzato (numero di ampioni); N.B.: Si noti he in realtà la ostante C non a parte del modello di un segnale sinusoidale ideale; essa viene introdotta nella (1) al solo sopo di portare in onto l errore di oset introdotto dal digitalizzatore di segnale utilizzato per aquisire il vettore dei ampioni. La (1) può anhe essere risritta nella orma = Asin 2π + ϕ + C = Asin ( 2πF+ ϕ) + C = Asin ( Ω + ϕ) + C (2) Avendo posto: F = = requenza normalizzata del segnale Ω = 2 π F = pulsazione normalizzata del segnale Sruttando la ben nota relazione sin ( α β) sin ( α) os( β) os( α) sin ( β) (2) nella orma: + = + possiamo srivere la ( ) ( ϕ) ( ) ( ϕ) ( ) ( ) sin os os sin 1sin 2os (3) = A Ω + Ω + C = A Ω + A Ω + C avendo posto: A = Aos ( ϕ), A = Asin ( ϕ) 1 2 Se deiniamo i vettori, e la matrie D ome segue:

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin os 1 sin Ω os Ω 1 1 A1 =., D= sin 2Ω os 2Ω 1, = A 2. C sin 1 (( N 1) ) os( ( N 1) ) 1 N Ω Ω possiamo srivere la (3) in orma vettoriale: = D (4) ove il punto india il omune prodotto righe per olonne deinito nell algebra matriiale. La (4) i ornise un modo semplie per ostruire un segnale sinusoidale di parametri (pulsazione, ampiezza, ase ed oset) noti; a partire da essi sarà inatti suiiente ostruire la matrie D ed il vettore, quindi, eseguendo il prodotto preedente, alolare il vettore dei ampioni. Osserviamo he la matrie D è, almeno nella maggior parte dei asi, rettangolare alta, ossia ha dimensione N 3, on N (numero di righe = numero di ampioni) generalmente >> 3. Se disponiamo del vettore dei ampioni (ottenuto, ad esempio, da un osillosopio digitale o da un qualsiasi altro dispositivo digitalizzatore di segnale), possiamo pensare di ottenere i parametri A1, A2 e C (quindi anhe A e ϕ ) risolvendo il sistema (4) di N equazioni in 3 inognite. ale sistema è normalmente ortemente sovradeterminato, proprio in quanto il numero delle equazioni disponibili (N) è molto maggiore del numero delle inognite (3). Un modo di ottenere una soluzione di tale sistema è quello di riorrere ad un semplie artiiio; osserviamo he = D D = D D essendo D la trasposta di D. Se esiste l inversa della matrie ome: ( ) 1 DD D DD (matrie quadrata di dimensioni 3 3) è possibile riavare = (5) La matrie ( ) 1 DD D è detta pseudo-inversa di Moore-Penrose o matrie inversa generalizzat. MALAB è in grado di alolare la pseudo-inversa di Moore-Penrose grazie alla unzione pinv; si rinvia alla doumentazione di tale unzione per maggiori dettagli sulle proprietà di questa matrie. Se D non ha rango massimo (ossia 3), la (5) non è l unia soluzione del sistema (4); le (ininite) soluzioni del sistema sono quelle he rendono minima la q.tà A -b ; in questo aso MALAB è in grado di trovare un altra soluzione al preedente sistema di equazioni ortemente

3 sovradeterminato utilizzando l operatore \ al quale già si riorre per la soluzioni dei normali sistemi di equazioni lineari. Quando si usa l istruzione 1 = D\ on D avente le aratteristihe di ui sopra, MALAB riera la migliore soluzione nel senso dei minimi quadrati, trovando proprio un minimo (loale) della quantità A -b. 1 Sia sia 1 soddisano il sistema di equazioni (5) nel senso dei minimi quadrati, ossia entrambi garantisono un errore quadratio medio residuo dell ordine dell errore di arrotondamento del sistema di alolo ma, generalmente, sono tra loro diverse; in partiolare, oltre a minimizzare lo sarto quadratio medio tra le misure e la sinusoide interpolante, ha anhe il minimo numero di elementi non nulli. Ottenuto è possibile riavare la migliore sinusoide interpolante i dati nel senso dei minimi quadrati alolando le quantità: A= A + A ϕ A 2 = artan A1 e valutando il vettore ~ = Asin ( 2 π t + ϕ) + C t = =, =, 1, 2,... N 1 Alternativamente si può ottenere ~ ome ~ = D Esempio di appliazione del itting sinusoidale a 3 parametri ad un segnale sinusoidale ideale di parametri nominali A = 1, ϕ = π, C =.25, sporato da rumore gaussiano biano additivo di 3 deviazione standard σ N =.1:

4 Nel titolo della igura sono riportati i parametri della sinusoide interpolante individuati dalla proedura di itting sinusoidale a 3 parametri; ome si può notare essi dierisono leggermente da quelli nominali. Un indiatore della bontà della stima dei parametri restituiti dal metodo è l errore quadratio medio (erms nel titolo della igura preedente), deinito ome: 1 e A Ft N 1 2 RMS = ( *sin ( 2π + ϕ) ) (6) N = Estensione al aso multiarmonio Il metodo di stima preedente può essere esteso ailmente alla riera del itting di un segnale multiseno, ossia ostituito dalla sovrapposizione di 2 o più armonihe di requenza diversa; detti i,, Ai, ϕi (i =, 1,, M-1) i parametri di tali armonihe, il modello del segnale è: M 1 = A sin ( 2 π,t + ϕ ) + C t = =, =, 1, 2,... N 1 (7) i i i i= Che possiamo anhe risrivere ome: M 1 M 1 sin (, ) os( ϕ ) os(, ) sin ( ϕ ) 1, sin (, ) 2, os(, ) (8) = A Ω + Ω + C = A Ω + A Ω + C i i i i i i i i i i= i= avendo posto: A = A os ( ϕ ), A = A sin ( ϕ ) 1, i i i 2, i i i

5 Anhe questa volta possiamo srivere: = D Ma D è ora una matrie N (2*M + 1) e è un vettore olonna on 2*M + 1 righe: sin ( Ω, ) os( Ω, ) sin ( Ω1) os ( Ω1) sin ( Ω, M 1 ) os( Ω, M 1 ) 1 D = sin (( N 1) Ω, ) os( ( N 1) Ω, ) sin (( N 1) Ω1, ) os( ( N 1 ) Ω1, ) sin (( N 1) ΩM 1) os( ( N 1) Ω, M 1 ) 1 A1, A 2, A 1,1 A2,1 = A 1, M 1 A2, M 1 C Anhe in questo aso il miglior vettore dei oeiienti può essere alolato riorrendo alla pseudoinversa di Moore-Penrose. Esempio di appliazione della stima multiseno a 3 parametri per un segnale dato dalla somma di tre armonihe di uguale ampiezza e ase:

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