ESERCIZI ELEMENTARI DI FLUIDODINAMICA

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1 ISTITUZIONI I INGEGNERI EROSPZILE ESERCIZI ELEMENTRI I FLUIOINMIC ESERCIZI ELEMENTRI I FLUIOINMIC RICHIMI INTROUTTII Il fluido viene onsiderato ome un ontinuo, ossia vengono identifiate alune grandezze marosopihe he servono per desrivere il suo omportamento e le sue proprietà. Nel aso ideale di fluido non visoso, queste sono la pressione p, la densità e la veloità. Per questi eserizi, onsidereremo soltanto fluidi ideali non visosi. Portata (in massa) Speifia la massa di fluido he transita nell unità di tempo attraverso la sezione :. nalisi dimensionale: [ML ][LT ][L ] [M][T ] Portata volumetria Speifia il volume di fluido he transita nell unità di tempo attraverso la sezione :. nalisi dimensionale: [LT ][L ] [L ][T ] Conservazione della massa Consideriamo il semplie aso di tubo di flusso on una sezione di entrata E ed una sezione di usita U. La onservazione della massa i impone di eguagliare la portata in E on quella in U: E E E U U U. Ne segue l equazione di ontinuità nel fluido: ost E U Nel aso di fluido inomprimibile, la densità è ostante in ogni punto, e quindi E E U U, e l equazione di ontinuità si srive ost. Conservazione dell energia Consideriamo solo il aso di fluido inomprimibile ( ostante). Per il tubo di flusso da E a U, la onservazione dell energia (meania) onsente di srivere he la variazione di energia inetia, per unità di volume e per unità di tempo, orrisponde al lavoro ompiuto dalle pressioni in E ed in U per unità di tempo, p p, U E E U

2 ISTITUZIONI I INGEGNERI EROSPZILE ESERCIZI ELEMENTRI I FLUIOINMIC da ui risulta he si onserva la somma p : p p. E E U U Ne segue l equazione di Bernoulli nella sua forma più semplie: p ost nalisi dimensionale di Qui: : [ML ][L T ] [MLT ][L ] [F][L ] p è la pressione (nel gergo, questa viene anhe hiamata pressione statia ). è l energia inetia per unità di volume del fluido (ha le dimensioni della pressione, e nel gergo viene hiamata pressione dinamia e spesso indiata on la lettera q); infatti è la massa per unità di volume; è il prodotto salare della veloità su sé stessa,. La ostante ost ha le dimensioni della pressione, e nel gergo viene hiamata pressione totale e indiata ad esempio ome p T. Il teorema di Bernoulli implia he la somma dei due termini in ogni punto onsiderato resta ostante, vale a dire he la osiddetta pressione totale si onserva. Per ui la diminuzione di un termine dovrà essere ompensata dall aumento dell altro. d esempio, nel aso in ui aumentasse la veloità, e quindi la pressione dinamia, avremo una diminuzione di pressione. Per potere trovare il valore della ost dovremmo prima onosere il termine statio e quello dinamio in un punto, ed estendere poi il valore del binomio di Bernoulli a tutto il tubo di flusso (e a tutto il dominio, se i tubi di flusso sono tutti uguali entrando nel dominio). ESERCIZI Eserizio ato un tubo on diametro di ingresso = 6 mm e diametro di usita = 4 mm, sapendo he nel tubo fluise aqua he entra on veloità = 0.5 m/s, determinare la veloità on ui l aqua ese dal tubo. Imponendo la onservazione della massa,, ed espliitando l area della sezione on il rispettivo diametro, 0.5 m/s, si riava: 0.5 m/s 8 m/s.

3 ISTITUZIONI I INGEGNERI EROSPZILE ESERCIZI ELEMENTRI I FLUIOINMIC Eserizio ato un tubo on portata di aqua in ingresso Q = l/s e veloità in ingresso =.6 m/s, sapendo he la veloità in usita è = 0 m/s, si determinino i diametri di ingresso e usita. Trasformiamo la portata volumetria nel Sistema Internazionale (ioè in m /s), sapendo he l = 0.00 m. Si ottiene una portata in ingresso pari a Q = 0.00 m /s = 0.0 m /s. all espressione della portata è possibile riavare il valore del diametro di ingresso. Infatti 4 Q.6 m/s 0.0 m /s, da ui 0.0 m /s e quindi m 4.6 m/s m m. nalogamente si proede per la sezione e si trova: 0.09 m. Eserizio d un ondotto irolare di diametro 0.0 m in ui sorre aria, viene ollegato un tubo di enturi, onsistente in una riduzione loale del ondotto fino ad un diametro di gola di 0.07 m. Il ondotto è p p strumentato on due prese di pressione he misurano le pressioni p = 765 mmhg prima della strizione e p = 75 mmhg nella sezione di gola. eterminare la portata del ondotto. Per determinare la portata i serve onosere il valore della veloità in una delle due sezioni. Sono inognite entrambe le veloità. Possiamo però utilizzare le due equazioni di onservazione a nostra disposizione per hiudere il problema: equazione di ontinuità ed equazione di Bernoulli. Iniziamo quindi on l imporre la onservazione della massa, supponendo il fluido inomprimibile (ipotesi sempre da verifiare a posteriori) e riavando una veloità in funzione dell altra,. Il teorema di Bernoulli si può quindi srivere p p,

4 ISTITUZIONI I INGEGNERI EROSPZILE ESERCIZI ELEMENTRI I FLUIOINMIC ioè p p, da ui si riava ( p p ). Per riavare dobbiamo: alolare il valore delle aree, m, 0.0 m 0.07 m m ; onosere la densità dell aria, per ui assumiamo il valore standard a livello del mare, =.5 kg/m ; esprimere la pressione in unità internazionali (ioè in Pa), usando la onversione: mmhg =. Pa. Risulta: ( p p ) (765 75) mmhg (.) Pa/mmHg 6.04 m/s kg/m Si può quindi alolare la portata, onsiderando ad esempio la sezione : Q Q..5 kg/m 6.04 m/s m 0.88 kg/s Oorre infine verifiare he l ipotesi di inomprimibilità sia effettivamente soddisfatta. Caloliamo il numero di Mah e verifihiamo he sia al di sotto del valore di riferimento standard 0., oltre il quale tipiamente gli effetti di omprimibilità non sono più trasurabili. Il numero di Mah M è dato dal rapporto tra la veloità loale del fluido e la veloità del suono, M = /. La veloità del suono è la veloità on ui un onda sonora si propaga nel fluido onsiderato. Il valore di varia da fluido a fluido (ad esempio, il suono si propaga più veloemente nell aqua he nell aria), e varia on la sua temperatura. La veloità del suono si determina ome RT, in ui è il rapporto p / v tra alore speifio a pressione ostante e alore speifio a volume ostante (nel aso dell aria si assume =.4), R è la ostante universale dei gas per unità di massa (R = 87 J/(kg K)), T è la temperatura assoluta, per ui assumiamo il valore standard a livello del mare, T = 88.6 K. Nel nostro aso risulta quindi RT.4 87 Nm kg K 88.6 K m/s. Il numero di Mah nella sezione vale quindi M 6.04 m/s m/s 0.8. Nota he la verifia è stata fatta proprio nella sezione dove >, e dove quindi il numero di Mah è maggiore. 4

5 ISTITUZIONI I INGEGNERI EROSPZILE ESERCIZI ELEMENTRI I FLUIOINMIC Eserizio 4 Riferendosi al disegno a lato, si onsideri he nella sezione rettangolare, di dimensioni 0 m 0 m, la pressione dinamia sia q = 00 Pa. La sezione è irolare: alolare il diametro sapendo he la veloità è pari a m/s. Il fluido onsiderato è aria in ondizioni standard. Conosendo la pressione dinamia q si può riavare il valore della veloità : q 00 Pa q 44.6 m/s.5 kg/m Imponendo la onservazione della massa si alola l area, m/s 0. m0. m m/s 0.06 m 0.44 m, e quindi si riava il diametro erato, m 0.55 m. Eserizio 5 In figura è illustrata la amera di prova di una galleria del vento. La galleria è dotata di 4 ventole, iasuna on portata di 66.5 kg s -. La amera di prova ha una sezione di.8 m 4 m ed è lunga 4.5 m. La sezione a monte del onvergente è di.8 m 4 m. ssumendo he la pressione nella sezione a monte del onvergente sia pari a quella atmosferia in ondizioni standard, determinare:. la veloità della vena in amera di prova;. la forza agente su iasuna delle quattro pareti della amera di prova, indiandone il verso. Sezione a monte del onvergente 4 x.8 m 4.5 m Camera di prova 4 x.8 m 5

6 ISTITUZIONI I INGEGNERI EROSPZILE ESERCIZI ELEMENTRI I FLUIOINMIC La portata in massa omplessiva dei ventilatori vale Q kgs 9kgs. Le aree delle due sezioni valgono m 5. m, m 5. m. Caloliamo le veloità nelle due sezioni: Q 9 kgs.5 kg/m 5. m Q 9 kgs.5 kg/m 5. m 4.9 ms, 50.0 ms. Conosendo la pressione nel ondotto a monte del onvergente, pari alla pressione atmosferia p a = 05 Pa, aloliamo la pressione totale, p p p 05Pa.5 kg/m (4.9 ms ) T a 05Pa 5 kg ms /m 0450 Pa. Riaviamo quindi la pressione nella amera di prova, p p p p.5 kg/m (50 ms ) T T 0450 Pa 5.5 kg ms /m Pa. Ciasuna delle quattro pareti della amera di prova è sottoposta su una faia alla pressione interna e sull altra faia alla pressione esterna (la pressione atmosferia). L = 4.5 m Per alolare la forza derivante da questo sistema di pressioni appliate alle fae, è neessario alolare la differenza di pressione p tra l interno e l esterno, he risulta p p pa 9999Pa 05Pa 406 Pa. Camera di prova 4 x.8 m Il segno meno india he la pressione risultante è verso l interno. 6

7 ISTITUZIONI I INGEGNERI EROSPZILE ESERCIZI ELEMENTRI I FLUIOINMIC Ciasuna delle pareti è sottoposta a una forza omplessiva pari a p per l area della sua superfiie. Le pareti hanno area inf-sup laterale m 8 m, m 7. m. Le azioni eseritate dalle forze di pressione sulle pareti risultano F F inf-sup laterale p inf-sup laterale 406 Pa 8 m 508 N, p 406 Pa 7. m 404 N, e sono dirette verso l interno. La forza più elevata orrisponde a Finf-sup 508 kgf 580 kgf.580 ton. 9.8 Eserizio 6 Si onsideri un velivolo in volo orizzontale rettilineo uniforme alla quota z = 4060, a ui la densità vale = kg m. Sul profilo dell ala agisono una distribuzione di pressioni sul dorso e una sul ventre, he per sempliità si rionduono a distribuzioni trapezie seondo lo shema grossolano di figura, on: p = 569 Pa, p = 6676 Pa, p = 608 Pa. M M eterminare:. La veloità di volo, nell ipotesi he la pressione nel punto di ristagno sia pari a p. B. Il oeffiiente di pressione p nei punti M a M a metà orda, rispettivamente sul ventre e sul dorso. p p p C. Il diagramma della distribuzione in orda del ario di portanza.. La posizione in orda del punto di appliazione della risultante della portanza. E. Il valore del ario alare Q/S del velivolo, supponendo l ala a pianta rettangolare. p eloità di volo. Sriviamo il bilanio energetio di una orrente inomprimibile (equazione di Bernoulli) lungo la linea di flusso he ondue al punto di ristagno, p pp.ristagno p.ristagno. 7

8 ISTITUZIONI I INGEGNERI EROSPZILE ESERCIZI ELEMENTRI I FLUIOINMIC Qui p, e sono la pressione ambiente, la densità dell aria alla quota onsiderata e la veloità di volo; la veloità p.ristagno è nulla per definizione. Riaviamo la pressione dinamia q della orrente asintotia, sfruttando l ipotesi he la pressione nel punto di ristagno sia pari a p nota: q pp.ristagno p p p Pa 5509 Pa, e quindi la veloità di volo, q 5509 Pa 59 m s 6. ms kg/m. B Coeffiienti di pressione. Caloliamo la pressione nei punti medi rihiesti: pm ( p p ) Pa Pa, pm ( p p ) Pa 696 Pa. Caloliamo quindi i oeffiienti di pressione seondo la definizione, M pm M pm p p Pa 0.89, 5509 Pa p p Pa Pa p p p : C istribuzione in orda della portanza. La portanza è data dalla differenza delle pressioni tra il ventre e il dorso p p dell ala. Nelle ipotesi dello shema grossolano adottato di distribuzioni trapezie in orda, he terminano on lo stesso valore di pressione al bordo di usita, la portanza è ovviamente distribuita in orda in forma triangolare. L ordinata, al bordo di attao, di tale distribuzione di portanza vale p p Pa 979 Pa. Posizione della risultante di portanza. La posizione del punto di appliazione della risultante di portanza è nel barientro della figura del ario. Con una distribuzione di ario triangolare, si trova quindi a / della orda. / 8

9 ISTITUZIONI I INGEGNERI EROSPZILE ESERCIZI ELEMENTRI I FLUIOINMIC E Cario alare. Il ario alare di un velivolo è il peso diviso la superfiie alare, Q/S. Possiamo determinare il peso Q dall equilibrio he deve sussistere on la portanza P, essendo il velivolo in volo orizzontale rettilineo uniforme. La portanza è l integrale, sulla superfiie alare, del ario di portanza dovuto alla differenza di pressioni tra il ventre e il dorso dell ala. bbiamo appena determinato la distribuzione in orda di tale ario, e (nell ipotesi he l ala sia a pianta rettangolare ed in mananza di informazioni più preise) supponiamo he tale distribuzione sia uniforme in apertura. La portanza vale quindi P p p b, mentre la superfiie alare vale S b, dove è la orda del profilo e b l apertura alare. Quindi aloliamo Q S P b ( p p ) 979 Pa 4897 Nm. 9