P3 CIRCUITI RISONANTI E AMPLIFICATORI SELETTIVI.

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1 P CICUITI ISONANTI E AMPIFICATOI SEETTIVI. P. Un iruito C serie è alimentato alla frequenza di risonanza da un generatore a tensione ostante, avente f.e.m. di valore iae E, V. a bobina, di induttanza 4,5 mh, ha un fattore di merito, valutato alla frequenza di risonanza,. Il ondensatore, di apaità C nf, ha perdite trasurabili. Calolare la tensione ai api del ondensatore e la potenza assorbita dal iruito. Stabilire poi di quanto si deve dissintonizzare il generatore (ioè di quanto deve variare la sua frequenza rispetto al valore di risonanza), affinhé la potenza da esso erogata si dimezzi. 4,5mH C nf E, V Soluzione Alla frequenza di risonanza ω / C la tensione i api del ondensatore è volte la tensione appliata al iruito, on fattore di sovratensione oinidente on il fattore di merito della bobina: V C E, V Il iruito in risonanza presenta una impedenza puramente ohmia, pari alla resistenza serie della bobina: s ω 4,5 C C 9 5 Ω a potenza assorbita dal iruito vale pertanto: P E / s, /5,7 µ W

2 Usendo di risonanza, l impedenza del iruito aumenta e quindi l intensità di orrente nel iruito diminuise, rispetto al valore massimo I E / di risonanza. Di onseguenza la potenza assorbita dal iruito diminuise, dimezzandosi quando la orrente si ridue a I /, iò he aade in orrispondenza delle frequenze limiti, f e f, della banda passante. a larghezza di banda è legata al fattore di merito del iruito dalla relazione (.7): B f / on: f 5, khz 9 C 4,5 π π Per si ottiene: B f / 5, / 5 Hz e frequenze f e f possono essere onsiderate simmetrihe rispetto ad f, per ui il loro valore può essere ottenuto sempliemente sommando ± B/ ad f : f f B,5 5, 5,5 khz B,5 f f + 5, + 5,55 khz In onlusione, se la frequenza del generatore di tensione si sposta da f (frequenza di risonanza propria del iruito C alimentato) a f o a f (frequenze limiti della banda passante del iruito), l intensità della orrente passa da I a I /, riduendosi di db: log I I log log log db Corrispondentemente la potenza erogata, proporzionale al quadrato dell intensità di orrente, passa da P a P /, riduendosi anh essa di db: P log P log log db P. Un iruito C parallelo è alimentato alla risonanza da un generatore a orrente ostante avente orrente di ortoiruito di valore iae I ma. a bobina ha induttanza µh e resistenza serie, valutata alla frequenza di risonanza, s,8 Ω. Il ondensatore ha apaità C8 pf e perdite trasurabili.

3 Calolare: a) la pulsazione di risonanza e la orrispondente lunghezza d onda; b) l impedenza del iruito alla risonanza e quella in orrente ontinua; ) la orrente di risonanza in e in C. I ma fo uh C 8pF,8Ω Soluzione a) a pulsazione di risonanza vale: ω C 8 a ui orrisponde la frequenza di risonanza in MHz: ω,8 f 7, 8 MHz π π,8 Mrad / s A questa frequenza può essere assoiata una lunghezza d onda riferita ad un onda elettromagnetia he si propaga liberamente nel vuoto alla veloità della lue 8 m / s. Si ha dunque: λ 8 T, 9 m f 7,8 b) Alla risonanza il iruito presenta un impedenza puramente ohmia data dalla resistenza parallelo p della bobina. Possiamo esprimere p in funzione della resistenza serie s assegnata, uguagliando le relative espressioni del fattore di merito: ω p s ω Si ottiene: ω 4, p C C 8,8 5 s s s kω

4 In orrente ontinua l impedenza del iruito è pratiamente nulla, perhé si ridue alla resistenza ohmia del filo ostituente la bobina: ) In ondizioni di risonanza, la orrente di irolazione in e C è volte quella fornita dal generatore, on fattore di sovraorrente oinidente on il fattore di merito della bobina. Avendosi: si ottiene: 8,8 ω,8 s I IC I ma P. Si vuole dimensionare un iruito C parallelo, dati i valori della frequenza di risonanza f e del fattore di merito della bobina (supponendo il ondensatore di aordo privo di perdite), in modo he, appliando al iruito un ario ohmio, il fattore di merito del iruito senda ad un valore prefissato. Si onsiderino i seguenti due asi, riferiti rispettivamente a iruiti di un radiorievitore supereterodina (frequenza intermedia 47 khz) e di un radiotrasmettitore dilettantistio (radiofrequenza 8 MHz, ovvero lunghezza d onda,7 m): a) f 47 khz; ; kω; 4 b) f 8 MHz; : kω; C s Soluzione a) Si parte dalla relazione (.4), srivendo:

5 da ui si riava: Essendo: si ottiene: ω ω + 4 ( ) ( ), 875 kω 4 ω πf π 47,95 Mrad / s ω,875 ω,95 5 µ H C ω ω ω,95,875 8 pf b) In questo aso, essendo << (iruito risonante fortemente ariato), partendo sempre dalla (.4) si può srivere: ω ( ), kω e pertanto, essendo: ω πf π 8 7 Mrad / s si ottiene: ω, ω 7,4 µ H C ω ω 7, 9,47 pf P.4 Un iruito C parallelo è alimentato da un generatore a orrente ostante I ma on frequenza angolare ω 4 Mrad/s. a bobina ha induttanza, mh e fattore di merito ;il ondensatore ha apaità C da determinare, on fattore di perdita trasurabile. Al iruito è aoppiata induttivamente una seonda bobina di induttanza µh hiusa su un ario ohmio Ω, on rendimento di trasferimento η t 77,7 %. Calolare il oiiente di aoppiamento fra le due bobine, sapendo he la potenza trasferita al seondario vale P 55 mw.

6 M I ma ωο 4Mrad/s C,mH uh Ω Soluzione Dall espressione (.4) del rendimento di trasferimento: P ηt P si riava il valore del fattore di merito ettivo del iruito ariato dalla attraverso l aoppiamento induttivo: 77.7 ( η ) ( ) 44, t intensità della orrente di irolazione in e C vale pertanto: I I 44, 89, ma E questa la orrente he irola nella resistenza he si onsidera trasferita dal seondario in serie alla bobina. Per la potenza P trasferita al seondario vale quindi l espressione: dalla quale si riava: I P P 55 (89, I ),9 Ω A sua volta, per la vale l espressione: ω M o Z in ui oinide pratiamente on la Ω del ario (trasurando in onfronto a questo la resistenza serie della bobina seondaria): Ω Si ha inoltre:

7 Z + ω 4 ( ) + (4 ) 4,4 Ω Possiamo allora riavare dall espressione della il valore della mutua induttanza fra i due iruiti aoppiati: 4 Z,9 4,4 M µ H ω (4 ) Il oiiente di aoppiamento fra le due bobine risulta pertanto: K M,, Per quanto riguarda il valore della apaità di aordo C, va tenuto presente he il iruito seondario trasferise al primario, oltre al ario, anhe una reattanza apaitiva, ovvero una induttanza da sottrarre a, data da: ω M ( 4 ),9 µ H 4 Z 4.4 Essendo <<, l etto dissintonizzante del seondario può essere trasurato, per ui la apaità di aordo C è data sempliemente da: C 5 ω (4 ), pf P.5 - Due iruiti risonanti uguali, aventi iasuno induttanza, mh, fattore di merito 8 e apaità C5 pf, sono tra loro aoppiati induttivamente. Il primario è alimentato in serie da un generatore ideale di tensione a frequenza di risonanza, avente f.e.m.di valore iae V mv. Calolare la tensione ai api del ondensatore del iruito seondario e la banda passante, per i seguenti valori del oiiente di aoppiamento: a) KK /; b) KK ; ) KK

8 M + V ωο C V C Soluzione a pulsazione di risonanza vale: ω C, ed il oiiente di aoppiamento ritio: 5 4 Mrad / s K,5 8 Per onsentire dei onfronti, onsideriamo dapprima il iruito risonante primario isolato, e aloliamo la tensione ai api del ondensatore di aordo e la larghezza di banda del iruito: V C V 8 mv B ω / 4 /8 5 krad / s uando si aoppia induttivamente un seondo iruito risonante isorono, la risposta ai api del ondensatore seondario è diversa a seonda del grado di aoppiamento: a) Per KK /, la (.8) e la (.) fornisono rispettivamente: V C V K K + K V K,5 5, mv B K ω + ( K / K ) K ω +,5,5 4, 5 krad / s ispetto al primario isolato, si ha una tensione di usita molto minore: V / K V / V C / e una banda passante più larga:

9 K ω +,5, ω /, B b) Per KK,la (.) e la (.) fornisono rispettivamente: V * C V V K K,5 8 mv B ω 4 8 7,7 krad / s a V C * è la massima tensione di usita ottenibile dal filtro di banda,al variare del grado di aoppiamento, e orrisponde alla metà di quella he si otterrebbe dal primario isolato. uesta riduzione di ampiezza è il prezzo he si paga par avere una urva di risposta on fianhi più ripidi e sommità più appiattita, e quindi più viina a quella di un filtro passa banda ideale. a banda passante è volte più larga, rispetto a quella del solo primario: ω B ) Per KK,la (.8) fornise: K V VC V 48 V K + K K,5 a risposta alla risonanza è minore del valore V C 8 mv relativo all aoppiamento ritio; tuttavia tale valore viene raggiunto in orrispondenza di due frequenza, ω a, ω b, pressohé simmetrihe rispetto alla ω. Avendosi, per la (.): ω ω K ω K ω,5 4 5 krad / s b a le due frequenze, espresse in Mrad/s, valgono approssimativamente: * ωb ωa ωa ω ωb ωa ωb ω + a larghezza di banda, data dalla (.4): 4,75,5 Mrad / s 4 +,75 4,75 Mrad / s

10 B Kω K ω,5 4 krad / s risulta relativamente elevata, 4,4 v olte più ampia di quella del iruito primario isolato. P. In figura è shematizzato un amplifiatore di tensione selettivo on aoppiamento a ondensatore, avente una banda passante B khz entrata sulla frequenza di risonanza f 9 khz. Determinare i valori dei parametri differenziali g m e r d, e della apaità di usita C ds del JFET impiegato, per ottenere un guadagno a entro banda A quando l amplifiatore è hiuso su un ario ohmio 9 kω on apaità d ingresso C7 pf. V 5KΩ Cai nf C pf 5uH 8 Cau nf 5KΩ k,5k Ck nf Ci 7pF 9KΩ GND Soluzione Il iruito risonante dell amplifiatore presenta un fattore di merito ettivo minore del fattore di merito proprio perhé ariato dalla in parallelo dinamiamente on la resistenza differenziale di drain r d del JFET. Dalla relazione (7.7), he lega il alla larghezza di banda dell amplifiatore selettivo, si riava:

11 f B 9 45 Dall espressione (7.) di si può allora riavare la resistenza d, parallelo fra resistenza di ario e resistenza differenziale di drain, desumendo dallo shema i valori relativi alla bobina della iruito risonante, 5 µh, 8: e quindi: d ω r d π 9 5 d 9 87,5 9, kω 9 87,5 d ,5 kω 8 45 Inoltre, dall espressione (7.5) del guadagno a entro banda dell amplifiatore possiamo riavare il valore della transonduttanza differenziale del JFET: A g m,4 ma/ V ω π A titolo di verifia dei aloli eseguiti, possiamo utilizzare la seguente espressione del guadagno di tensione dell amplifiatore: A g m pd on pd risultante dal parallelo fra la d e la resistenza parallelo propria della bobina: Si ottiene: e quindi: p ω , 88 kω A π pd pd 7,88 87,5 8,8 kω + 7, ,5 p d g,4 8,8 9,88 m pd esta da determ inare il valore della apaità fra drain e soure del JFET, in base all espressione della frequenza di entro banda (7.), he fornise: Ct 8, 48 ω 4π (9 ) 5 pf essendo C t la apaità omplessiva data dal parallelo fra la apaità del ondensatore di aordo, C pf, e le apaità di usita del JFET e d ingresso del ario: C t C + Cds + Ci Si ha dunque:

12 Cds Ct C C i 8,48 7, 48 pf P.7 Uno stadio amplifiatore di tensione selettivo a radiofrequenza, on aoppiamento induttivo a semplie aordo, impiega un JFET avente g m 4 ma/v, r d 8 kω. e bobine del trasformatore F hanno entrambe induttanza µh on fattore di merito ; il oiiente di aoppiamento è K,. Il seondario è aordato sulla frequenza ω Mrad/s del segnale d ingresso avente un valore iae V gs mv. usita è ollegata ad un seondo stadio a JFET on resistenza d ingresso molto elevata, per ui si dovrà tener onto soltanto della apaità d ingresso C i 5 pf di tale stadio, avente etto solo sulla sintonizzazione dell amplifiatore. Partendo dallo shema relativo al iruito equivalente differenziale dell amplifiatore, determinare la apaità del ondensatore di aordo e alolare il valore iae del segnale di usita. Determinare poi il valore he dovrebbe avere il oiiente di aoppiamento per ottenere la massima ampiezza del segnale di usita. Soluzione Posto µ r d g m, il iruito equivalente dinamio dello stadio amplifiatore in esame omprende un generatore dipendente di tensione µv gs on resistenza interna r d appliato al primario del trasformatore F. Considerando trasurabile la apaità interelettrodia C ds (drain-soure) del JFET, e onglobando la apaità d ingresso C i dell utilizzatore nella apaità C di sintonizzazione, si ottiene lo shema seguente. s M s µvgs rd C Vu + -

13 Alla frequenza di risonanza ω Mrad/s, l impedenza del seondario si ridue alla sola s, he riportata al primario diventa: on: s ω M M K, 4 µ H e quindi: s ω Ω ω M ( 4 ) 5, 7 kω s o shema del iruito equivalente si semplifia ome appresso. s s µvgs rd + - Vu Il iruito è perorso da una orrente espressa vettorialmente da: Avendosi: I µ Vgs ( r + + ) + jω d s ω Ω << r d possiamo trasurare la parte immaginaria a denominatore, per ui si ottiene una orrente in fase on la tensione appliata e avente valore iae (trasurando anhe s rispetto a r d + ): V gmrdv gs 8 I µ 7,4 r + r d ,7 d gs 4 A uesta orrente indue nel seondario una f.e.m. espressa vettorialmente da: E jω MI A sua volta la E produe una orrente nel seondario he, essendo questo in risonanza, risulta in fase on la f.e.m. e di valore iae:

14 ωmi 4 7,4 4 I,79 A s Pertanto la tensione di usita, ai api del ondensatore di aordo avente reattanza / ω C ω, risulta: 4 V u ω I,79, 7 V Allo stesso risultato (a meno delle approssimazioni di alolo) si perviene attraverso la valutazione del guadagno di tensione dell amplifiatore, dopo aver alolato il fattore di merito ettivo del iruito seondario. A tal fine, riportiamo l impedenza del primario al seondario, trasurando al solito ω << rd ed assumendo s + rd rd. Con tale approssimazione il primario trasferise al seondario soltanto una resistenza: per ui si ha: Possiamo allora alla (7.8): A ω M r d s ω + ( 4 8 ) +,7,7 Ω determinare il guadagno di tensione dell amplifiatore in base g m ω 4 4 e alolare infine il valore iae del segnale di usita: M Vu A Vgs 7,5, 5V 7,5 Il risultato è in linea on quello preedentemente ottenuto ( V u. 7 V ). Al variare del oiiente di aoppiamento fra le bobine del trasformatore F, il segnale di usita raggiunge la massima ampiezza in ondizione di adattamento di impedenza, ioè quando (on la solita approssimazione di trasurare ω rispetto a r d): + s rd ovvero, indiando on M la mutua induttanza he verifia l adattamento e trasurando s rispetto ): da ui: ω M s r d

15 r 8 M d s 49 µ H ω ovvero: K M / 49/,745 In questa ondizione è pari alla metà di ed il guadagno di tensione risulta espresso dalla (.7): A (max) g o mω 4 49 M 4,5 Si ha pertanto: V u(max) A Vgs 4,5,49V (max) Un aumento del grado di aoppiamento oltre K non produe un aumento del guadagno dell amplifiatore, ma una sua diminuzione, perhé si aompagna ad una prevalente riduzione del valore di. Ad esempio, se si assume K,9> K,ovvero: si ottiene: M K,9 8 µ H ω M ( 8 ) rd 8 4, e quindi: ω s + + 4, 48,8 A m, < A g ω M ,8 8 (max) P.8 Un amplifiatore di tensione selettivo a filtro di banda, sintonizzato sulla radiofrequenza ω 5 Mrad/s, è realizzato on un JFET avente g m 4 ma/v, r d 4 kω. e bobine, primaria e seondaria, sono aoppiate on KK, ed hanno rispettivamente: 5 µh, ; 4 µh, 8. Calolare il guadagno di tensione in deibel alla risonanza ed in orrispondenza delle due frequenze: ω ω( K / ), ω ω( + K / ). Soluzione

16 Supponendo trasurabili le perdite nei ondensatori di aordo, il iruito primario del trasformatore F presenta una resistenza parallelo propria data da: p kω ω a resistenza ettiva è data dal parallelo della p on la resistenza dinamia del JFET, e vale: p rd 75 4 pd kω + r p Pertanto il iruito pri mario presenta un fattore di merito ettivo dato da: d 5 5 pd ω 4, 7 In base alla (.) possiamo allora alolare il valore del oiiente di aoppiamento ritio: K 4,7 8,9 amplifiazione alla risonanza per KK risulta pertanto, in base alla (7.): ovvero: A gmω K,9 A ( db) log 4 db a larghezza di banda dell amplifiatore è espressa dalla (7.4) per KK : B K f e frequenze angolari ω, ω assegnate orrispondono quindi, approssimativamente, ai limiti inferiore e superiore della banda passante, e pertanto ad esse orrisponde un guadagno di tensione di db al di sotto di quello a entro banda, ioè: ovvero: A db) A ( db) A ( db) 4 7 db ( 7 / A A 7,8

17 P.9 Uno stadio amplifiatore di potenza a radiofrequenza, realizzato on un BJT funzionante in lasse C, ha una potenza di usita sull utilizzatore P u,8 W, on rendimento di trasferimento η t,9. Il iruito volano omprende un ondensatore di aordo di apaità C pf, sul primario di un trasformatore F ostituito da due bobine uguali di induttanza,4 µh. Il seondario è hiuso su un utilizzatore ohmio rappresentato da una resistenza u 75 Ω. a tensione di alimentazione è V 4 V. Fissato un oiiente di tensione ( ampiezza del segnale di tensione in usita rapportata alla tensione di alimentazione) K v,9 ed un oiiente di orrente (ampiezza del segnale di orrente di prima armonia rapportata al valor medio della orrente di ollettore) K,7 determinare: a) la frequenza di lavoro dell amplifiatore; b) la potenza di alimentazione ed il rendimento di onversione; ) il grado di aoppiamento fra le bobine del trasformatore di usita. V C pf,4uh,4uh u 75Ω B CB GND Soluzione a) Trasurando l etto dissintonizzante del seondario del trasformatore di usita, la frequenza di lavoro è quella di risonanza del iruito volano data da:

18 f 4, Mrad / s C,4 π π ovvero, in termini angolari: ω 9 Mrad / s C,4 b) Dal valore di K v si riava l ampiezza del segnale sinusoidale di usita: VuM KvV,9 4, 8V ampiezza della orrente di prima armonia si può riavare dall espressione della potenza onvertita in radiofrequenza: on: Si ottiene: P V I um M Pu,8 P, 44 W η t, 9 P,44 I M 78, ma V, um 8 Con un K i,7 (orrispondete ad un angolo di irolazione della orrente di ira ), la orrente media di ollettore risulta: e quindi la potenza di alimentazione vale: I M 78, I m 4 ma K, 7 i P V I 4 4, 84 W m m on un rendimento di onversione: η P P m,44,84,78 ) a resistenza di ario dell amplifiatore: V I um,8 Ω 78, 47 rappresenta la resistenza parallelo della bobina ostituente il iruito volano (supponendo nulle le perdite nel ondensatore di aordo), la quale presenta quindi un fattore di merito ettivo: ω 9 47, 4

19 mentre il fattore di merito proprio ha un valore, riavabile dalla (7.), pari a: 5 η t,9 D altra parte, la,trasformata in resistenza serie: 47 s, 78 Ω equivale in prima approssimazione alla resistenza serie dell utilizzatore trasferita al primario. Possiamo periò srivere: da ui disende: s ω M ω K u,78 75 K s u, 4 ω 9,4 u