16 L INTEGRALE INDEFINITO

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1 9. Integrali immediati 6 L INTEGRALE INDEFINITO Riassumiamo le puntate preedenti: si die INTEGRALE INDEFINITO di una funzione f ( ), la famiglia di tutte e sole quelle funzioni la ui derivata è uguale a f ( ). Esse sono dette le primitive ( = antiderivate ) di f ( ), e differisono tutte fra loro per una ostante additiva. Ad esempio, presa la funzione f () =os, la famiglia delle sue primitive, ossia il suo integrale indefinito, è la famiglia ostituita dalle infinite funzioni sen,. Infatti tutte, e sole, le funzioni della forma sen, hanno per derivata os. Il simbolo di integrale indefinito è il seguente: f ( d ) (leggi: integrale di f ( ) in d ). Tale simbolo è stato selto per via del legame he il teorema di Torrielli-Barrow stabilise fra il problema del alolo dell area sotto una urva (integrale DEFINITO) e la riera dell antiderivata o primitiva di una funzione (integrale INDEFINITO, appunto). Poihé, dunque, il simbolo di integrale indefinito india la FAMIGLIA di tutte le primitive della funzione f ( ) (o, se si preferise: india la GENERICA primitiva della f ( )), esso ontiene impliitamente una ostante additiva arbitraria. Esempi: os d = sen, d =, d = artg + + TAVOLA DEI PRINCIPALI INTEGRALI IMMEDIATI Formule di derivazione Per derivare una potenza oorre moltipliare per l esponente D = e abbassare questo di un unità D f( ) = f( ) f '( ) [ ] [ ] Dln = D ln f ( ) = f '( ) f( ) De = e f ( ) f ( ) f = '( ) Dsen = [ ] Dos sen = [ ] De e f D sen f ( ) os f ( ) f '( ) Dos f( ) sen f( ) f '( ) D ar sen = Darsen f( ) = f '( ) ( ) Formule orrispondenti di integrazione + d = (, ) + + [ f() ] [ f( ) ] f '( ) d= (, ) + Caso partiolare [ f( )] ( ) '( ) importante: f f d = d = ln f '( ) d = ln f ( ) f( ) ed = e e ( ) f '( ) d= ef( ) = os os d = sen + os f ( ) f '( ) d = sen f ( ) = sen d = os + [ f ] [ ] Dartg Dartg f( ) = f '( ) ( ) = + + [ f ] [ ] sen f ( ) f '( ) d = os f ( ) d = ar sen f '( ) d = ar sen f ( ) f( ) d = artg + + f '( ) d = artg f ( ) + f( )

2 OSSERVAZIONI 7 La tabella non riporta le formule di derivazione Daros =, Darotg =, on le orrispondenti formule di integrazione, + per il fatto he tali formule differisono solo per un segno dalle analoghe on ar sen e artg e dunque, dovendo alolare ad esempio d, si potrebbe srivere indifferentemente d = ar sen oppure d = aros, ma di norma si preferise, per onsuetudine, utilizzare la funzione ar sen. Idem per la oppia ar tg, ar otg : si privilegia quasi sempre la prima fra le due. Non abbiamo riportato neppure le formule ln a Da = a a a d = ln a perhé, di fronte ad un esponenziale in base diversa da e, è sempre possibile passare alla base e, tramite l identità a = e ln a. Disorso analogo per le formule on la funzione logaritmia in base diversa da e. Qui di seguito riportiamo qualhe esempio di appliazione delle formule elenate in tabella. Nello svolgere gli integrali proposti, abbiamo tenuto onto della linearità dell integrale indefinito: [ + ] = + hf( ) kg ( ) d h f( d ) k gd ( ) Esempio d = d + = / = 6 + d = 6 + d = + = 6 d d + d d = 6 + ln = = + ln = + ln UN CONSIGLIO DA AMICO Speialmente nei primi eserizi, è opportuno fare la verifia, derivando l espressione ottenuta, per ontrollare se si ottiene effettivamente quella he era la funzione integranda. E iò, non soltanto per essere siuri he il risultato sia esatto, ma anhe per impadronirsi meglio dei meanismi psiologii dell integrazione: essendo l integrazione indefinita nient altro he il proesso inverso della derivazione, in qualhe modo si impara ad integrare solo se la mente è allenata a tornare-indietro-per-vedere-se-è-giusto. Verifia di d = 6 d = + ln : 6 D + ln + = = 6 + OK!!!!!!!!

3 Esempio Esempio 8 ( e ) d= e + d = d = = = = = + Esempio ( sen os ) d =os sen Esempio Esempio 6 Esempio 7 Esempio 8 Esempio 9 sen d OCCHIO! ATTENZIONE! Questo eserizio non è immediato! Sarebbe sbagliato srivere sen sen d =! Infatti l integrale proposto non è della forma d, ma si presenta invee ome [ f ( )] d. Sennonhé, quando la base della potenza è una funzione, la formula di riferimento è + [ f( ) ] [ f ( ) ] f '( d ) = + he rihiede la presenza, ome fattore moltipliativo, della DERIVATA della funzione he è alla base della potenza ma un tale fattore nel nostro esempio non è. L eserizio proposto è dunque abbastanza problematio. Lo si può risolvere solo on una erta dose di inventiva: vedi qui sotto. sen d = sen sen d = ( os ) sen d = ( sen os sen ) d = os = sen d os sen d = os + ( ) ( ) f( ) f '( ) ln (ln ) ln d = ln d = + = + f( ) f '( ) + + f '( ) f( ) d = ln + ln d = d = d = f '( ) f( ) os d = os os d = d = sen f '( ) os f( ) Con semplii passaggi analoghi a quelli dell Esempio 9, è possibile riavare le seguenti formule di frequente appliazione: senm os m d = m os m senm d = m m m e e d = m

4 Esempio 0 Esempio sen sen e osd = e f ( ) e f '( ) 9 e d = e d = e ef ( ) f '( ) Verifia: De ( sen sen ) = e os, OK!!! Esempio Esempio e d STOP!!! E stato dimostrato he questo integrale non può essere espresso in termini di funzioni elementari. La funzione la ui derivata è e esiste (anzi, ne esistono infinite, he differisono fra loro per una ostante), ma non si tratta di una funzione he si possa srivere ombinando fra loro le lassihe funzioni algebrihe, goniometrihe, esponenziali, logaritmihe e. f '( ) + f ( ) ( ) d = d = d = artg + + ( ) + ( ) Esempio d = d = 9 d = Esempio Esempio 6 d = artg 6 + NOTA 8 NOTA d = d = + = ln 9 ln( 9 ) NOTA : la derivata del denominatore è 8 ; erheremo periò di far omparire 8 a numeratore, '( ) onde rionduri alla situazione f d = ln f ( ) f( ) NOTA : possiamo siogliere le stanghette di valore assoluto perhé è + 9 > 0, d = 9 d = 9 d = NOTA = 9 d = 9d 9 d = artg = = artg + NOTA : approfittando di un risultato già aquisito (Esempio ) 9 7 Esempio 7 d = 9 6+ ( ) = d = ( ) d ( ) d = ( ) = + = ( ) + f '( ) f( ) Esempio 8 E sempio 9 ( ) d = d ln ln ln = + Verifia: ln f '( ) D ( ln ln ) = ( ln ),!!! ln D = ln OK f( ) + sen d = os = os

5 0 0. ESERCIZI sugli integrali immediati (o quasi) ) e d ) d ) ( ) ) 7 6 ) e+ 6) 7) 8) + e d d d + d + d d 9) ( ) 0) ) os d + d + d ) ( + ) 0 d ) 6 + d ) ( sen ) ) sen os d os d 6a) sen d Suggerimento: os sen = 6b) os d 7) 8) 9) 0) ) ) d + d + d Suggerimento: + + d d d + = = =

6 ) ln d ) ln d ) os sen d 6) 7) os d sen d Suggerimento: 8) 0 d 9) 0) ) ) ) d ( + ) d ( ) + d d d Suggerimento: = 6 = = =... + ( ) RISPOSTE ) ) e + ) ) + e + e ) 6) ln + 7) ln + 8) 0) ln + ) ln ) e ln 9) + + ) ( + ) ) ( ) os sen ) sen 6a) senos 6b) 7) artg ln + 9) artg 0) ) ( ) ) ar sen + ) ) ln 0) 6) ln ( sen ) ( + ) + 7) artg 8) ( ) ) ln ) + + sen senos + sen sen 0 0 9) ln 9 ) artg ( ) ) ( ) ) ( ) ar sen