Filtri a quarzo. 6 febbraio 2010

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1 IZ3NPZ Ferdinando e ARIVERONAEST 6 febbraio 2010 Premessa Un cristallo di quarzo ha un comportamento che viene descritto dal seguente circuito: 0 01 Lm ESR m con m e L m parametri che tengono conto dell'oscillazione meccanica del cristallo, ESR (equivalent series resistance, che d'ora in poi chiameremo r s ) che rende conto delle perdite del cristallo e 0 che rappresenta la capacità dovuta sia al contenitore che alla costruzione meccanica del quarzo (due faccie parallele metallizzate con interposto il cristallo). La relazione che esiste fra le due capacità si può considerare di questo tipo o = 220 m Del quarzo si può anche calcolare la gura di merito Q U non caricato con la seguente formula: Q U = 2 π f s Lm r s con f s la frequenza di risonanza serie del quarzo. Un quarzo interposto fra un carico a 50 Ω e una sorgente sempre a 50 Ω, ha, in frequenza, il seguente comportamento 1

2 ome si può notare, questa caratteristica si può considerare composta da una risposta dovuta al circuito risonante in serie - il picco positivo - e al circuito risonante in parallelo, il picco negativo Un ltro a cristallo può essere costruito con un solo quarzo secondo lo schema seguente: ariveronaest 2

3 10 pf 4.48 uh 4.48 uh 191 pf 10 u 191 pf 25 pf 10 u 5 30 pf Analizziamo il circuito: le due reti ad L (4.48 µh e 191 pf ) servono per trasformare (vedi carta di Smith) i 50 Ω in 500 Ω verso il cristallo (e questo per non caricarlo troppo). Il trasformatore serve per creare un segnale in controfase per alimentare il condensatore trimmer di rifasamento. Questo segnale si combina con il segnale che proviene dal condensatore in parallelo al quarzo (che non fa altro che aumentare la capacità complessiva) per controllare la posizione del notch della risposta, mentre il condensatore da 25 pf fa risuonare il trasformatore. La regolazione del trimmer porta ad annullare il picco negativo, e questo avviene quando questo compensa esattamente la capacità in parallelo al quarzo (infatti, in questo caso, essendo il segnale che passa attraverso il trimmer esattamente opposto a quello che passa nel quarzo, il segnale totale, in parallelo, è nullo e quindi è come se fosse un circuito aperto; a questo punto rimane solo la capacità in serie, e quindi il circuito diventa un circuito risonante serie con la caratteristica risposta di un tale circuito. Anche dei semplici calcoli portano alle stesse conclusioni: il quarzo abbia una L m = H ed una capacità 0 3 pf. alcolando m = e da questa la frequenza di risonanza, si trovano circa 5 MHz. Il trimmer, regolato sui 13 pf (10 del condensatore esterno più 3 di o ) porta il circuito ad essere risonante serie. Se si sovracompensa il condensatore, il picco negativo si sposta dall'altra parte. Il progetto di ltri a quarzo Una piccola premessa prima di veder come progettare i ltri, è necessaria: quando si lavora con i quarzi, sarebbe buona cosa caratterizzarne un bel numero, ariveronaest 3

4 in modo tale poi da poter lavorare con quarzi che abbiano la stessa frequenza di risonanza. Molti ltri hanno una congurazione a scala, dove i quarzi sono gli elementi in serie della scala; dei condensatori in derivazione fanno da accoppiatori fra quarzi adiacenti. Lo schema allora è il seguente: s1 R s1 s k12 k23 k34 R L Nella gura si notano i condensatori jk che sono i condensatori d'accoppiamento, mentre i condensatori s sono i condensatori d'accordo per far si che tutte le varie celle risuonino alla stessa frequenza; chiaramente, nel caso di un numero pari di celle (essendo il ltro simmetrico) le celle da riportare in risonanza sono le estreme, in quanto vedono la resistenza d'uscita e d'ingresso. Se il numero di celle fosse dispari, ci sarebbe anche la cella centrale da riportare in risonanza. Naturalmente ci sono delle formule per calcolare le varie capacità, ma sono formule che si basano su parametri tabellizzati. Per un ltro di Butterworth a 4 poli, e quindi simmetrico, si danno i seguenti valori: q 1 = q 4 = per il calcolo dei condensatori di riallineamento k 12 = k 34 = k 23 = per il calcolo dei condensatori d'accoppiamento. Le formule in gioco sono le seguenti: per il calcolo dei condensatori d'accoppiamento 1 jk = 4k jk Bπ 2 f c L m per il calcolo della resistenza di terminazione alle due estremità del ltro R e = 2πBL m q se si vuole terminare il ltro non con la resistenza calcolata, ma con un'altra resistenza R 0, si può fare il seguente ragionamento: la R 0 può essere adattata ad un valore più piccolo se viene messa in parallelo ad un condensatore di capacità R o R e e = R e ω 2 R0 2 e questa è proprio la capacità che va messa in parallelo alla resistenza voluta per terminare il ltro; con i dati riportati si ottiene R e = 309 Ω, e = 47 pf, con la nuova resistenza di terminazione di R 0 = 450 Ω ariveronaest 4

5 si può anche terminare il ltro con una capacità in serie alla resistenza originale del ltro, calcolandola con la formula = 2 e ω 2 R e ω 2 R 2 0 Dai calcoli risulta una capacità di 153 pf. Il programma secondario inserito nel programma di calcolo dei ltri a quarzo ci permette di vericare l'esattezza di tale trasformazione. I quarzi usati hanno una frequenza di 5MHz, una induttanza L m = 98 mh, una p = 3 pf e si vuole una banda passante di 400 Hz (buona per un ltro per W). Il calcolo fatto con il programma porta ad ottenere questi valori. ariveronaest 5

6 Valori simili si ottengono anche attraverso i calcoli fatti con le formule prima date, ma bisogna trovare le tabelle, sia per il ltro Butterwoth che hebyshev, dalle quali ricavare i parametri q e k. I ltri attivi Molte volte occorrono dei ltri a bassa frequenza, ad esempio nei ricevitori a conversione diretta dove la selettività è tutta adata ai ltri audio Il modo più conveniente per fare dei ltri di questo tipo è quello di realizzare dei ltri attivi, che combinano la possibilità di ltraggio con quella di avere anche un guadagno. Il tutto si fa tramite amplicatori operazionali. Il circuito seguente è un ltro R attivo di tipo passa basso: ariveronaest 6

7 R R Vin A Il guadagno di questo amplicatore è pari ad 1 ed è montato in congurazione non invertente (il generatore è collegato al più). Il parametro A è un parametro moltiplicativo che permette sia di variare il guadagno complessivo, che di modicare la risposta del ltro passa basso, risposta che, all'aumentare di A, ha un picco sempre più grande, come illustrato ariveronaest 7

8 1 ome si vede, all'aumentare di A, se da un lato si ha un overshoot, dall'altro, però,si mha una attenuazione fuori banda che è molto più ripida. Non si ha il picco per un fattore A 2. In questa situazione, la frequenza di taglio a -3dB si calcola così: A 2 + 2A2 4A + 4 f t = 2πRA ariveronaest 8

9 on il ltro sopra disegnato, con A = 1 (due condensatori uguali), capacità da 10 nf e resistenze da 10 KΩ si ha una frequenza di taglio di 1024 Hz. Se invece si vuole avere una maggiore attenuazione fuori banda, basta aumentare il fattore A e a questo punto conviene fare riferimento non alla frequenza di taglio, ma alla frequenza alla quale si ha il picco, data da: A 2 f = 2π A R Mettendo in cascata ad esempio tre celle come quella prima vista, si ottiene un ltro a sei poli molto ecace, utile ad esempio per la ricezione della SSB. Eccone lo schema completo: 10K 4K7 4K7 4K7 4K7 4K7 4K7 OUT IN 10K 10 nf 20 nf 10 nf 20 nf 10 nf 20 nf Un ltro passa alto, invece, si ottiene scambiando, nel circuito del passa basso, i condensatori con le resistenze e viceversa. In questo caso, però, il fattore moltiplicativo si ha sulle resistenze, e precisamente la resistenza che va a massa è un multiplo dell'altra resistenza. Naturalmente la risposta ha le stesse caratteristiche della precedente, nel senso che all'aumentare di A aumenta il picco ma anche l'attenuazione fuori banda. Lo schema quindi risulta essere il seguente: 10K OUT IN 10K A R R Anche in questo caso, come in quello precedente, si puo calcolare il ltro in base al valore di A; se A 2, si calcola la frequenza di taglio a -3dB con la formula 2 A + 2A2 4A + 4 f t = 2πRA mentre se nella risposta si vuole ottenere il picco e cioè A 2, la frequenza di ariveronaest 9

10 picco viene calcolata in questo modo 1 f = 2π R A 2 Ul ltro passa banda attivo si presenta così R1 R3 IN R2 OUT Per il progetto di questo tipo di ltro, si devono ssare i valori del guadagno di tensione K alla risonanza 1, della frequenza f 0 di centro banda, del fattore di merito Q e delle capacità. on questi valori si calcolano le tre resistenze R 2 = R 1 = Q 2πf o K Q (2 Q 2 K) 2πf o R 3 = 2 Q 2πf o Un esempio di calcolo è il seguente: usando condensatori da 22 nf, una frequenza di centro banda di 800 Hz, un fattore di qualità Q=5 ed un guadagno pari a 2, si ottengono i valori R 1 = Ω, R 2 = 942 Ω, R 3 = 90.4 KΩ 1 Il guadagno non può essere qualsiasi, nel senso che deve essere minore di 2 Q 2, altrimenti la R 2 diventa negativa, cosa impossibile. ariveronaest 10