Riferimenti, coordinate, equazioni per rette e piani

Transcript

1 Rifrimnti, coordinat, quaioni pr rtt piani Diamo pr scontato ch il lttor abbia familiarità con l noioni di bas sullo spaio di vttori applicati dl piano dllo spaio. Pr qust si può consultar il paragrafo. dl tsto di M. bat Matmatica Statistica (sconda d.). Prima di tutto occorr introdurr la noion di rifrimnto a n. Un rifrimnto a n dl piano è una trna R = R(O, ~ i, ~ j)dovo è u n p u n t o d l piano, { ~ i = O, ~ j = OB} è una bas dllo spaio V O di vttori applicati in O. Dunqu assgnar un rifrimnto a n quival dunqu ad assgnar tr punti O,, B non allinati dl piano dato ch in qusto caso i vttori ~ i = O ~ j = OB sono non allinati quindi linarmnt indipndnti. Fissato un rifrimnto a n R = R(O, ~ i, ~ x j) dl piano, l coordinat y di un punto P dl piano, pr dfiniion, sono l coordinat dl vttor OP rlativ alla bas { ~ i, ~ j} ossia sono unicamnt dtrminat dalla rlaion: OP = x ~ i + y ~ j. (.) Pr quanto riguarda lo spaio si procd nl modo sgunt. Un rifrimnto a n dllo spaio è una quatrna R = R(O, ~ i, ~ j, ~ k)dovo è u n punto dllo spaio, { ~ i = O, ~ j = OB, ~ k = OC} è una bas dllo spaio V O di vttori applicati in O. Dunqu assgnar un rifrimnto a n nllo spaio quival dunqu ad assgnar quattro punti O,, B, C non complanari dl piano dato ch in qusto caso i vttori ~ i = O, ~ j = OB ~ k = OC sono non complanari quindi linarmnt indipndnti. Fissato un rifrimnto a n R = R(O, ~ i, ~ j, ~ k) dllo spaio, l coordinat di un punto P dllo spaio, pr dfiniion, sono l coordinat dl vttor OP rlativ alla bas { ~ i, ~ j, ~ k} ossia sono unicamnt dtrminat dalla rlaion: OP = x ~ i + y ~ j + ~ k. (.) Diamo ora una rapidissima applicaion dll ida di assgnar coordinat ai punti di piano spaio, dscrivndo com si possano dscrivr rtt piani mdiant quaioni paramtrich. Cominciamo con l rtt. Nl piano o nllo spaio si fissi un punto O. Sia r una rtta (dl piano o dllo spaio) passant pr O siaq 6= O un

2 altro punto di r. llora il vttor OQ è un a bas pr lo spaio di vttori applicati in O dlla rtta r. Dunqu un qualunqu altro punto P giac sulla rtta r s solo s sist, d è unicamnt dtrminato, t 2 R si ha OP = t OQ. (.2) S r è una rtta arbitraria, siano P,P 2 du punti distinti di r (vdi Figura.4 pg 442 dl libro di M. bat). S r è la rtta parallla a r passant pr O, sistununicopuntoq 6= O su r tal ch OP + OQ = OP 2 ossia tal ch OQ = OP 2 OP. Dunqu s P è un qualunqu punto P è l unico punto tal ch OP = OP + OP, usando la (.2), si può concludr ch un punto P è giac sulla rtta r s solo s sist t 2 R tal ch OP = OP + t( OP 2 OP ). (.3) La (.3) si dic quaion vttorial dlla rtta r. Si ossrvi ch pr ottnr la dscriion (.3) dlla rtta r ci è bastato fissar il punto O non è stato ncssario prcisar s ravamo nl piano o nllo spaio. Supponiamo ora di ssr nl piano sia R = R(O, ~ i, ~ j) un rifrimnto dl piano dov O è il punto ch abbiamo fissato in prcdna. S x y, x2 sono rispttivamnt l coordinat di P,P 2 di un punto arbitrario P di r, allora da (.3) si ha immdiatamnt ch x = x + t(x 2 x ) (.4) y = y + t( y ) pr t 2 R. L (.4) si dicono quaioni paramtrich dlla rtta r passant pr i punti P,P 2. In gnral quaioni paramtrich x = x + lt (.5) y = y + mt l x dov 6= dscrivono una rtta r passant pr il punto l y l parallla al vttor di coordinat ch si dic vttor dirttor di r. m Ottniamo ora l quaion cartsian dlla rtta r passant pr i punti x x2 P,P 2. Dato ch P 6= P 2 allora, ncssariamnt dv ssr 6=, 2 x y y

3 ossia almno una fra x 6= x 2 y 6= dv ssr vra. Supponiamo x 6= x 2. llora, dalla prima quaion di (.4) si ottin t = x x x 2 x quindi, sostitundo nlla sconda quaion di (.4), ottniamo ( y )(x x ) (x 2 x )(y y )= (.6) Lo stssa sprssion si ricava s si suppon y 6=. La (.6)è l quaion cartsiana dlla rtta r passant pr i punti P,P 2. In gnral, dunqu, x l quaion di una rtta r passant pr il punto P di coordinat è dov a 6= b. a(x x )+b(y y )= (.7) Nllo spaio, fissato un rifrimnto R = R(O, ~ i, ~ j, ~ k), si procd allo stsso modo pr ottnr quaioni paramtrich di una rtta. x x 2 2 sono rispttivamnt l coordinat di P,P 2 di un punto arbitrario P di r, allora da (.3) si ha immdiatamnt ch < x = x + t(x 2 x ) y = y : + t( y ) (.) = + t( 2 ) pr t 2 R. L (.) si dicono quaioni paramtrich dlla rtta r passant pr P,P 2. Procdndo in modo analogo a quanto prima, liminando il paramtro t in (.), si ottngono quaioni cartsian pr la rtta. Dato ch P 6= P 2, sgu ch almno una fra x 6= x 2, y 6= 6= 2 dv ssr vra. S si suppon ch x 6= x 2, procdndo com prima, si ottngono l sgunti quaioni cartsian pr la rtta r passant pr P,P 2 : (y2 y )(x x ) (x 2 x )(y y )= (.9) ( 2 )(x x ) (x 2 x )( )= nalogamnt si procd s si assum y 6= o 6= 2. Pr quanto riguarda piani nllo spaio si lavora in modo dl tutto analogo. S O è un piano pr l origin O, siano Q,Q 2 du punti arbitrari di O 3 y

4 prsi in modo ch O, Q,Q 2 non siano allinati. llora un qualunqu altro punto Q giac in O s solo s sistono, sono unicamnt dtrminati, s, t 2 R tali ch OQ = soq + toq. (.) S è un piano arbitrario, siano P,P,P 2 2 tr punti non allinati (vdi Figura.5 pg 442 dl libro di M. bat). S O è il piano passant pr O paralllo a, siano Q,Q 2 2 i punti tali ch ossia tali ch OP + OQ = OP OQ = OP OP OP + OQ 2 = OP 2 OQ 2 = OP 2 OP. Dunqu OQ, OQ 2 sono non allinati quindi s P è un qualunqu punto Q è l unico punto tal ch OP = OP + OQ, usando la (.), si può concludr ch un punto P è giac sulla rtta r s solo s sistono sono unicamnt dtrminati s, t 2 R tali ch OP = OP + s( OP OP )+t( OP 2 OP ). (.) La (.) si dic quaion vttorial dl piano. Fissato un rifrimnto R = R(O, ~ i, ~ j, ~ k), com pr l rtt, è ora smplic ricavar quaioni paramtrich pr il piano. x x x 2 2 sono rispttivamnt l coordinat di P,P,P 2 di un punto arbitrario P di, allora da (.) si ha immdiatamnt ch < x = x + s(x x )+t(x 2 x ) y = y : + s(y y )+t( y ) (.2) = + s( )+t( 2 ) pr s, t 2 R. L (.2) si dicono quaioni paramtrich dl piano. Eliminando i paramtri s, t in (.2) si può ricavar l quaion cartsian dl piano. Facndo i calcoli si trova ch, s si pon < a =(y y )( 2 ) ( y )( ), b = (x : x )( 2 )+(x 2 x )( ) c =(x x )( y ) (x 2 x )(y y ) 4

5 allora un punto P guiac sul piano s solo s l su coordinat soddisfano a(x x )+b(y y )+c( )=. (.3) L quaion (.3) è l quaion cartsiana dl piano ch contin i punti P,P,P 2. 5