TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO

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1 TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO Alla stregua della trasformata di Fourier, anhe il teorema del ampionamento può essere visto ome una possibile rappresentazione di un segnale. D altro anto, ontrariamente alla trasformata di Fourier, he introdue la variabile oniugata frequenza, il ampionamento non modifia il dominio di definizione della rappresentazione, he resta una funzione del tempo. La lasse dei segnali per i quali è appliabile il teorema del ampionamento è quella dei segnali limitati in banda, on banda ompresa (in pulsazione) tra 2πB e +2πB. Appartengono a questa lasse i segnali he non vengano alterati nel transito attraverso un filtro passa-basso ideale on banda 2πB. Dalla nota relazione: S u (ω) = H(ω)S i (ω) () he lega la trasformata di Fourier S u (ω) del segnale in usita dal filtro on funzione di trasferimento H(ω) alla trasformata di Fourier S i (ω) del segnale in ingresso, si evine he ondizione neessaria e suffiiente affinhé il segnale risulti limitato in banda tra 2πB e +2πB è he la sua trasformata di Fourier sia nulla (o omunque possa essere onsiderata pratiamente tale) al di fuori di tale banda. Per la lasse dei segnali appena definita, il teorema del ampionamento stabilise he la onosenza del segnale s(t) è del tutto equivalente alla onosenza dei suoi ampioni s(kt ), on k variabile intera, ottenuti alolando s(t) per t = kt. T prende il nome di intervallo (o tempo) di ampionamento, ed è hiaro he il suo valore numerio, he dovrà essere opportunamente selto, riopre un ruolo hiave nell ambito del teorema. Il suo inverso, f = /T, è la frequenza di ampionamento e rappresenta il numero di ampioni del segnale per unità di tempo he è neessario onsiderare ai fini della sua rappresentazione. I valori da assumere per T (e quindi f ), assegnato he sia il segnale, risulteranno hiari dalla suessiva trattazione. Per il momento, giova evidenziare l importanza del teorema, he onsente di sostituire, senza perdita di informazione, la onosenza del segnale s(t) ontinuo on la onosenza di una sequenza numerabile di suoi ampioni. E faile rendersi onto he è questo il primo, fondamentale, passo verso la digitalizzazione (o numeriizzazione) di un segnale analogio, alla quale si farà riferimento alla fine di queste note e he ostituise uno dei risultati appliativi più importanti nello sviluppo degli odierni sistemi di teleomuniazione. Per salvaguardare il rigore formale, vogliamo ora esprimere l enuniato del teorema in termini analitii. Oltretutto, ome neessario per poter parlare di rappresentazione, aanto alla proedura he onsente di ottenere a partire da un segnale s(t) i suoi ampioni, oorre definire anhe la proedura inversa he, a partire dai ampioni, onsente di riostruire il segnale. Sia dunque s(t) il segnale, limitato in banda, onsiderato e sia S(ω) la sua trasformata di Fourier (il suo spettro). Nulla impedise di guardare alla S(ω) ome alla rappresentazione elementare (all interno di un periodo) di un segnale periodio in ω, on periodo pari a 4πB, di ui il periodo entrale, quello intorno all origine ω = 0, sia il solo he i interessa. In pratia, la proedura appena desritta realizza una periodiizzazione dello spettro del segnale. Questa operazione è funzionale a quanto segue. In quanto periodia, la funzione osì ottenuta può infatti essere sviluppata in serie di Fourier: rispetto alla notazione lassia (in ui il segnale he viene sviluppato è una funzione del tempo) oorre sostituire t on ω, e tener onto del fatto he il periodo vale 4πB. Con semplii sostituzioni ed elaborazioni algebrihe si riava: Riordiamo he tale filtro è idealmente realizzabile, essendo la sua risposta impulsiva reale, ma non fisiamente realizzabile in quanto non ausale (la sua risposta impulsiva h(t) è diversa da zero per t < 0).

2 + ik /(2B) S( ) k 4 B e ω ω =, (2a) π k= 2πB ikω/(2b) k = S( ω)e dω. (2b) 4πB 2πB D altro anto, è sempre vero he s(t) può essere espresso ome antitrasformata di S(ω), e ioè risulta: 2πB i = ω ω t s (t) S( )e dω. (3) 2π 2πB Nella (3) si è ovviamente tenuto onto del fatto he il segnale s(t) è limitato in banda. Per onfronto della (2b) on la (3), è immediato dedurre he risulta: π k k = s. (4) B 2B Nella (4) si può ora porre: T = (5) 2B per ui la stessa equazione diventa: k π = s( kt ). (6) B La (6) ostituise una formulazione espliita del teorema del ampionamento. Se infatti è vero, ome è vero, he la onosenza dei oeffiienti k è equivalente alla onosenza della funzione S(ω) (dalla teoria dello sviluppo in serie di Fourier) e quindi di s(t), la (6) stabilise he tale oeffiienti possono essere determinati ampionando il segnale s(t) in orrispondenza di multipli di T. Allo stesso tempo la (5) fornise un indiazione espliita sul valore da assumere per l intervallo di ampionamento; suessivamente si avrà modo di verifiare he il seondo membro della (5) più he fornire un valore esatto, da verifiare puntualmente, fornise invee un limite superiore he non deve essere superato per non inorrere in una degradazione irreuperabile del segnale. L opportunità di assumere un T < /(2B), anorhé giustifiabile in termini qualitativi (si prende un numero di ampioni maggiore di quello strettamente neessario) porterà il disorso sul piano delle appliazioni pratihe e delle loro impliazioni. Nello spirito del teorema, peraltro, la ondizione (5) sull intervallo di ampionamento è quanto basta per onludere, osì ome i si era riproposti, he un segnale limitato in banda non è neessariamente desritto dall infinità non numerabile di valori he esso assume in iasuno dei possibili istanti distinti di tempo; per la sua ompleta onosenza è suffiiente la determinazione dei valori he esso assume in orrispondenza di tutti e soli gli istanti multipli di /(2B). Da un diverso punto di vista, tenendo onto del legame tra intervallo di ampionamento e frequenza di ampionamento, si può affermare he se si ampiona un segnale limitato in banda on frequenza f = 2B, e ioè, di nuovo, si misurano i valori he il segnale assume in istanti multipli di /(2B), si 2

3 perviene ad una suessione di numeri (i ampioni del segnale) da ui è possibile, ove oorra, risalire al valore del segnale in un qualunque altro istante di tempo. L ultima delle osservazioni preedenti introdue il problema della riostruzione del segnale a partire dai suoi ampioni. Formalmente questa proedura (he somiglia ad un interpolazione ma he non ha, in prinipio, alun elemento di approssimazione) può essere riassunta nei termini seguenti. A partire dalla (2a), possiamo sostituire l espressione (6) dei oeffiienti in funzione dei ampioni; on semplii elaborazioni algebrihe si ottiene: ikωt S ( ω) = s( kt ) e. (7) 2B k= Nella (7) ω può assumere qualunque valore ma, reuperando le premesse, siamo qui interessati a onsiderare il solo intervallo 2πB ω 2πB in ui è alloato lo spettro del segnale s(t). Sambiando k on k, la (7) diventa S( ω) = k= 2B s ikωt ( kt ) e, 2πB ω 2πB, (8) ove si è espliitato l intervallo in ω in ui la funzione deve essere onsiderata 2. A questo punto, per ottenere s(t), si deve antitrasformare la (8). A seguito della limitazione in frequenza (al di fuori si deve assumere una funzione nulla, osa he è del resto vera a priori per la funzione S(ω)) si tratta di un infinità di impulsi rettangolari, il k-esimo dei quali ha ampiezza s(kt )/(2B) ed è moltipliato per ikωt la funzione e. Riordando l espressione dell antitrasformata di un impulso rettangolare e tenendo onto della proprietà della traslazione temporale per la trasformata di Fourier, si ottiene: ( kt ) [ 2πB( t kt )] πb( t kt ) sin s (t) = (9) s k= 2 he rappresenta la formula di riostruzione erata. La funzione sin[2πb(t kt )]/[2πB(t kt )], il ui andamento osillatorio smorzato è ben noto (on massimo, uguale a, in t = kt ) prende il nome di funzione di ampionamento. Al variare di k, le funzioni di ampionamento, he hanno la stessa struttura qualunque sia il segnale da rappresentare, sono tra loro ortogonali tra e +. Si hanno dunque ondizioni analoghe a quelle he riorrono per lo sviluppo in serie di Fourier: ome già si verifiava per quella rappresentazione, il segnale s(t) è qui ottenuto, in aordo on la (9), ome sovrapposizione di una infinità numerabile di funzioni elementari ortogonali, iasuna pesata on un ampione di segnale. I ampioni del segnale prendono dunque il posto dei oeffiienti dello sviluppo in serie di Fourier. Un ulteriore onsiderazione riguarda il valore di f = /T he, in aordo on la (5) e on le onsiderazioni he seguono, deve essere assunto pari almeno a 2B. Si può dunque onludere he la larghezza di banda del segnale determina la frequenza di ampionamento: all aumentare di B anhe f aumenta, tanto he al limite, per B, il ampionamento dovrebbe onsiderare tutti i possibili istanti temporali (ovviamente venendo meno il prinipio stesso del ampionamento). Un interpretazione qualitativa di questo fatto può essere dedotta dalla dualità tempo-frequenza, già disussa in un apitolo preedente: quanto più un segnale è rapidamente variabile nel tempo tanto più il suo spettro è esteso ed è diffiilmente ampionabile (in quanto il ampionamento dovrebbe ogliere tutte le sue possibili variazioni). 2 Operativamente, il fatto di isolare una porzione di valori di ω orrisponde ad un filtraggio, he risulterà ulteriormente hiaro dalle suessive onsiderazioni e rappresentazioni grafihe. 3

4 A partire dalla trattazione generale sviluppata in preedenza, si tratta ora di disutere le proedure operative on le quali è possibile realizzare il ampionamento. Proedendo nell esposizione, si avrà anhe modo di ripetere, e meglio preisare, aluni dei onetti introdotti più sopra. In una prospettiva di sistemazione organia degli argomenti, he dovrebbe anhe aiutare la omprensione, è opportuno distinguere almeno tre tipi di ampionamento: il ampionamento ideale, quello naturale e quello istantaneo. Queste tre tipologie verranno ora desritte, sempre neessariamente partendo dalla formulazione matematia ma mettendo in evidenza le differenze, la fattibilità e le impliazioni pratihe. Campionamento ideale Le onsiderazioni sviluppate fino a questo punto fanno impliitamente riferimento al ampionamento ideale. La apaità di ampionare il segnale in orrispondenza di preisi istanti temporali è prerogativa della funzione impulso matematio (delta di Dira) la quale ha durata infinitesima ma ampiezza orrispondentemente infinita. Se dunque si onsidera una suessione di impulsi matematii: δ( s (t) = t ) p kt k= (0) essi, moltipliati per s(t), realizzano un ampionamento ideale del segnale on intervallo di ampionamento T. Il segnale ampionato può sriversi: s (t) = s(t) s p (t) = s(t) δ k= ( t kt ) = s( kt ) δ( k= t kt ) () he appunto testimonia di ome la funzione impulso matematio sia in grado di prelevare il ampione loale s(kt ) del segnale. L idealità dell operazione appena desritta può essere ompresa failmente. Se, dal punto di vista matematio, l operazione he onsente di ottenere il segnale ampionato può essere vista ome una moltipliazione, osì ome illustrato in Figura, dal punto di vista pratio la () si implementa mediante la asata di un interruttore periodio seguito da un amplifiatore, osì ome mostrato in Figura 2. Lo shema reale di figura realizza le funzionalità di una suessione di delta di Dira nella situazione limite in ui il tempo di hiusura Δt dell interruttore tende a zero e, ontestualmente, il guadagno G = / Δt dell interruttore tende all infinito. E hiaro he la fattibilità della prima e, anor più, della seonda ondizione è possibile solo in termini approssimati. Se dunque nella pratia non si riusirà mai a realizzare un ampionamento ideale, lo studio di questa situazione è omunque neessario, perhé fornise una ondizione di riferimento e onsente di mettere in evidenza alune peuliarità del proesso di ampionamento he sono insite nel teorema e he presindono dai problemi appliativi, pure evidenti, ui si è fatto appena enno. Il segnale ampionante s p (t), fornito dalla (0), è periodio. Riordando l espressione della trasformata di Fourier di un segnale periodio, alolata in termini generali in un apitolo preedente, tenendo onto he la trasformata del singolo impulso matematio è una ostante di valore unitario, si dimostra failmente he risulta: S p ( ω) = ω k= δ( ω kω ) (2) 4

5 on ω = 2πf = 2π/T. La trasformata di Fourier della sequenza di impulsi matematii distanziati nel tempo di T è dunque a sua volta una sequenza di impulsi matematii distanziati in pulsazione di ω (e quindi in frequenza di f ). Per alolare la trasformata del segnale ampionato () è allora suffiiente appliare la proprietà del prodotto nel tempo in virtù della quale, a meno di un fattore /(2π) (se si ragiona in pulsazione) la trasformata di s (t) si otterrà dall integrale di onvoluzione tra S p (ω) e la trasformata S(ω) del segnale s(t). Riordando la proprietà della delta di Dira per ui la sua onvoluzione on una funzione generia restituise la funzione stessa entrata ove era posizionata la delta di Dira, si può onludere he risulta: k= ω S ( ω) = S( ω kω ) = S( ω kω ). (3) 2π T k= s(t) s (t) s (t) p Figura s(t) s (t) G=/ Δt Chiusura periodia per un tempo t Δ Figura 2 A meno del fattore /T, dunque, la trasformata di Fourier del segnale ampionato si ottiene affianando infinite replihe dello spettro del segnale originale, on separazione tra due replihe adiaenti pari a ω (in pulsazione) ovvero f (in frequenza). Questo risultato, importantissimo e del tutto generale, è rappresentato, on riferimento ad un esempio speifio, in Figura 3. Per omodità di notazione si è utilizzata la rappresentazione in frequenza (anzihé in pulsazione): S(f) rappresenta la trasformata di Fourier del segnale originale e S (f) quella del segnale ampionato. In Figura si è fatto il aso in ui risulti f = 2B; sotto questa ipotesi, le suessive replihe dello spettro sono ontigue ma non si sovrappongono, restando osì perfettamente distinguibili. Si omprende allora ome, al di là della formula di riostruzione (9), a partire dallo spettro del segnale ampionato sia possibile riottenere lo spettro del segnale originale, e on esso il segnale stesso, sempliemente isolando una delle replihe dello spettro, in partiolare, ad esempio, quella entrata 5

6 nell origine 3. Il dispositivo he onsente di riottenere il segnale, a partire dai suoi ampioni, è dunque un semplie filtro passa-basso, osì ome mostrato in Figura 4. Figura 3 s(t) s (t) Filtro passa-basso s(t) s (t) p Figura 4 La ondizione f = 2B è quella he si mutua dalla (5) (e suessivi ommenti). La Figura 3 onsente allora di mettere in evidenza la signifiatività e neessità di questa ondizione: essa assiura he le replihe dello spettro originale non si sovrappongano nello spettro del segnale ampionato e he dunque l operazione di filtraggio onsenta di riottenere il segnale senza aluna distorsione. Diversamente, assumendo f < 2B, e ioè sottoampionando (undersampling) il segnale, le replihe non restano separate ma si sovrappongono, determinando una irreversibile perdita di informazione. Un esempio è illustrato in Figura 5: Un filtro passa-basso ideale tra B e +B, in aordo on la Figura 4, non sarebbe in questo aso in grado di restituire lo spettro del segnale originale. Questo fenomeno va sotto il nome di aliasing e, per quanto possibile, deve essere evitato. Non si deve dunque assumere f < 2B perhé questo si tradue in una distorsione del segnale una volta riostruito a partire dai suoi ampioni. Invero va evidenziato he molti segnali di interesse pratio hanno uno spettro he nominalmente si estende anhe a valori molto elevati di frequenza. Per questi segnali, dunque, la omparsa dell aliasing sembra inevitabile, a meno di ampionare a frequenza molto elevata. V è però da onsiderare he, tranne asi molto partiolari, l inidenza, ai fini della aratterizzazione del segnale, delle frequenze più elevate è normalmente molto modesta. Questo omporta he il segnale non 3 In linea di prinipio, nulla impedise di isolare la replia entrata sulla frequenza kf ma in questo aso si tratta di uno spettro traslato, e per reuperare effettivamente il segnale originale è neessaria una suessiva operazione di demodulazione. Questa proedura, più omplessa, può omunque rivelarsi utile in talune appliazioni. 6

7 viene signifiativamente alterato se queste omponenti vengono eliminate, prima del ampionamento, on un opportuno filtro anti-aliasing. In tal modo l oupazione spettrale del segnale torna ad essere aettabile e il problema dell aliasing viene superato senza apprezzabile distorsione. Figura 5 D altro anto, la riostruzione del segnale per il aso di Figura 3 è possibile solo se si possiede un filtro passa-basso ideale, in grado di isolare perfettamente la replia dello spettro entrata nell origine. Le diffioltà di implementazione del filtro (he se anhe non ideale dovrà omunque presentare fianhi estremamente ripidi) vengono rilassate se le varie replihe vengono maggiormente distanziate tra loro. Il he è possibile, in aordo on la (3), assumendo una frequenza di ampionamento f > 2B, ioè sovraampionando (oversampling) il segnale. La situazione è illustrata on un esempio in Figura 6: esiste ora una regione di transizione di estensione pari a f 2B entro la quale può essere olloata la regione di transizione di un filtro, a questo punto più semplie da realizzare (un esempio è riportato nella stessa figura). Resta dunque onfermato quanto si era osservato all inizio in termini intuitivi, e ioè he l assunzione di una frequenza di ampionamento f maggiore di quella strettamente neessaria non altera le prestazioni del ampionamento e anzi ne semplifia l implementazione pratia (anhe se, hiaramente, quale ontropartita si ha un lieve aumento della veloità dei omponenti he realizzano le varie operazioni). La ondizione: f 2B (4) prende il nome di ondizione di Nyquist. 7

8 Figura 6 Campionamento naturale L idealità dello shema di ampionamento preedente sta, ome detto, nella impossibilità di utilizzare ome funzione ampionante una suessione di delta di Dira. Lo shema di Figura 2 torna ad essere realistio se l interruttore resta hiuso, periodiamente, per un tempo Δt magari anhe molto piolo ma finito. A questo punto non è neppure neessaria, almeno in linea di prinipio, la presenza dell amplifiatore a valle on guadagno G = /Δt. In questo aso la funzione ampionante viene allora ad essere ostituita da una suessione di impulsi rettangolari e può sriversi: s (t) = s ( t kt ) p I k= (5) essendo s I (t) l impulso rettangolare unitario la ui definizione riordiamo qui per omodità: Δt t 2 s I (t) = (6) Δt 0 t > 2 8

9 Quando il segnale s p (t) è moltipliato per s(t), il segnale ampionato segue esattamente l andamento del segnale in ingresso ma limitatamente agli intervalli, periodii, di durata Δt. La situazione è illustrata grafiamente in Figura 7: più he una onosenza puntuale del segnale s(t) si può qui parlare di onosenza intervallare, in porzioni di tempo signifiativamente più piole del dominio originale (tanto più quanto più gli impulsi ampionanti sono stretti). Qualitativamente si intuise he il ampionamento naturale, ome viene definita questa proedura, non pregiudiherà la apaità di riostruzione del segnale. Rispetto al aso ideale si ha semmai una ridondanza di informazione, giahé il segnale viene ampionato negli istanti di ampionamento previsti dalla teoria e nel loro intorno; nessuna forzatura viene imposta al segnale he, nell intervallo visualizzato, onserva l andamento originale, mentre lo shema riaquista quella pratiità he non era invee rinvenibile nello shema ideale. Le onsiderazioni preedenti sono onfermate dall andamento dello spettro di Figura 7(f): ivi la replia nell origine dello spettro originale è inalterata; le altre replihe sono attenuate ma non distorte, onservando perfettamente l andamento originale (e dunque potrebbero essere utilizzate in luogo della replia entrata nell origine). Figura 7 La giustifiazione teoria del risultato di figura può essere riassunta nei termini seguenti. L espressione del segnale ampionato è in questo aso data da: 9

10 s (t) = s(t) s (t) = s(t) s ( t kt ) p I k= (7) Il segnale ampionante s p (t) è periodio, e dunque la sua trasformata vale: S p ( ω) = ω = ω I k= k= S ( ω) δ ( ω kω ) = ω Δt δ( ω kω ) Δt sin kω Δ 2 t δ Δt kω 2 k= ( ω kω ) Δt sin ω 2 Δt ω 2 = (8) essendo S I (ω) la trasformata di Fourier dell impulso rettangolare 4. Appliando la solita proprietà della onvoluzione on impulsi matematii, si trova allora per lo spettro del segnale ampionato: Δt sin kω Δt 2 S ( ω) = S( ω kω ). (9) T Δt k= kω 2 Questa espressione sostituise la (3) nel aso di ampionamento naturale. A meno del fattore Δt (he può essere ompensato onsiderando impulsi rettangolari di ampiezza /Δt), il ontributo per k = 0 è identio nelle due espressioni (essendo sin(kω Δt/2)/(kω Δt/2) k=0 = ); le altre replihe sono moltipliate per il fattore sin(kω Δt/2)/(kω Δt/2) <, ma mantengono esattamente la forma dello spettro originale, e dunque non sono distorte. Tutto questo onferma la disussione preedente e in partiolare il risultato grafio mostrato in Figura 7. Ovviamente, per quanto onerne la selta della frequenza di ampionamento si pongono problematihe analoghe a quelle già disusse per il ampionamento ideale (e he non vengono dunque qui ripetute). In Figura 7 si è fatto il aso ideale di f = 2B; per f > 2B il ampionamento resta orrettamente eseguito mentre si semplifia la sintesi del filtro di riostruzione; per f < 2B si ha aliasing. Campionamento istantaneo Benhé il ampionamento naturale onsenta di preservare i postulati del teorema del ampionamento e di ottenere un segnale riostruito identio all originale, è hiaro he il segnale ampionato ottenuto è anora ben lontano dal poter essere assimilato ad un segnale numerio. Di fatto, si tratta anora di un segnale analogio, susettibile di variare on ontinuità all interno degli intervalli temporali, equispaziati, di durata Δt. Un primo, ma importante, passo verso la numeriizzazione del segnale si ottiene onsiderando il ampionamento istantaneo. Un esempio di segnale ottenuto dal ampionamento istantaneo è mostrato in Figura 8. 4 Per sempliità, si è assunto ome segnale elementare della sequenza ampionante periodia l impulso rettangolare tra Δt/2 e Δt/2; nulla ambia a livello onettuale se si onsidera, ad esempio, l impulso rettangolare tra 0 e Δt: l unia differenza sarà la omparsa di un termine di fase nella trasformata (proprietà della traslazione temporale per la trasformata di Fourier). 0

11 Figura 8 In onfronto on la Figura 7(e), la diversa struttura del segnale risultante dal ampionamento istantaneo è evidente: ontrariamente al ampionamento naturale, all interno degli intervalli di durata Δt il segnale ampionato non segue il segnale originale ma onserva il valore negli istanti di ampionamento. In pratia, possiamo dire he il valore ampionato nell istante t = kt viene prolungato per l intero intervallo kt t kt + Δt. Questo risultato è onseguito utilizzando un iruito di sample and hold (ampionamento e tenuta) e in effetti, per estensione, questo tipo di ampionamento viene esso stesso frequentemente denominato ampionamento sample and hold. Lo shema attuativo di prinipio del ampionatore sample and hold è illustrato in Figura 9. Figura 9 Il segnale di ingresso, qui rappresentato in tensione, viene ampionato tramite l interruttore S (ovviamente si tratterà di un interruttore elettronio, ad esempio realizzato on un transistor); la apaità si aria allora al valore ampionato, mentre l interruttore S 2 è aperto. L interruttore S si apre e il ampione prelevato resta immagazzinato sulla apaità (e dunque prelevato in usita) per il tempo Δt, trasorso il quale l interruttore S 2 si hiude, la apaità si saria e l usita resta nulla per la suessiva frazione di tempo T Δt; dopo di he l operazione si ripete iliamente. E hiaro he nello shema reale saranno presenti anhe resistenze, serie e parallelo, per ontrollare la aria e saria della apaità. Queste resistenze, he terranno onto anhe degli elementi parassiti dei omponenti, dovranno essere opportunamente dimensionate ma, iò fatto, lo shema di funzionamento desritto più sopra, e he ondue all andamento temporale di Figura 8, resta onfermato. Il fatto he negli intervalli di durata Δt il segnale ampionato non segua l andamento di s(t) ma venga forzato a rimanere ostante, introdue evidentemente una alterazione he è ragionevole pensare possa tradursi in una distorsione del segnale riostruito. Per valutare l entità di questa distorsione, sriviamo l espressione del segnale ampionato nel aso di ampionamento istantaneo.

12 La forma d onda ampionante s p (t) è anora data dalla (5); tenendo onto della desrizione fornita più sopra e della Figura 8, in luogo della (7) si deve però srivere 5 : = ( ) s(t) s(kt)s t kt I k= La (20) può essere risritta ome segue:. (20) s (t) = s(kt )s t kt = s (t) s(t) δ t kt I I k= ( ) ( k= ) (2) dove è il simbolo di onvoluzione e si è sfruttato, espliitamente, il fatto he risulta: ( ) ( s(t) δ t kt = s t kt I I ). (22) Appliando la proprietà della onvoluzione e quella del prodotto, la trasformata di Fourier di s (t) potrà sriversi (utilizzando anhe aluni risultati preedenti) ome: Δt sin ω Δt 2 S ( ω ) = S I( ω) S ω kω = S ω kω T t k= T Δ ω k= 2 ( ) ( ). (23) Confrontando la (23) on la (9), e anora prima on la (3), i si aorge he le singole replihe dello spettro del segnale originale sono in questo aso moltipliate non per un valore ostante (ome avveniva nel aso di ampionamento naturale) ma per una funzione di ω. In partiolare, il filtro passa-basso di riostruzione he isola la replia entrata nell origine, darà in usita un segnale s (t) il ui spettro vale: Δt sin ω Δt 2 S'( ω ) = S ( ω). (24) T Δt ω 2 Si tratta dunque dello spettro di S(ω) moltipliato per la funzione sin(ωδt/2). Corrispondentemente, e ontrariamente agli altri tipi di ampionamento, si avrà allora s (t) s(t). La situazione è illustrata, on un esempio, in Figura 0. In Figura 0(a) è mostrato il modulo dello spettro nel aso di ampionamento ideale e in Figura 0(b) il modulo dello spettro nel aso di ampionamento istantaneo; la differenza tra i due asi è evidente. 5 E opportuno notare he, a rigore, la sequenza di impulsi rettangolari dovrebbe essere ritardata di Δt/2; iò per rendere fisiamente realizzabile il sistema. E infatti evidente he, ad esempio, l impulso per k = 0, la ui ampiezza è determinata dal valore del segnale in t = 0, non può iniziare all istante t = Δt/2, ome invee presuppone la definizione di s I (t). D altro anto, l introduzione del ritardo non ha impliazioni sostanziali ai fini della disussione mentre omplia, inevitabilmente, la notazione. Per questo motivo, pur avendone preisato la neessità, in linea di prinipio, esso non verrà introdotto nelle formule suessive. 2

13 (a) (b) Figura 0 Il segnale riostruito a valle del ampionamento istantaneo (he abbiamo detto impliitamente essere quello più importante in pratia) è dunque distorto. Vi sono però da fare due onsiderazioni: ) L entità della distorsione è legata al valore di Δt. Consideriamo il rapporto tra S'( ω ) e S ( ω) ; in aordo on la (24), esso vale: Δt sin ω S'( ω) Δt 2 =. (25) S( ω) T Δt ω 2 Di onseguenza si ha: S'( ω) S ( ω) T ω= 0 Δt = (26) e ( ) ( ) S'( ω) Δt sin πbδt 2 π Δt = = sin (27) S T πbδt π 2 T ω ω= 2πB ove si è posto B = /(2T ) e si è tenuto onto he è, neessariamente, Δt/T <. Quale misura della distorsione si può allora assumere il seguente rapporto (se tale rapporto fosse unitario la distorsione sarebbe nulla, all interno della banda del segnale): 3

14 S'( ω) ( ω) S S'( ω) S ω= 2πB ( ω) 2 T ω= 0 π Δt sin 2 T =. (28) π Δt Si apise he tanto minore è il rapporto Δt/T tanto minore risulta la distorsione (si parla di effetto finestra). Per alune appliazioni un valore di Δt/T < 0. è già suffiiente per garantire distorsione trasurabile. 2) La distorsione introdotta dall effetto finestra è equalizzabile. Visto he si onose l andamento in frequenza della funzione distorente, è suffiiente inorporare nell apparato di riostruzione un filtro on funzione di trasferimento H eq ( ω) = iωt Ae S ( ω) I d (29) perhé la distorsione venga eliminata e si riottenga il segnale riostruito ome nel ampionamento naturale. Il termine di fase e iωt d è neessario per tener onto del ritardo neessariamente introdotto dall equalizzatore reale; A è invee un oeffiiente moltipliativo. * * * * * A onlusione di questa sezione dediata al ampionamento vogliamo fornire, nelle pagine seguenti: a) un semplie eserizio di appliazione del teorema del ampionamento; b) un enno alla generazione di segnali PCM, in ui l operazione di ampionamento di segnali analogii è seguita dalle operazioni di quantizzazione e odifia per ottenere un segnale (binario) propriamente numerio; ) aluni esempi di alolo di frequenza di ifra per segnali PCM di pratio interesse. Queste integrazioni al apitolo non hanno aluna pretesa di ompletezza; esse servono soltanto a fornire al lettore almeno un idea dell importanza pratia del ampionamento, antiipandone l appliazione nei sistemi di omuniazione. Va da sé he i punti b) e ), in partiolare, dovranno essere suessivamente approfonditi, una volta aquisite nozioni più generali, nel Corso di Teleomuniazioni. 4

15 ESERCIZIO Il segnale s(t) = os(2000πt) + 0.[os(5000πt) + os(7000πt)] è ampionato, in modo ideale, assumendo una frequenza di ampionamento pari a 4 khz. La forma d onda ampionata è quindi limitata in banda a 2 khz usando un filtro passa-basso ideale. Si determini l andamento del segnale in usita dal filtro. Si ommenti il signifiato della proedura appliata e si giustifihi il risultato ottenuto. Il segnale s(t) è ostituito dalla sovrapposizione di tre funzioni osinusoidali di frequenza: f = 000 Hz, f 2 = 2500 Hz, f 3 = 3500 Hz. Riordando l espressione della trasformata di Fourier di un segnale osinusoidale, l andamento dello spettro di s(t) è riportato in Figura, dove: ω = 2000π rad/s, ω 2 = 5000π rad/s, ω 3 = 7000π rad/s; l area delle delta di Dira più grandi vale π, mentre quella delle delta di Dira più piole vale 0.π. S( ω) ω 3 ω 2 ω ω ω 2 ω 3 ω Figura La massima frequenza del segnale s(t) vale f 3 = 3500 Hz e quindi, ome noto dalla teoria, esso dovrebbe essere ampionato almeno a frequenza f = 2f 3 = 7000 Hz = 7 khz. Il fatto he venga utilizzata una frequenza di ampionamento di soli 4 khz lasia presagire he il segnale ampionato sarà ertamente distorto. Vogliamo ora valutare l entità di questa distorsione. Essendo il ampionamento ideale, la trasformata di Fourier del segnale ampionato vale ( ω) = S( ω kω ) T k= S (30) on ω = 2πf = 2π/T. L andamento di S (ω) è riportato in Figura 2; i si limita a onsiderare l intervallo ω 3 ω ω 3, più he suffiiente per gli sopi presenti. 5

16 S ( ω) ω 3 ω 6 ω 2 ω 5 ω ω 4 ω 4 ω ω 5 ω 2 ω 6 ω 3 ω Figura 2 Come previsto, il sottoampionamento ha prodotto aliasing e non è più possibile riottenere, on filtraggio passa-basso, il segnale di partenza a partire dal segnale ampionato. In Figura 2 si è posto: ω 4 = ω ω 3 = 000π rad/s; ω 5 = ω ω 2 = 3000π rad/s; ω 6 = ω ω = 6000π rad/s. Il filtro passa-basso on banda 2 khz (orrispondente, in pulsazione a 4000π rad/s) laserà inalterate le omponenti a pulsazione ±ω 4, ±ω e ±ω 5, eliminando tutte le altre. Lo spettro del segnale in usita dal filtro avrà dunque l andamento riportato in Figura 3. S u( ω) ω 5 ω ω 4 ω 4 ω ω 5 ω Figura 3 Antitrasformando e tenendo onto, da una parte, delle ampiezze delle omponenti osinusoidali del segnale di partenza (visibili, in Figura 3, dalla diversa dimensione delle delta di Dira) e, dall altra, del fattore moltipliativo /T dovuto al ampionamento si ottiene: 6

17 s u (t) = T = T [ 0.os( ω t) + os( ω t) + 0.os( ω t) ] 4 [ 0.os(000πt) + os(2000πt) + 0.os(3000πt) ] 5 = (3) E interessante osservare he la funzione os(2000πt), già presente nel segnale di ingresso, si ritrova in usita; questo risultato era atteso visto he per essa (e solo per essa) la frequenza di ampionamento e il relativo filtro passa-basso sono adeguati. 7

18 CODIFICA PCM E SUA APPLICAZIONE A SEGNALI DI INTERESSE PRATICO Lo shema a blohi di un sistema he utilizza la modulazione impulsiva odifiata (PCM: Pulse Code Modulation) è riportato in Figura 4. Figura 4 Il punto di partenza è ostituito da un segnale analogio s(t) di banda limitata, he viene ampionato, in aordo on il teorema del ampionamento, on una frequenza almeno pari a 2B. In tal modo, il segnale variabile in modo ontinuo nel tempo viene trasformato in una sequenza, disreta, di ampioni. Le ampiezze dei ampioni, peraltro, possono essere qualsiasi (ompatibilmente on la dinamia del segnale s(t)). Per rendere il segnale ompletamente numerio oorre disretizzare anhe le ampiezze dei ampioni. A iò provvede l operazione detta di quantizzazione, he ridue il numero di possibili valori (teoriamente infinito) ad un numero finito M di livelli, approssimando il valore di iasun ampione on il livello, tra gli M possibili, he gli è più viino. In tal modo si introdue inevitabilmente un errore di quantizzazione, he potrà essere mantenuto al di sotto del limite aettabile usando un numero M di livelli suffiientemente alto. Il segnale ottenuto a questo punto è un segnale numerio he può assumere M valori (M-ario). Per tutta una serie di motivi (legati a questioni tenologihe ma anhe alla qualità di trasmissione onseguibile) si è interessati a trasmettere il segnale numerio in forma binaria. Per poter trasmettere M livelli di segnale è neessario onsiderare un pari numero di sequenze binarie, iasuna ostituita da log 2 M simboli binari. Ad esempio, per M = 8 si devono avere 8 sequenze binarie he, per essere distinguibili, dovranno ontenere 3 simboli binari; esse saranno date da tutte le possibili ombinazioni di 3 simboli binari (omunemente denominati bit) per ui saranno: 000, 00, 00, 0, 00, 0, 0,. Da qui si apise anhe l opportunità, volendo implementare un sistema PCM, di assumere un valore di M he sia pari ad una potenza di 2 (vale a dire M = 2 k ); se osì non è, infatti, oorre omunque prendere un numero di simboli binari k log 2 M, alune sequenze binarie non saranno utilizzate e questa ridondanza, oltre he formalmente inutile, ha impliazioni negative he risulteranno hiare nel seguito. Un esempio di ampionamento, quantizzazione e odifia è illustrato in Figura 5. Tornando alla Figura 4, non i si preoupi, per ora, di omprendere il signifiato del bloo Modulazione he risulterà invee hiaro nell ambito del Corso di Teleomuniazioni. Per il momento, possiamo limitari a dire he la Modulazione omporta la selta della tenia utilizzata ai fini della trasmissione; al limite (e non è un aso osì infrequente) il segnale PCM ottenuto a seguito del ampionamento, della quantizzazione e della odifia può essere trasmesso direttamente e, in questo aso, il bloo di Modulazione (vale a dire il Modulatore ) è assente. In riezione, le operazioni svolte sono omplementari: in partiolare, il bloo di deodifia onsente di riottenere (a meno degli errori introdotti dal anale) il segnale numerio M-ario a partire 8

19 da quello binario, mentre il filtro di riostruzione interpola i ampioni disreti per riostruire il segnale analogio. In realtà va detto he le operazioni di deodifia e riostruzione, separate in Figura 4 per maggior hiarezza, vengono di solito effettuate ongiuntamente da un unio dispositivo. Figura 5 Fatta questa lunga premessa, l obiettivo del seguito di questo paragrafo è non già quello di affrontare questioni relative alla qualità (per esempio l effetto del rumore di quantizzazione) he vengono trattate altrove, ma di effettuare una valutazione della veloità di trasmissione del flusso binario per aluni segnali di partiolare interesse pratio. Questa veloità viene omunemente denominata frequenza di ifra, e sarà qui indiata on F. E intuitivamente ragionevole he il valore della frequenza di ifra determini il valore della banda oupata dal segnale PCM; in partiolare, maggiore è la frequenza di ifra, maggiore sarà la banda oupata dal segnale. La valutazione he si andrà ad effettuare, dunque, onsente di determinare l inremento di banda onseguente alla numeriizzazione del segnale. I segnali presi in esame sono quelli he più frequentemente si inontrano nell esperienza quotidiana. Di essi non verrà qui data una desrizione tenia dettagliata. Peraltro, per aluni di essi, verranno forniti elementi in altre parti del Corso. Per riavare la frequenza di ifra del segnale PCM, è suffiiente guardare alle operazioni he onduono dal segnale analogio s(t) al segnale numerio PCM: - il ampionamento omporta he venga prelevato un ampione ogni T o = /f o /(2B) [s] (la frequenza di ampionamento è stata qui indiata, per maggior hiarezza, on f o ); - il tempo riservato alla trasmissione di un simbolo M-ario non può dunque eedere /(2B); si assume, di solito, il valore massimo; - sostituendo una sequenza binaria al generio simbolo M-ario, iasuna ifra binaria avrà durata massima pari a /(2B log 2 M) in quanto il tempo riservato alla trasmissione di un simbolo M- ario deve ora essere ripartito tra i log 2 M simboli binari. In onseguenza di quanto sopra, la frequenza di ifra del segnale PCM, definita ome l inverso del tempo di trasmissione di un simbolo binario, sarà data da: F = 2B log2 M (32) avendo, anhe in questo aso, fatto riferimento al valore massimo per la durata di iasun simbolo. La (32) onsente anzi di omprendere il motivo per ui onviene assumere il massimo valore per T o e per la durata di iasun simbolo binario entro T o : on selte diverse, infatti, la frequenza di ifra 9

20 sarebbe maggiore di quanto fornito dalla (32). Conosendo il valore di B e speifiando quello di M (quest ultimo sulla base di onsiderazioni legate alla qualità) il alolo della frequenza di ifra è dunque diretto. Per i segnali di interesse pratio, i valori di B e di M sono standardizzati o omunque sono noti sulla base di selte onsolidate. Essi verranno ora rihiamati, ed inseriti nella (32) per il alolo del relativo valore di F. a) Segnale telefonio La banda onsiderata per questo tipo di segnale è, di norma, ompresa tra 300 Hz e 3400 Hz. Nondimeno, ai fini del ampionamento, si utilizza una banda lorda B = 4 khz. I livelli di quantizzazione sono tipiamente 256, orrispondenti a sequenze binarie di 8 bit (log 2 256). Sostituendo questi valori numerii si ottiene F = 64 kbit /s (33) Questa veloità assume una partiolare importanza, ome unità di apaità di anale, in quanto rappresenta il flusso numerio orrispondente al segnale elementare più diffuso nelle reti di teleomuniazione. b) Segnale musiale ad alta fedeltà In questo aso la larghezza di banda è dell ordine di 5 khz ed il ampionamento è effettuato, on leggero sovra-ampionamento, a f o = 32 khz. Assumendo M = 4096, per poter garantire l elevata qualità rihiesta, si ottiene: F = 384 kbit /s (34) ) Segnale televisivo Il segnale televisivo si ottiene dalla trasmissione, ad alta veloità, di immagini fisse he, in virtù del fenomeno di persistenza dell immagine sulla retina, danno all osservatore l impressione del movimento. Ogni immagine è ostituita da N righe, he determinano dunque il livello di risoluzione vertiale. L informazione visiva è, prima di tutto, data dalla variazione di luminanza (livello di grigio) he si ha lungo iasuna riga. Pensando ad una rappresentazione numeria del segnale, qui di interesse, il modo più semplie di odifiare l informazione onsiste nel dividere la riga in punti, assoiando a ogni punto un livello di luminanza. Il numero di punti viene selto in modo da garantire una risoluzione orizzontale analoga a quella vertiale. Nello standard Europeo (ad eezione della Frania e della Gran Bretagna) il numero di righe adottato è N = 625, mentre il numero di punti per riga è pari a ira 800. Questo valore è determinato sulla base di un rapporto d aspetto (aspet ratio: rapporto tra la dimensione orizzontale e quella vertiale dello shermo) uguale a 4/3. Ogni immagine è dunque ostituita da = punti. Per avere l illusione dell immagine he si deforma on ontinuità si trasmettono 25 immagini 6 (dette anhe quadri) al seondo; di onseguenza, si ha un flusso di = punti/s. Ogni punto orrisponde ad un ampione, e dunque si hanno ampioni/s di luminanza. Ma il segnale televisivo è a olori, per ui oorre trasmettere anhe la relativa informazione di rominanza. Assumendo un ugual numero di ampioni al seondo si ha per 6 Per ompletezza, va detto he iasuna immagine viene esplorata due volte, dapprima desrivendo un semiquadro omposto dalle sole righe dispari e quindi un semiquadro omposto dalle sole righe pari; iò allo sopo di evitare il fenomeno dello sfarfallamento, ben noto nella tenia inematografia, per ui l ohio perepirebbe riduzioni di luminanza se ogni zona dell immagine fosse esplorata ogni 25-esimo di seondo. 20

21 l informazione omplessiva un totale di = ampioni/s 7. Quantizzando on 8 bit per ampione (256 livelli, ome per la telefonia) si ha un flusso totale: F = 200 Mbit /s (35) Nella televisione ad alta definizione (HDTV: High Definition TeleVision) he si affermerà nei prossimi anni il numero di righe è raddoppiato. Corrispondentemente, per le ragioni esposte sopra, sarà anhe raddoppiato il numero di punti per riga. Di onseguenza, ripetendo i aloli preedenti, si avrà F = 800 Mbit / s (36) ioè un flusso totale quadruplo rispetto al aso preedente (a parità di numero di livelli di quantizzazione). D altro anto, un altra aratteristia della TV ad alta definizione è il ambiamento nel rapporto d aspetto he passa da 4/3 (ome ipotizzato nei aloli preedenti) a 6/9. In effetti, la maggior parte dei televisori di nuova fabbriazione ha questa aratteristia. Poihé il ambiamento del rapporto d aspetto ha ovviamente effetto sul livello di risoluzione dell immagine, il numero di punti per riga deve essere modifiato e la frequenza di ifra (36) ambiata in ragione del rapporto (6/9)/(4/3).33. In definitiva, per la HDTV on rapporto d aspetto 6/9 si ottiene: F =.066 Gbit / s (37) Per hiarezza e orrettezza, si ribadise una volta di più he questi valori sono fortemente sovradimensionati (nello spirito del alolo): una HDTV he neessitasse di una frequenza di ifra superiore al Gbit/s, e quindi di una banda proporzionalmente estesa, non avrebbe aluna possibilità di affermarsi. Fortunatamente, a ridurre la frequenza di ifra, e l oupazione spettrale, onorrono l adozione di opportune tenihe di modulazione e, soprattutto, l utilizzo della odifia di sorgente, he sfrutta le proprietà statistihe del segnale per diminuirne la ridondanza. d) Segnale musiale per la registrazione su CD Nella registrazione numeria ottia del segnale musiale su dishi ompatti (CD: Compat Disk) si rihiede una qualità estremamente elevata. Ciò porta ad una frequenza di ampionamento di 44 khz e a aratteri di 6 bit per ampione. Inoltre il segnale è stereofonio, per ui si devono in realtà immagazzinare 2 segnali audio, on la qualità preisata. In definitiva si ha allora, per questo tipo di segnale: F =.408 Mbit / s (38) In realtà, questa frequenza di ifra viene signifiativamente inrementata perhé ai simboli di informazione vengono aggiunti altri simboli per proteggere il segnale musiale dai disturbi (odifia 7 Va detto he questa valutazione è approssimata (per eesso): una valutazione più aurata tiene onto: ) dell effiienza (non unitaria) di sansione, 2) del fatto he l ohio umano è meno sensibile al dettaglio spaziale relativo al olore e 3) del fatto he, nel segnale televisivo, oorre trasmettere oltre all immagine anhe l audio. Per desrivere questi aspetti, oorre però analizzare on maggior dettaglio tutte le aratteristihe del segnale, e questo va la di là degli obiettivi della presente trattazione. I valori numerii riavati dal alolo approssimato sono omunque utili a fissare l ordine di grandezza del segnale. 2

22 di anale) e per failitare le operazioni di registrazione e lettura del diso (odifia di linea). Con selte tipihe 8, si perviene ad un flusso totale aratterizzato da F 3.3 Mbit / s (39) 8 La odifia di anale e la odifia di linea verranno trattate in altra parte del Corso di Teleomuniazioni. Per ompletezza, possiamo qui preisare (rimandandone la omprensione a quando tali argomenti verranno sviluppati nel dettaglio) he il flusso binario PCM viene segmentato in blohi di 24 aratteri di 8 bit iasuno, e ad essi vengono aggiunti 8 aratteri di parità per la orrezione di eventuali errori seondo un opportuna odifia; si hanno in definitiva blohi odifiati di 32 aratteri e quindi un inremento nel flusso di 32/24. Un ulteriore inremento del flusso, nel rapporto 4/8 è dovuto all introduzione di una onveniente odifia di linea, he fa orrispondere parole di 4 bit ai aratteri di 8 bit. Moltipliando la (38) per 32/24 e per 4/8 si ottiene la (39). 22