TRASFORMATA DI HILBERT

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1 TRASFORMATA DI ILBERT La Trasformata di ilbert è una partiolare rappresentazione he, ontrariamente ad altre trasformate (Fourier, Laplae, Z, ) non realizza un ambiamento del dominio di definizione. In altre parole, a partire da una funzione del tempo s(t), la trasformata di ilbert ~ s ( t ) è anora una funzione del tempo. In questo, la trasformata di ilbert è simile al teorema del ampionamento, he pure ostituise una rappresentazione di un segnale analogio, sotto determinate ondizioni. L operazione di trasformazione di ilbert è onettualmente, ed operativamente, molto semplie: ~ s ( t ) si ottiene ome usita da un filtro, appunto detto di ilbert, aratterizzato dalla funzione di trasferimento: i per f > ( f ) per f () i per f < in termini di parte reale e parte immaginaria, ovvero: ( f) per f per f (a) π per f > arg{ ( f )} per f (b) π per f < in termini di modulo e fase. el dominio della frequenza si ha dunque: S ~ ( f ) ( f ) S( f ), (3) ~ dove S(f) è la trasformata di Fourier di s(t) mentre S ( f ) è la trasformata di Fourier di ~ s ( t). La trasformata di ilbert ~ s ( t ) può dunque essere ottenuta dapprima utilizzando la (3) e quindi antitrasformando, seondo Fourier, il risultato del prodotto, oppure direttamente nel dominio del tempo, ome integrale di onvoluzione tra il segnale s(t) e la risposta impulsiva h (t) del filtro di ilbert. Quest ultima si riava failmente e vale: h ( t). () πt In onsiderazione del fatto he (f) è una funzione puramente immaginaria e dispari, era leito attendersi he h (t) fosse puramente reale e dispari. Tutto iò dalle proprietà della trasformata di Fourier.

2 ESEMPIO: La trasformata di ilbert della funzione s(t) Aos(πf t) vale ~ s ( t ) Asin(πf t). Infatti: A S ( f ) [ δ( f f ) + δ( f + f )], e quindi, utilizzando la (): ~ A A S ( f ) + i [ iδ( f f ) + iδ( f + f )] [ δ( f f ) δ( f f )] Quest ultima è la trasformata di Fourier di ~ s ( t ) Asin(πf t). * * * * * ESEMPIO: Vogliamo alolare la trasformata di ilbert del segnale: ut () mt ()os( π ft) dove m(t) è un segnale reale on spettro (di ampiezza e fase) ompreso tra [B, B], on B < f. Sia M(f) ta trasformata di Fourier di m(t). Per il segnale u(t) si avrà allora: U( f) M( f f) + M( f + f) [ ] La trasformata di ilbert di u(t), indiata on ut %(), si ottiene faendo passare u(t) attraverso il filtro di ilbert. Di onseguenza, on ovvia notazione, si avrà: U% ( f ) M ( f f) + M ( f + f) ( f ) jm ( f f) + jm ( f + f) [ ] [ ] avendo usato la definizione di filtro di ilbert. A questo punto è suffiiente osservare he si può risrivere: U% ( f) M( f) jδ( f f ) ( ) ( ) ( ) ( ) + jδ f + f M f δ f f δ f + f j [ ] [ ] dove india la onvoluzione. Antitrasformando, si ottiene infine: ut %() mt ()sin( πft) el aso sia ut () mt ()sin( πft ) on una proedura perfettamente analoga, si dimostra he risulta:.

3 % ut () mt ()os( πft ) * * * * * L operazione di trasformazione inversa di ilbert, he onsente di riottenere il segnale s(t) a partire da ~ s ( t ), rihiede, in realtà, una nuova trasformata di ilbert. E immediato, infatti, verifiare he: S ~ ( f ) ( f ) S ~ ( f ) ( f ) ( f ) S( f ) S( f ). (5) Se ne onlude he la trasformata di ilbert della trasformata di ilbert restituise, a meno del segno, il segnale originale. A rigore, quindi, l operazione di antitrasformazione è identia a quella di trasformazione on l introduzione di un ambiamento di segno nel risultato. Va a questo punto preisato he quanto sopra vale per tutti i valori di f. In f, infatti, in ragione delle () e (), il valore di S(), se diverso da zero, viene annullato, e non potrà essere più reuperato (in partiolare dall operazione di antitrasformazione (5)). Questa puntualizzazione definise la ondizione he deve essere verifiata affinhé un segnale s(t) sia ilbert trasformabile : è neessario he la sua trasformata di Fourier sia nulla in f. Visto he S( ) s( t) dt è proporzionale al valor medio del segnale s(t), si può onludere he la lasse dei segnali per ui è appliabile la trasformata di ilbert è quella dei segnali a valor medio nullo. Appliazioni della trasformata di ilbert si trovano nell ambito della sintesi di reti lineari, mentre un utilizzo partiolarmente importante per lo studio dei sistemi di teleomuniazione riguarda la rappresentazione dei segnali in modulazione di ampiezza a banda laterale unia (SSB: Single Side Band). * * * * * Altri esempi di trasformate di ilbert sono riportati nella Tabella seguente: st () ~ s ( t ) sint ost t t ret( t ) t ln π t + δ () t πt + t t + t t πδ () t In realtà, la definizione qui fornita per il filtro di ilbert è ideale: le funzioni di trasferimento () e (), infatti, presentano una transizione brusa per f. Un filtro reale (e quindi realizzabile) potrà soltanto approssimare tale definizione nell intorno dell origine per ui, onde evitare la omparsa di distorsione nel segnale riostruito, si dovrà imporre he il segnale s(t) non solo presenti valor medio nullo ma, in aggiunta, non abbia omponenti armonihe signifiative per un opportuno intervallo di frequenze nell intorno dell origine. 3

4 In tabella, ret(t) rappresenta l impulso rettangolare di ampiezza unitaria entrato nell origine. Il fatto he la trasformata di ilbert dell impulso matematio (delta di Dira) sia uguale a /(πt) è ovvia onseguenza della () e della definizione di risposta impulsiva. La trasformata di ilbert di /t, pure riportata in tabella, è allora onseguenza della proprietà di dualità.

5 TRASFORMATA ALS La Trasformata alsh utilizza ome funzioni espansione delle opportune sequenze di impulsi rettangolari (funzioni di alsh), susettibili di assumere i valori ±. Si tratta quindi di una tenia di rappresentazione partiolarmente semplie ed effiiente quando si lavora on l algebra binaria. La Trasformata alsh è partiolarmente indiata per desrivere segnali he presentano disontinuità; al ontrario, è minore la sua apaità di rappresentazione nel aso di forme d onda ontinue. Le funzioni di alsh dipendono dal tempo (t) e dalla sequenza (n). La variabile sequenza (sequeny) prende il posto della frequenza nella Trasformata di Fourier: indiata on T la durata di una forma d onda elementare, la variabile sequenza (detta anhe indie del odie di alsh ) rappresenta il numero di transizioni +/ all interno di T. La generia funzione di alsh viene allora indiata on AL(n, t). Le funzioni di alsh AL(, t), AL(, t),.., AL(7, t) sono rappresentate in Figura ; nella rappresentazione, le funzioni sono ordinate in sequenza (ioè on un numero di attraversamenti dello zero resente). Figura Una funzione f(t) può essere espressa in termini di funzioni di alsh ome segue: + f ( t) a AL(, t) aial( i, t) (6) i on 5

6 a i T T f ( t) AL( i, t) dt (7) D altro anto, le funzioni AL(n, t) on n pari (n k) vengono anhe indiate on CAL(k, t), mentre le funzioni AL(n, t) on n dispari (n k + ) vengono anhe indiate on SAL(k, t), essendo k,,.., / ( è l ordine massimo onsiderato: 8 in Figura ). Di onseguenza, la funzione f(t) può essere espressa in termini di funzioni di alsh pari e dispari ome segue: / / [ bi SAL( i, t) + jcal( j, t ] f ( t) a AL(, t) +. (8) ) i j Le funzioni di alsh sono ortogonali. Vale infatti la relazione: T T per n m AL( m, t) AL( n, t) dt (9) per n m Le definizioni preedenti sono del tutto generali. ondimeno, dal punto di vista pratio, il maggior utilizzo della Trasformata alsh si ha nella rappresentazione di segnali in forma disreta. el qual aso, indiando on x(n) la sequenza numeria rappresentativa del segnale e on (k) la sequenza dei oeffiienti della Trasformata alsh, si può srivere, per la oppia trasformata/antitrasformata: ( ) k n x( n) AL( k, n) k,,..., () e x( n) k ( k) AL( k, n) n,,..., () elle () e () la variabile disreta n prende il posto della variabile ontinua t, e i valori (±) delle AL(k, n) si ottengono per ampionamento delle AL(k, t). In Figura è riportato, in tratteggio, il ampionamento delle funzioni di alsh AL(, t) - AL(7, t). Qui la ondizione di ortogonalità (9) potrà sriversi, più hiaramente: per n m AL( m, i) AL( n, i) i per n m () Le () e () lasiano hiaramente intendere he la dimensione dell insieme di alsh onsiderato eguaglia la ardinalità della sequenza numeria he ostituise il segnale originale. A meno del fattore / il alolo della trasformata è formalmente identio a quello dell antitrasformata, e può essere onvenientemente gestito in termini matriiali. In effetti, posto per sempliità formale, kn AL(k, n), definita la matrie della trasformazione 6

7 7,,,, L M M L, (3) e indiati on x x x M x () e M, (5) rispettivamente, i vettori olonna rappresentativi della sequenza dei dati e dei oeffiienti della trasformata, è hiaro he risulta: x. (6) dove rappresenta il prodotto (matriiale) righe per olonne. ESEMPIO: Sia data la sequenza di dati, di dimensione : 3 x. Si onsidera la matrie della trasformazione:. Dalla (6) allora si evine:

8 8 6 3 x. Dunque, espliitamente:.5,,.5, 3. E rimarhevole la sempliità del alolo rispetto, ad esempio, alla valutazione di una DFT. Peraltro, alla stregua della Trasformata Disreta di Fourier, anhe per la Trasformata alsh Disreta sono state proposte in letteratura implementazioni veloi (FDT: Fast Disrete alsh Transform). * * * * * Il modo più semplie per ostruire le funzioni di alsh, e ioè per ottenere la matrie onsiste nell utilizzo del metodo di Sylvester. Il punto di partenza di tale metodo è ostituito dalla matrie di adamard di ordine :. (7) Le righe, o equivalentemente le olonne, di tale matrie definisono già una oppia di funzioni di alsh ( ). Le funzioni di alsh di ordine superiore, on m, m intero (è questa la selta he viene utilizzata sistematiamente) si ottengono utilizzando la formula riorsiva /. (8) il simbolo indiando il prodotto di Kroneker tra matrii. In pratia, sulla base della (8), si ottiene sostituendo iasun elemento di / on la matrie moltipliata per il valore (±) dell elemento stesso. ESEMPIO: Volendo ottenere l insieme delle funzioni di alsh on 8, si riava dapprima ome:, e quindi 8 ome:

9 8. * * * * * Le funzioni di alsh ostruite on il metodo di Sylvester non sono ordinate in sequenza; per rendersene onto, basta osservare l esempio preedente, in ui la seonda riga di 8, ad esempio, rappresenta la funzione he in preedenza si è indiata on AL(7, t). L ordinamento he risulta dall uso del metodo di Sylvester si die naturale. A dispetto del fatto he l ordinamento in sequenza sembra quello più logio (è equivalente ad ordinare seondo multipli resenti della frequenza fondamentale le armonihe dello sviluppo in serie di Fourier) il fatto di poter riavare direttamente le sequenze dall appliazione del metodo di Sylvester rende l ordinamento naturale partiolarmente attraente nella pratia. Ad esempio, le funzioni di alsh trovano appliazione nel sistema CDMA IS-95 (anhe noto ome sistema CDMAOne), ove a iasun anale è assoiata una sequenza di alsh di lunghezza pari a 6 bit. L insieme delle 6 sequenze di alsh è riportato in Figura, ove le sequenze sono appunto ordinate in modo naturale. Per sottolineare il fatto he le sequenze di alsh sono ottenute utilizzando matrii di adamard, talora si parla anhe di Trasformata di alsh-adamard (T). Come per altre trasformate, uno dei maggiori utilizzi della Trasformata alsh è ai fini della ompressione dei segnali, vale a dire della loro rappresentazione on un numero minore di dati (senza perdita di informazione o on ridotta perdita di informazione). Si definise effiienza di ompressione, η, il rapporto perentuale tra la riduzione del numero dei dati della sequenza ompressa e il numero dei dati della sequenza originale. In formula: η [(no. dati seq. originale no. dati seq. trasformata)/no. dati seq. originale] %. (9) Ovviamente la trasformazione è tanto più effiiente, dal punto di vista della ompressione, quanto più η è prossimo al %. Per aluni segnali, lo spettro alsh (vale a dire la sequenza ordinata dei oeffiienti della Trasformata) ha energia rapidamente deresente on la sequenza. Questo fatto ha impliazioni positive dal punto di vista della ompressione, onsentendo di trasmettere un numero limitato di oeffiienti della trasformata, in luogo della sequenza originale, pur garantendo una qualità elevata. Tale irostanza è stata ad esempio dimostrata per il segnale di elettroardiogramma (ECG). Il sistema IS-95 (Interim Standard 95), sviluppato dalla soietà ameriana Qualomm In., è stato per l Ameria del ord (Stati Uniti - Canada) lo standard più signifiativo per la telefonia ellulare di seonda generazione (G). Utilizzando la soluzione CDMA in un epoa in ui gran parte del resto del mondo propendeva piuttosto per la soluzione TDMA, eventualmente in ombinazione on FDMA (ome nel GSM, he è invee lo standard Europeo per G), esso ha introdotto una serie di elementi innovativi, ed ha ostituito un punto di riferimento anhe per lo sviluppo dei sistemi radiomobili di terza generazione (3G - UMTS). 9

10 Figura

11 TRASFORMATA COSEO DISCRETA (DCT) ella Trasformata Coseno Disreta (DCT: Cosine Disrete Transform) le funzioni espansione sono osinusoidali, on argomento disreto. Si può pensare alla DCT ome ottenuta a partire dalla DFT, onsiderandone la sola parte reale. Indiato on (k) il oeffiiente k-esimo della trasformata, si ha dunque 3 : πkn n n L. () n n iπkn / ( k) Re x e x os, k,,, In realtà, in luogo della (), risulta più frequente l utilizzo dell espressione seguente, il ui signifiato è ovviamente equivalente: n (n + ) πk n L. () ( k) x os, k,,, ESEMPIO: Si onsideri la sequenza dati: x, x, x, x 3 3. I oeffiienti della DCT, alolati usando la definizione (), saranno: n 3 n ( ) x ( x + x + x + x ). 5 πn π n 3 n 3π () x os x + x os + x os( π) + x os. 5 πn n 3 n ( ) x os [ x + x os( π) + x os( π) + x os( 3π) ] 6πn 3π 3 n 3 n 9π () x os x + x os + x os( 3π) + x os. 5 Riprendendo la definizione di effiienza di ompressione, introdotta on la (9), ove si stabilisa un riterio a soglia, in virtù del quale soltanto i oeffiienti in modulo maggiori di.375 vengano rionosiuti ome signifiativi ai fini della rappresentazione (e dunque della riostruzione) della sequenza trasmessa, per l esempio in questione soltanto ().5 e () verrebbero salvati, onseguendo in tal modo un valore di η 5%. 3 SI noterà he, rispetto alla definizione di DFT fornita in una dispensa preedente, nella trasformata è stato introdotto il fattore / (he allora non omparirà nell antitrasformata). Come noto questa arbitrarietà nel posizionamento dei fattori di normalizzazione (da distribuire nelle operazioni diretta ed inversa) è assolutamente leito e teoriamente giustifiabile.

12 Una delle appliazioni più signifiative della DCT si trova nella ompressione delle immagini. In questo aso, è neessario onsiderare la trasformata bi-dimensionale. In partiolare, data una sequenza bi-dimensionale x(m, n) a valori (nel aso delle immagini si tratterà, ad esempio, della distribuzione della funzione di luminanza, he stabilise il livello di grigio) la orrispondente DCT può essere alolata ome segue: (,) x( k, l) () k l (k + ) πu (l + ) πv ( u, v) x( k, l)os os, u, v k l. (3) Il oeffiiente (,) viene denominato omponente DC mentre gli altri oeffiienti si indiano ome omponenti AC. Come già si era sottolineato per la Trasformata alsh, l effiienza della trasformata per l appliazione speifia è misurata dalla, relativa, sempliità del alolo e dalle proprietà di ompattezza spettrale. Si verifia infatti he i oeffiienti maggiormente signifiativi sono in numero limitato ed essenzialmente onentrati nell intorno della omponente DC (è giusto dire alle basse frequenze ). Questo onsente di ottenere oeffiienti di ompressione piuttosto elevati 5. Più in dettaglio, l immagine da omprimere viene suddivisa in blohi di dimensione 8 8 e la DCT viene appliata a iasuno di questi blohi. Se neessario, vengono aggiunte righe (o olonne) di riempimento, suessivamente eliminate in fase di riostruzione. All appliazione della DCT seguono le operazioni di quantizzazione e odifia (quest ultima realizzata on opportune tenihe di odifia di sorgente, ad esempio odifia di uffman) per la ui desrizione si rimanda, ovviamente, a orsi più speialistii. In partiolare, la DCT è stata utilizzata nello standard JPEG (Joint Photographi Experts Group) la ui missione, già a partire dal 986, è stata quella di definire uno standard per la memorizzazione e la trasmissione di immagini fisse. Suessivamente, lo standard JPEG è stato il punto di partenza per gli standard MPEG (Moving Pitures Expertes Group) and JBIG (Joint Bi-level Image Experts Group). 5 In realtà, l entità della ompressione è ovviamente funzione del livello di qualità desiderato; in molte appliazioni, peraltro, non si rihiede una risoluzione neessariamente superfine.