CONTROLLI AUTOMATICI (01AKS, 02FSQ) ATM, INF Soluzione della tipologia di compito dell 8/VII/2002

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1 CONTROLLI AUTOMATICI (0AKS, 0SQ) ATM, IN Soluzione della tipologia di ompito dell 8/VII/00 Eserizio Progetto di un ontrollore Sia dato il sistema di ontrollo riportato in figura on: ( 30 3s + 3 =, ( =, K s 3 r =, d (t)=, d (t)= s + 0s + 4s igura I guadagni stazionari K e K delle funzioni ( ed (, rispettivamente di tipo zero e di tipo uno, sono definiti ome: K lim ( K lim s ( 0.5 = = s > 0 alolabili, utilizzando Matlab, on il seguente sript: s=tf('s'); =30/(s+5); =(3*s+3)/(s^3+0*s^+4*; K=dgain() K=dgain(s*) = = s > 0 Essendo la funzione ( di tipo uno, la funzione omplessiva del ramo diretto C( ( ( è almeno di tipo uno, quindi il sistema di ontrollo permette l inseguimento di un segnale di riferimento r(t) ostante on errore nullo in regime permanente e l inseguimento di un segnale di riferimento a rampa on errore finito, non nullo, in regime permanente. Dato he la funzione ( è di tipo zero e he ( è di tipo uno, l effetto sull usita y(t) del disturbo ostante d (t) sarà finito e non nullo in regime permanente. Essendo la funzione ( di tipo uno, il sistema di ontrollo è astatio al disturbo ostante d (t). Non è quindi neessario introdurre poli nell origine in C( per soddisfare le speifihe date e di seguito disusse in maniera dettagliata..) Progettare il ontrollore C( in modo he il sistema retroazionato soddisfi le seguenti speifihe: a) Errore di inseguimento alla rampa unitaria r(t) = t in regime permanente pari al massimo in modulo a 0., in assenza di disturbi.

2 Per alolare l errore e di inseguimento alla rampa, si deve onsiderare il guadagno stazionario dell intera funzione di trasferimento del ramo diretto (di tipo uno), pari al prodotto dei guadagni stazionari dei singoli blohi ( K K K ), ottenendo osì: Kr e = = = KKK K K Per soddisfare la speifia e 0. si deve avere: 0.5 K 0. da ui si riava he K 40. b) Effetto del disturbo d (t) sull usita in regime permanente pari al massimo in modulo a Il bloo a monte del disturbo d (t), ostituito dal prodotto di C( e di (, è di tipo zero. Essendo la funzione ( di tipo uno, l usita in regime permanente dovuta al disturbo d (t) = vale in modulo: Kr y = d 0.05 KK = K da ui si riava he K 0. ) Effetto del disturbo d (t) sull usita in regime permanente pari al massimo in modulo a 0.0. L effetto del disturbo d (t) è sempre nullo perhé il bloo a monte del disturbo, ostituito dal prodotto di C(, ( ed (, è di tipo uno. Essendo il sistema a stabilità regolare, K deve essere selto di segno positivo. Si fissa, quindi, K = 40, per garantire il ontemporaneo soddisfaimento delle speifihe a), b), e ) riguardanti il omportamento in regime permanente. d) Banda passante pari a ira 0 rad/s (la speifia è soddisfatta se l errore ommesso è inferiore in modulo al 0%). Sapendo he ω < B 3 < ω e he si vuole ottenere B 3 0 rad/s, si può segliere ω,des ompresa fra e 4 rad/s. e) Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario minore (o uguale) al 0%. sˆ Sostituendo nella relazione = il valore massimo di sovraelongazione (0.), si ottiene M r ome pio di risonanza massimo M r =.48, pari a.99 db. Analizzando la arta di Nihols, si ottiene he m φmin =40. Nel progetto del ontrollore risulterà onveniente garantire un margine di fase leggermente superiore. Progetto del ontrollore Si lania su Matlab lo sript preedente aggiungendo le seguenti operazioni: K=40; % stabilito nei punti preedenti

3 Kr=; Ga=K/Kr**; % funzione di anello definita inserendo il guadagno % stazionario selto per il bloo C( w=4; % valore desiderato per la w di taglio bode(ga) [m,f]=bode(ga,w) igura Dal grafio ottenuto, riportato in igura, ovvero a partire dal valore f della fase di G a (jω,des ), si dedue he bisogna reuperare ira 50 in orrispondenza di ω,des per poter garantire il minimo margine di fase rihiesto. Per fare iò, si seglie di utilizzare una rete antiipatrie on m= e ωτ =. La rete non è entrata sul pio di massimo reupero per limitare il guadagno in modulo in ω,des. In tal modo si era di evitare l inserimento di una rete attenuatrie o, se neessaria, di limitare il valore del suo parametro m per minimizzare l effetto oda nella risposta del sistema di ontrollo. Si lania su Matlab lo sript preedente aggiungendo le seguenti operazioni: % Rete antiipatrie m=; wtau=; tau=wtau/w; C=(tau*/(tau/m*; Ga=C*Ga; % funzione di trasferimento d anello omprendente anhe la rete % antiipatrie figure,bode(ga) [m,f]=bode(ga,w) Dall analisi del diagramma di Bode, riportato in igura 3, ovvero dal valore m del modulo di G a (jω,des ), si dedue he si dovrebbero perdere ira 5 db in orrispondenza di ω,des = 4 rad/s. Si

4 seglie di utilizzare una rete attenuatrie on m= e ωτ = 50, he determina un attenuazione leggermente superiore (6 db) per ottenere un valore finale di ω interno all intervallo di valori ( 4 rad/ desiderato, osservando he la fase in tale intervallo di pulsazioni è tale da garantire il margine di fase rihiesto. Si lania su Matlab lo sript preedente aggiungendo le seguenti operazioni: % Rete attenuatrie m=; wtau=50; tau=wtau/w; C=(tau/m*/(tau*; Ga3=C*Ga; %funzione di trasferimento d anello omprendente anhe la rete attenuatrie figure,margin(ga3) igura 3 Dall analisi del diagramma riportato in igura 4, si nota he il margine di fase ottenuto è di 49 alla pulsazione di taglio di.7 rad/s. Riportare la funzione di trasferimento del ontrollore progettato sul foglio allegato nella forma fattorizzata in ostanti di tempo. Le reti inserite sono desritte dalle funzioni di trasferimento: 0.49s C( = e 0.09s.786s C( =. 3.57s La funzione di trasferimento del ontrollore progettato è pertanto:

5 0.49s.786s C( = s 3.57s igura 4.) Dopo aver verifiato he il sistema in atena hiusa osì ottenuto soddisfi le speifihe di rihieste, valutarne: il tempo di salita il pio di risonanza della risposta in frequenza l errore di inseguimento massimo in regime permanente a r(t) = sin (0.t), in assenza di disturbi. Per verifiare le prime tre speifihe si può utilizzare Simulink, faendo riferimento allo shema riportato in igura : a) In assenza di disturbi e definendo un ingresso a rampa unitaria ome riferimento, si verifia he l errore a regime è pari a 0.: la speifia è dunque soddisfatta. b) Inserendo solamente il disturbo d (t)= e definendo un ingresso nullo, si ottiene he l usita dovuta a d (t) è 0.05: la speifia è dunque soddisfatta. ) Inserendo solamente il disturbo d (t)=4 e definendo un ingresso nullo, si verifia he l usita dovuta al disturbo d (t) è nulla. La speifia è quindi soddisfatta. Per verifiare le altre speifihe si possono utilizzare i omandi: C=K*C*C; W=feedbak(C**,/Kr); figure,step(w/dgain(w)) figure,bode(w/dgain(w)) d) Dal diagramma di Bode, si riava he B 3 =.3 rad/s: la speifia è quindi soddisfatta. e) Dalla risposta al gradino, si riava he la sovraelongazione è inferiore al 4%: la speifia è quindi soddisfatta.

6 Il tempo di salita è 0.6 s (riavato dall analisi del grafio della risposta al gradino unitario), il pio di risonanza della risposta in frequenza è.65 db (dal diagramma di Bode). Per ottenere l errore massimo al riferimento sinusoidale si appliano i seguenti omandi: wd=0.; sens=feedbak(,ga3); [ms,fs]=bode(sens,wd); err=ms*kr % pulsazione di riferimento sinusoidale % funzione di sensibilità L errore massimo è err = ) Disretizzare il ontrollore C( progettato, segliendo opportunamente il passo di ampionamento (motivare tale selta). Determinare la funzione di trasferimento C(z), speifiando il metodo di disretizzazione utilizzato, valutarne il tempo di salita e la sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario del sistema ad anello hiuso, ottenuti on tale C(z). Per una prima selta del passo di ampionamento, si può fare riferimento alla seguente relazione: T = π/(0b 3 ) he nel nostro aso fornise T = 0.049s. Arrotondando tale valore si seglie quindi T=0.0s. Con i omandi: T=0.0; Gazoh=Ga3/(s*T/); figure, margin(gazoh); è possibile verifiare he la perdita di fase introdotta dal filtro di tenuta di ordine zero, per il passo di ampionamento selto, permette omunque di ottenere un soddisfaente margine di fase e quindi si deide di mantenere la selta T=0.0s. La funzione di trasferimento del ontrollore disretizzato on il metodo di Tustin (è stato selto questo metodo in quanto solitamente fornise buoni risultati) è realizzata tramite il seguente omando: Cd=d(C,T,'tustin') La funzione di trasferimento del ontrollore disretizzato risulta: C d 75.z 337.5z ( z) = z.406z Dall analisi della risposta al gradino, ottenuta on Simulink sostituendo al posto di C( il ontrollore digitale C d (z) si ottiene: tempo di salita = 0.6s sovraelongazione = 7%.

7 Eserizio Dall analisi di G a ( si determina n pa = (dove n pa è il numero di poli a parte reale positiva di G a (). Dal diagramma di Nyquist si individuano inque regioni:. per /K < -6.6, ioè 0 < K < 0.06, si ha N = 0 (rotazioni orarie di G a (jω)) e quindi n p =, ovvero si ha un polo instabile ad anello hiuso;. per -6.6 < -/K < -5, ioè 0.06 < K < 0., si ha N = e quindi n p =3, ovvero si hanno tre poli instabili ad anello hiuso; 3. per 5 < /K < 0, ioè K > 0., si ha N = 0 e quindi n p =, ovvero si ha un polo instabile ad anello hiuso; 4. per 0 < /K < 3, ioè K < -0.33, si ha N = - e quindi n p =0, ovvero il sistema è stabile ad anello hiuso; 5. per /K > 3, ioè < K < 0, si ha N = 0 e quindi n p =, ovvero si ha un polo instabile ad anello hiuso. Pertanto: - per K = il sistema retroazionato presenta un polo instabile, - per K = 0. il sistema retroazionato presenta tre poli instabili, - per K = - il sistema retroazionato è stabile, - per K = - 0. il sistema retroazionato presenta un polo instabile. La risposta esatta è dunque la A. Eserizio 3 I parametri del ontrollore PID possono essere alolati on il metodo di Ziegler-Nihols in atena aperta. Seguendo tale metodo, la funzione di trasferimento ( data viene approssimata da: ap K ( = τ f e s θ s Dal grafio della risposta al gradino unitario u =, si riavano approssimativamente i seguenti valori: e quindi: τ f = 0.3 s, θ = 0.0 s, y = 4.5 K = u y 4.5 = = 4.5

8 Dalla tabella del metodo di Ziegler-Nihols in atena aperta si riavano i parametri: K P =.τ K ϑ = 0.36 = T i = θ = 0.0 T D =0.5 θ = he definisono il ontrollore PID, desritto dalla seguente funzione di trasferimento: R( = K on N=0 (ome rihiesto). Sostituendo i valori alolati in preedenza si ottiene: P TDs + T T is d N s s s + 8 R( = s + 0.0s Per valutare la sovraelongazione e il tempo di salita si appliano i omandi seguenti: s=tf( s ); =(4*s^+00*s+90000)/(s^3+54*s^+5600*s+0000); Kp=8; Ti=0.0; Td=0.005; N=0; R=Kp*(/(Ti*+Td*s/(Td/N*) W=feedbak(R*,); step(w/dgain(w)) Dall analisi del grafio ottenuto, si valutano una sovraelongazione del 37% e un tempo di salita pari a 0.084s.