Fisica dello Stato Solido

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1 isica dllo Stato Solido Lzion n.6 Introduzion alla conduzion lttrica ni talli Corso di isica di Siconduttori Laura Magistral in Inggnria Elttronica a.a

2 Nll introduzion al corso abbiao già parlato dl prio odllo dlla conduzion lttrica dovuto a Drud (1900) L lttron di conduzion intragisc con gli ioni diant collisioni: vnti istantani ch cabiano bruscant la sua vlocità. Assunzioni dl odllo: 1. Ioni nl rticolo fissi disposti casualnt.. Nl tpo ch intrcorr tra collisioni succssiv si trascurano l intrazioni tra ion d lttron (approssiazion di lttron libro) tra lttron d lttron (approssiazion di lttron indipndnt).. La probabilità ch l lttron non abbia avuto collision nl tpo t è pari a: t t con t = tpo dio tra du collisioni succssiv. P 4. La vlocità di uscita dalla collision ha dirzion casual non corrlata alla vlocità pria dlla collision odulo corrlato con la tpratura local.

3 Drivazion dlla lgg di Oh nl odllo di Drud Si ottin: J E t Con: J n v n t Dfiniao conducibilità lttrica dl atrial: (rsistività: ) Drud utilizza la statistica di Maxwll Boltzann pr valutar la vlocità trica dll lttron: v th K B T Noto ch la vlocità di driva è olto più piccola. Ipotizzando un filo di ra ad spio: n c A = pr r = 0.1c I = 100 A 5 s 1 drift J n I An.14x10 0.1A x8.49x10 x1.6 x c/s Valutazion dl libro caino dio dll lttron di conduzion: l v th t ~ 10 Å

4 Probli nl odllo di Drud Il odllo non spiga: 1. la grand variabilità dlla conducibilità lttrica ossrvata sprintalnt tra i divrsi atriali Rsistività (c) Matrial <10 - Mtalli 10 - < <10 5 Siconduttori >10 5 Isolanti. Non spiga co crti atriali possano avr valori positivi di R H. Non spiga il divrso coportanto lttrico tra talli, siconduttori d isolanti al variar dlla tpratura: Mtalli. La conducibilità diinuisc con la tpratura. Siconduttori. Allo zro assoluto non c è conducibilità lttrica, la conducibilità crsc con la tpratura, la conducibilità è fortnt dipndnt dalla prsnza di ipurzz Isolanti. Conducibilità lttrica trascurabil in un apio intrvallo di tpratur. Una pria corrzion al odllo di Drud si ffttua considrando ch gli lttroni sguono la statistica quantistica di ri Dirac. 4

5 Modllo di Sorfld a. Gli lttroni obbdiscono al principio di sclusion di Pauli, prciò dvono ssr dscritti diant la statistica quantistica di ri-dirac. b. Gli lttroni di conduzion sono considrati co libri. Dvono prciò ssr dscritti con funzioni d onda j(r) soluzioni dll quazion di Schrödingr: j( r) x Soluzion gnral dll quazion: j ( r) j( r) A r B r c. Gli lttroni di conduzion sono confinati dntro il atrial solido cui appartngono. Utilizzando un spio già visto nll lzioni prcdnti si può considrar pr splicità il atrial co un cubtto acroscopico di lato L. S gli lttroni sono confinati nl atrial allora l autofunzioni j si annullano sull facc dl cubo. 5

6 Condizioni al contorno di Born Von Karan Nlla dscrizion di fnoni di trasporto è prò convnint disporr di autofunzioni in fora di ond progrssiv ch dscrivono il oto di un lttron in una dirzion dtrinata. Qust condizioni si possono ottnr iponndo l condizioni al contorno priodich o di Born Von Karan: j( x, y, z) j( x L, y, z) condizioni di B-V-K j( x, y, z) j( x, y L, z) j( x, y, z) j( x, y, z L) 6

7 Applicando l condizioni di B-V-K ottniao l sgunti rgol di quantizzazion dl vttor d onda: k x p nx L x y z x y z k y x z y p ny L ( xl) ( yl) ( zl) k z p nz L ; ; con n x, n y, n z nuri intri. p I valori prssi di k x,y,z sono prciò ultipli di. L k Pr ogni valor prsso di k si ha livllo nrgtico:. Poiché pr gli lttroni val il principio di sclusion di Pauli pr ottnr la funzion di occupazion di ciascun livllo dobbiao considrar la distribuzion quantistica di ri Dirac. x L y L dn( ) d z L g( ) K B T 1 1 7

8 Valutazion dlla funzion di dgnrazion g() Nlla lzion n. abbiao calcolato la funzion di dgnrazion g() pr un gas idal in un rcipint chiuso di volu V: 4p V g( ) h ( 1/ Nuro di valori prssi di nrgia tra d d Nl odllo di Sorfld gli lttroni di conduzion sono trattati co gas di particll libr, quindi la funzion di dgnrazion è la stssa, ssa vin oltiplicata pr prché ogni stato prsso può contnr lttroni con spin up o down: 8p V g( ) h ( 1/ 8

9 dn( ) d g( ) f D (, T) g( ) K T B 1 8p V / h ( K B T 1 dn d f D (E,T) T = 0 K g(e) g() dn d T >> 0 K f D (E,T) g(e) g() 9

10 10 l intgral sull nrgia dlla funzion dn/d è pari al nuro total N di lttroni: valutato a T = 0 K: / 8 p n h h d h V N n p p Valutazion di ) ( T K T K B B d h V d g N p Ottniao l nrgia di ri in funzion dlla concntrazion di lttroni di conduzion:

11 Dfiniao vlocità di ri: v tpratura di ri: vttor d onda di ri: T = E /k B k Tablla riassuntiva paratri odllo di Sorfld pr i talli n [c - ] [V] k [c -1 ] v [c/s] T [K] Li Na K Cu Ag Au

12 APPLICAZIONI DEL MODELLO DI SOMMERELD Il succsso di qusto odllo è notvol prché consnt di affrontar alno in pria approssiazion lo studio dll proprità lttronich di talli in bas all proprità d al coportanto classico dll lttron singolo. Vdiao nl sguito alcun significativ proprità di talli ch possono vnir soddisfacntnt intrprtat sulla bas dl odllo di Sorfld: 1. Libro caino dio. Calor spcifico di solidi. Efftto fotolttrico ission troionica ddp di contatto 1

13 Caino libro dio nl odllo di Sorfld Riprndiao il conctto di libro caino dio visto nl odllo di Drud. Alla vlocità trica nl odllo di Sorfld bisogna sostituir la vlocità di ri: v ch è aggior di v th di un fattor:. K B T Si ottin allora: l v t ~ 100 Å Suprior di un ordin di grandzza al calcolo con odllo di Drud, corrispond ad una aggior dlocalizzazion lttronica. isur su talli co ra, argnto forniscono ffttivant valori di libro caino dio dll ordin dl cntinaio di Å, in accordo con la toria di Sorfld. 1

14 Efftto fotolttrico A T bass pr strarr un lttron dal tallo è ncssario fornir all lttron alno l nrgia f, nll fftto fotolttrico qusta nrgia è fornita dal foton incidnt con hn > f. Eission troionica A T lvat l occupazion dgli stati lttronici si stnd oltr una crta prcntual di lttroni potrà avr nrgia aggior di f così sfuggir al tallo. Livllo di Vuoto 14

15 Diffrnza di potnzial da contatto Un altra illustrazion dll sistnza dlla nrgia di ri ni talli è l instaurarsi di una diffrnza di potnzial di contatto tra du talli. Supponiao di avr du talli A B non connssi lttricant (figura (a)). In assnza di un capo strno l nrgia potnzial di un lttron strno è zro, i rispttivi livlli di fri sono all nrgi f A d f B (supponiao f B > f A ) risptto a tal valor di rifrinto. S connttiao lttricant i du talli gli lttroni più nrgtici da A fluiranno in B ripindo i livlli sopra il livllo di fri originario di B svuotando livlli prcdntnt occupati in A. All quilibrio, A B avranno l ultio livllo occupato alla stssa nrgia risptto al livllo zro, il tallo A risultrà carico positivant d il tallo B ngativant: qusto coporta l instaurarsi di una diffrnza di potnzial pari a f B f A tra i du talli (figura b). 15

16 Il odllo di Sorfld dscriv abbastanza bn l proprità lttrich di talli (in particolar qulli dl I gruppo d i talli nobili). Non è prò in grado di dscrivr l fondantali diffrnz tra talli siconduttori d isolanti. Il odllo dv ssr affinato tnndo conto dl potnzial priodico dovuto agli ioni prsnti ni siti rticolari Toria dll band. 16