Laboratorio di didattica Della matematica

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1 Didattia della matematia a.a. 004/00 Laboratorio di didattia Della matematia (La probabilita elementare ome strumento per un diverso approio ai numeri razionali) ANITA GARIBALDI Classe 9

2 Il onetto di frazione, ritenuto (spesso erroneamente) onsolidato al termine della suola primaria, viene riproposto dagli insegnanti della suola media in maniera, a mio avviso, superfiiale e frettolosa. Solitamente si presenta in assoiazione ad esempi di partizione (ad esempio, di una superfiie piana) o ome operatore su insiemi di oggetti omogenei (aramelle, pastiini, denaro da dividere fra un erto numero di soggetti) o, anora, ome metodo di lassifiazione all interno di un erto insieme (mashi/femmine all interno di una lasse, bipedi/quadrupedi all interno di una fattoria.). Un modo originale e, a mio parere, interessante per proporre un argomento ome questo, sarebbe quello di fare riferimento al alolo probabilistio. Aade invee, purtroppo, he tale brana della matematia, ritenuta erroneamente marginale, venga trasurata nel programma di suola media senza vedere in essa un potente strumento per atturare l attenzione dei ragazzi e failitare la omprensione di un argomento non troppo semplie quale quello delle frazioni. Il alolo della probabilità offre la possibilità di introdurre il simbolo frazionario in maniera hiara e semplie, senza il riorso alla partizione di un intero, ome spesso aade (suddivisione della torta in,, 4 parti uguali). Nella definizione di probabilità si parla di rapporto fra il numero di asi favorevoli al verifiarsi di un erto evento e il numero di asi possibili (aggiungerei, tutti ugualmente possibili), ma prima di assoiare la frazione ad un numero razionale (abbiamo visto ome la distinzione fra l insieme F delle frazioni e l insieme Q delle lassi di equivalenza delle frazioni sia uno dei problemi ruiali della didattia della matematia!!), i si potrebbe limitare a onsiderarla un modo per indiare un onfronto fra il numero di asi favorevoli e il numero di tutti i asi possibili al verifiarsi di un erto evento. Singola estrazione: ese una pallina nera P( )

3 Sempre faendo riorso alla probabilità si potrebbe introdurre il onetto di frazione omplementare e di sottrazione tra frazioni aventi lo stesso denominatore: Nel aso preedente: ese una pallina nera P( ) ese una pallina rossa P( ) ma è anhe: P( ) ma è anhe: P( )!! La omplementare ad una frazione data è quella frazione he, sommata a quest ultima, dà ome risultato la frazione rappresentante l intero. Dall esempio sopra esposto i bambini possono anhe dedurre il onetto di sottrazione tra frazioni aventi lo stesso denominatore. Per illustrare il onetto di equivalenza di frazioni, si può riorrere alla seguente situazione: ) ) ese una pallina nera ese una pallina nera P( ) P( ) 0 più alta la probabilità di pesare una pallina nera nella prima o nella seonda urna? Se i ragazzi non riesono a omprendere, tramite il ragionamento logio saturito dall osservazione, he la probabilità è uguale in entrambi i asi, si può proporre loro la riflessione per ui ad ogni terna di palline nere è assoiata una oppia di palline rosse; la seonda urna, ioè, è ome se ontenesse urne identihe tra loro e del tutto uguali alla prima urna.

4 Le frazioni rappresentanti la probabilità he si verifihi l evento ese una pallina nera, sono, quindi, equivalenti. equivalente 0 Volendo stabilire un ordinamento tra frazioni posso riorrere al seguente esempio: ) ) ese una pallina nera ese una pallina nera P( ) 4 P( ) In questo aso mentre nella prima urna, ad ogni oppia di palline nere è assoiata una terna di palline rosse, nella seonda urna ad ogni oppia di palline nere è assoiata una oppia di palline rosse; ne onsegue he è più alta la probabilità di pesare una pallina nera nella seonda urna. ) ) Le frazioni rappresentanti la probabilità he si verifihi l evento ese una pallina nera non sono equivalenti ma una è maggiore dell altra: 4 < 4

5 Bisogna tener presente, omunque, he il riorso a questi esempi non è sempre osì immediato, inoltre può instillare, nella mente dei bambini, l errata onvinzione he l ordinamento o le operazioni si riferisano eslusivamente alle frazioni e non ai numeri razionali he esse rappresentano. Non si può, quindi, tralasiare un passaggio he è fondamentale per la piena omprensione di un argomento osì deliato. La dimostrazione di tale onetto, inoltre, non è poi osì ostia per alunni di una suola media, speialmente per i più motivati e avendo omunque l aortezza di aompagnare il ragionamento on ontinui esempi numerii. a a Consideriamo due frazioni e (on b, d! 0 ) ridotte ai minimi termini e indihiamo on b d e b le frazioni ad esse equivalenti ottenute moltipliando numeratore e denominatore per due fattori d diversi da 0: a ah e k b bh (on h, k! 0 ) d dk Appliando la somma: a ad + + b d bdb a + b d ah k + bh dk ahdk + kbh hk( ad + b) ad + b bhdk hkbd bd b a + d Appliando il prodotto: a b a a! ah!. d bd b! d bh k! dk ahk a a bhdk bd b! d Per quanto riguarda l ordinamento: a < ad < b b d a! < b! d ah k < bh dk ahdk < bhk ad < b

6 Tornando al alolo probabilistio, analizziamo ome si possano introdurre i onetti di addizione e di moltipliazione tra frazioni: La moltipliazione saturise dal alolo della probabilità di un evento omposto da due (o più) eventi elementari ompatibili: ) ) Sorteggiando ontemporaneamente due palline pesandone una dalla prima urna e l altra dalla seonda urna, qual è la probabilità he si verifihi l evento omposto( e )? dove ese una pallina nera dalla prima urna ese una pallina nera dalla seonda urna Costruiamo la tabella a doppia entrata: La probabilità dell evento omposto sopra indiato, in base alla tabella a doppia entrata è: P( e ) Ma se: P( ) e P( ) P( e ) P( ) * P( ) *

7 La somma di frazioni saturise dal alolo della probabilità di un evento omposto da due (o più) eventi elementari inompatibili: Sorteggiando una sola pallina dall urna, qual è la probabilità di estrarre una pallina nera o una pallina azzurra? Cioè, qual è la probabilità affinhé si verifihi l evento omposto ( o ) dove: ese una pallina nera P( ) ese una pallina azzurra P( ) Il he equivale alla probabilità di non estrarre una pallina rossa: posto ese una pallina rossa P( ) P( o ) non P( ) - ma + ioè saturise dalle frazioni preedenti on un operazione di somma. 7