Geometria per Fisica e Fisica e Astrofisica

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1 Gomtria pr Fisica Fisica Astrofisica {z } val la proprità associativa? (no) Soluzioni srcizi - Foglio 5 - Buon complanno, Eulro! (300 anni) Esrcizio 1. Nl piano, si considrino i punti A (0,0), B (, 0), C (3,1) D (0,). Siano r 1, r, r 3 d r 4 l rtt passanti, rispttivamnt, pr A B, pr B C, pr C D, pr D d A. Sia E (risp. F) il punto di intrszion di r 1 d r 3 (risp. r d r 4). (a) Scrivr l quazioni cartsian di r 1, r, r 3 d r 4. (b) Dtrminar l coordinat di punti E d F. (c) Dtrminar l coordinat di punti mdi M, N K di sgmnti AC, BD d EF, rispttivamnt. (d) Vrificar ch i punti M, N K sono allinati scrivr l quazion cartsiana dlla rtta ch li contin. Soluzion. (a) L rtta r 1 pr A B ha quazion y = 0. La rtta r pr B C ha quazion (x )/(3 ) = (y 0)/(1 0), ovvro y = x. La rtta r 3 pr C D ha quazion (x 0)/3 0 = (y )/(1 ), ovvro x + 3y = 6. La rtta r 4 pr D d A ha quazion x = 0. (b) Il punto E è l intrszion di di r 1 d r 3, quindi l su coordinat sono soluzion di j y = 0, x + 3y = 6. usto ha soluzion (x, y) = (6, 0), quindi E (6, 0). Il punto F è l intrszion di di r d r 4, quindi l su coordinat sono soluzion di j y = x, x = 0. usto ha soluzion (x, y) = (0, ), quindi F (0, ). (c) In gnral, il punto mdio M di un sgmnto AB ha coordinat x M = xa + xb y M = Dunqu si ha M (3/, 1/), N (1,1) K (3, 1). ya + yb. (d) La rtta pr N K ha quazion (x 1)/(3 1) = (y 1)/( 1 1), ovvro x + y =. Inoltr l coordinat dl punto M soddisfano qusta quazion, quindi anch M appartin a qusta rtta. Allora M, N K sono allinati la rtta ch li contin ha quazion x + y =. * * * Nl piano, si considrino i punti (,0), (0,6) d (1, 1). Ni prossimi srcizi si richid di dtrminar i punti notvoli dl triangolo (baricntro, circocntro, ortocntro, incntro) di vrificar alcuni risultati gnrali ch li riguardano. Esrcizio. Il baricntro G di è il punto di incontro dll tr mdian, nonché il cntro di massa fisico dl triangolo (assumndolo a dnsità uniform). (a) Dtrminar i punti mdi L, M d N di tr lati, (rispttivamnt). (b) Scrivr l quazioni dll tr rtt contnnti l mdian di. (c) Dtrminar l coordinat dl baricntro G di. (d) S l coordinat di,, G sono, risp., (x,y ), (x, y ), (x, y ) (x G, y G), vrificar x G = x + x + x 3 y G = () ust formul valgono pr ogni triangolo dl piano? (Nllo spazio 3 val l ovvia gnralizzazion). y + y + y. 3 1

2 Soluzion. (a) In gnral, il punto mdio M di un sgmnto AB ha coordinat x M = xa + xb Dunqu si ha L (4,3), M (10, 6) N (6, 9). y M = ya + yb. (b) La mdiana N ha quazion (x )/(6 ) = (y 0)/(9 0), ovvro 9x + y 7 = 0, la mdiana M ha quazion y = 6 la mdiana L ha quazion (x 4)/(1 4) = (y 3)/(1 3), ovvro 9x y 1 = 0. (c) G è l intrszion dll mdian, quindi l su coordinat si trovano, ad smpio, risolvndo j 9x + y 7 = 0, y = 6, ch è compatibil con soluzion (0/3, 6). Dunqu G (0/3, 6). (d) Effttivamnt, si ha ( )/3 = 0/3 ( )/3 = 6. () Com è stato già mostrato in uno di fogli prcdnti, qusto fatto è vro in gnral. N N G M C M L L Esrcizio. Esrcizio 3. Esrcizio 3. Il circocntro C di è il punto di incontro di tr assi di, nonché il punto quidistant dai tr vrtici, ovvro il cntro dlla circonfrnza C circoscritta al triangolo. (a) Scrivr l quazioni dgli assi di lati di. (b) Dtrminar il circocntro C di. (c) Calcolar il raggio dlla circonfrnza C circoscritta a. (d) Scrivr l quazion dlla circonfrnza C circoscritta a. Soluzion. (a) L ass di è la rtta prpndicolar a passant pr il suo punto mdio L. In gnral, la rtta prpndicolar ad (a, b) passant pr (x 0, y 0) ha quazion a(x x 0)+b(y y 0) = 0. Allora, poichè la dirzion dlla rtta è data, ad smpio, dal vttor (4, 3), l ass di ha quazion 4(x 4) 3(y 3) = 0, ovvro 4x 3y = 7. Analogamnt, l ass di ha quazion (x 6) + (y 9) = 0, ovvro x + y = 1, l ass di ha quazion (x 10) + 3(y 6) = 0, ovvro x + 3y =. (b) C è l intrszion dgli assi, quindi l su coordinat si trovano, ad smpio, risolvndo il sistma j x + y = 1, x + 3y =, ch è compatibil con soluzion (7, 7). Dunqu C (7, 7). (c) Il raggio r dlla circonfrnza circoscritta è dato, ad smpio, dalla distanza tra i punti C, quindi r = dist(c, ) = p ( 7) + (0 7) = 50 = 5. (d) La circonfrnza C ha quazion (x 7) + (y 7) = 50, ovvro x + y 14x 14y + 4 = 0.

3 Esrcizio 4. L ortocntro H di è il punto di incontro dll tr altzz di. (a) Scrivr l quazioni dll tr rtt contnnti l altzz di. (b) Dtrminar l ortocntro H di. (c) Dtrminar i punti, d, pidi dll altzz di ( è l intrszion di con la prpndicolar a passant pr ; i punti d si dfiniscono in modo analogo). (d) Dtrminar i punti, d, simmtrici di H risptto ai lati, (rispttivamnt). () Vrificar ch i punti, d appartngono alla circonfrnza C circoscritta a. Soluzion. (a) L altzza rlativa alla bas è contnuta nlla rtta prpndicolar a ch passa pr. uindi, in bas all considrazioni fatt nl punto (a) dl prcdnt Esrcizio, la sua quazion è 4(x 1) 3(y 1) = 0, ovvro 4x 3y = 1. Analogamnt, l altzza rlativa a è contnuta nlla rtta di quazion (x 0) + 3(y 6) = 0, ovvro x + 3y = 1, l altzza rlativa a è contnuta nlla rtta di quazion (x ) + (y 0) = 0, ovvro x + y = 16. (b) H è l intrszion dll altzz, quindi l su coordinat si trovano, ad smpio, risolvndo j x + 3y = 1, x + y = 16, ch è compatibil con soluzion (6, 4). Dunqu H (6, 4). (c) Il punto è l intrszion tra la rtta, ch ha quazion (x 0)/(1 0) = (y 6)/(1 6), ovvro x y + 1 = 0, la rtta contnnt l altzza rlativa a, la cui quazion, x + y = 16, è stata calcolata nl punto prcdnt. Allora l coordinat di si ottngono risolvndo il sistma j x y + 1 = 0, x + y = 16, ch è compatibil con soluzion (4,). Dunqu (4,). Analogamnt, l coordinat dgli altri du pidi dll altzz si ottngono risolvndo, rispttivamnt, i sgunti sistmi j 3x y = 4, (rtta ) x + 3y = 1, (prp. a pr ) j 3x + 4y = 4, (rtta ) 4x 3y = 1, (prp. a pr ) ntrambi compatibili con soluzioni, rispttivamnt, (9,3) (4/5, 1/5). Dunqu (9, 3) d 4 5, 1 «. 5 (d) Il simmtrico di H risptto a si ottin considrando ch è punto mdio tra H x = xh + x y = yh + y. usto implica x = x x H = y = y y H = 16 4 = 1, dunqu (,1). Analogamnt, si trovano (1,) x = 4/5 6 = 1/5 y = 1/5 4 = 4/5, ovvro (1/5, 4/5). () Com si vrifica facilmnt, l coordinat di, d soddisfano l quazion di C. C G H H Esrcizio 4. Esrcizio 5. 3

4 Esrcizio 5. I fatti ch si chid di vrificar ni punti (a) (c) sono risultati gnrali dimostrati da Eulro (Solutio facilis problmatum quorundam gomtricorum difficillimorum, 1763). r il documnto original di Eulro si vda Si rimanda al sito pr un intrssant animazion intrattiva riguardant qusti fatti. (a) Vrificar ch il baricntro G, il circocntro C l ortocntro H di sono allinati. (b) Scrivr l quazion dlla rtta pr G, C H (ch vin chiamata rtta di Eulro di ). (c) Vrificar ch G è situato tra C H, a distanza doppia da H risptto a C (GH = GC). Soluzion. (a) icapitolando, si ha G (0/3, 6), C (7, 7) d H (6, 4). Allora ««0 HG = 3 6,6 4 = 3, GC = 7 03 ««1,7 6 = 3,1. uindi HG = GC qusto implica ch G, C d H sono allinati. (b) La rtta di Eulro la ottniamo, ad smpio, com rtta pr H C, quindi ha quazion x = y 4, ovvro 3x y = (c) usto sgu dirttamnt dal fatto ch GH = GC. Esrcizio 6. Dfiniamo l arocntro A di com il punto intrno a tal ch i tr triangoli A, A A abbiano la stssa ara. (a) Dtrminar l arocntro A di. (b) Vrificar ch l arocntro A coincid con uno di punti notvoli introdotti ni prcdnti srcizi. ual? (c) Dir s il fatto ossrvato nl punto (b) val in gnral pr ogni triangolo prchè. Soluzion. Sia A (x A, y A, z A). La condizion Ara(A) = Ara(A) = Ara(A) è quivalnt a A = A = A, ovvro (,6) (x A, y A) = (4, 1) (x A, y A) = (1, 6) (x A, y A 6). icordando l sprssion analitica dl prodotto vttorial, qust divntano 3x A + 4y A 4 = 4 3x A y A 4 = 6 x A y A + 1. (1) Com già ossrvato, la condizion ch il punto A sia intrno a si traduc nll disquazioni 3x A + 4y A 4 0, 3x A y A 4 0 x A y A uindi in (1) possiamo toglir i moduli cambiando sgno al scondo argomnto, ottnndo j (3xA + 4y A 4) = ( 3x A + y A + 4), (3x A + 4y A 4) = 3(x A y A + 1), ovvro j 9xA + y A = 7, 10y A = 60. La sconda quazion dà y A = 6, sostitundo nlla prima, x A = 0/3, dunqu A (0/3, 6). (b) In qusto caso, com si vd, l arocntro A coincid con il baricntro G. Vrifichiamo ch qusto val in gnral, mostrando ch il baricntro G soddisfa l condizioni richist nlla dfinizion di arocntro. Com ricordato nl tsto dll Esrcizio, l coordinat di G sono, rispttivamnt, (x + x + x )/3 (y + y + y )/3. Allora ossrviamo ch G = x + x + x x, 3 «y + y + y y = (x+x x, y+y y) = 1 3 ( + ). Com si vd con una smplic costruzion gomtrica, tutti i punti S tali ch S = λ( + ), con 0 λ 1/, sono contnuti in. In particolar, G è smpr intrno al triangolo. 4

5 Dimostriamo ora la condizion Ara(G) = Ara(G) = Ara(G) = 1 3 Ara(). Mostriamo ch Ara( G) = Ara( )/3, ovvro ch G = /3 (l altr du condizioni si dimostrano in modo simil). Effttivamnt si ha 1 G = 3 ( + 1 ) = 3 ( ) + ( ) = 1 3. Dunqu l arocntro A coincid smpr con il baricntro G. In altri trmini, l condizioni richist nlla dfinizion di arocntro danno una carattrizzazion altrnativa dl baricntro. A G I Esrcizio 6. Esrcizio 7. Esrcizio 7. [Facoltativo i conti sono piuttosto complicati.] L incntro I di è il punto di incontro dll tr bisttrici di, nonché il punto quidistant dai tr lati, ovvro il cntro dlla circonfrnza C inscritta in. (a) Dtrminar l incntro I di, imponndo la condizion ch I sia quidistant dai tr lati. (b) Calcolar il raggio dlla circonfrnza C inscritta in. (c) Scrivr l quazion dlla circonfrnza C inscritta in. Soluzion. (a) L incntro I (x I, y I) è tal ch dist(i,) = dist(i,) = dist(i,), ovvro 3x I + 4y I 4 5 = 3xI yi 4 xi yi + 1 =. () 10 5 Ossrviamo ora ch la condizion ch il punto I sia intrno a si traduc nll disquazioni 3x I + 4y I 4 0, 3x I y I 4 0 x I y I + 1 0, com si vd partndo dall quazioni dll rtt contnnti i lati vrificando ch un punto intrno a, ad smpio C (7, 7), vrifica l tr disquzioni. uindi in () possiamo toglir i moduli cambiando sgno al scondo argomnto, ottnndo il sgunt sistma j 3( + 10)xI + ( 10)y I = 4( + 10), (3 5)x I + ( + 5)y I = 1( + 5). La risoluzion di tal sistma (piuttosto laboriosa), ad smpio con Cramr, porta alla soluzion x I = ( 6.30) y I = ( 5.43) (b) Il raggio dlla circonfrnza C inscritta in è r = dist(i, ) = dist(i, ) = dist(i,) = ( 3.33) (c) L quazion di C è C (x ) + (y ) = 10(9 4 5), ovvro x + y ( )x ( )y + ( ) = 0. Infin ossrviamo ch l incntro non appartin alla rtta di Eulro ma è molto vicino ad ssa, ssndo 3xI yi 14 dist(i,hc) = = ( 0.165). 10 5

6 Esrcizio. Nllo spazio 3, si considrino i punti A (1,0, 0), B (1,0, ), C (0, 1,0), D (, 1,), E (,1, 0), F (0,1, ), G (3,,0), H (3,,) l rtt r 1, r, r 3 r 4 passanti, rispttivamnt, pr A B, pr C D, pr E F, pr G H (vdi figura il solido srv da griglia tridimnsional ). z D B r 1 F H r C r 3 A y r 4 E x G (a) Scrivr l quazioni cartsian paramtrich dll quattro rtt r 1, r, r 3 d r 4. (b) Mostrar ch r 1, r, r 3 d r 4 sono a du a du sghmb. (c) Dtrminar una rtta s passant pr A incidnt l rtt r d r 3. La rtta s è univocamnt dtrminata? (d) Scrivr il gnrico punto (t) dlla rtta r 1, pr ogni valor dl paramtro t, dtrminar la rtta s(t) passant pr (t) incidnt r d r 3. () Nll insim di rtt {s(t) t }, c n è qualcuna incidnt anch r 4? (f) Dai punti (d) d (), ddurr quant quali sono l rtt incidnti l quattro rtt r i. (g) Si considri la suprfici union dll infinit rtt S = [ s(t). t Scrivr l quazion cartsiana di S, ovvro un lgam tra x, y z ch vrificano tutti i suoi punti. (Si può dir subito s si trattrà di un quazion linar?) [Suggrimnto dall quazioni cartsian dlla gnrica rtta s(t), liminar il paramtro t.] (La suprfici S è un iprboloid iprbolico, ovvro un particolar tipo di suprfici quadrica ch sarà studiata più avanti nl corso; ogni suo punto è un punto di slla.) Soluzion. (a) In gnral, pr trovar l quazioni cartsian di una rtta pr du punti ci sono divrs formul, ch funzionano smpr; ma s trovat du quazioni linari indipndnti ch sono soddisfatt dall coordinat di du punti, allora qull sono l quazioni cartsian dlla rtta. La rtta r 1 pr A B ha quazioni cartsian paramtrich, rispttivamnt, r 1 j y = 0, r 1 y = 0, z = t, t. 6

7 La rtta r pr C D ha quazioni cartsian paramtrich, rispttivamnt, r r 3 j x = z, y + 1 = 0, j x + z =, y = 1, r r 3 x = t, y = 1, z = t, t. La rtta r 3 pr E d F ha quazioni cartsian paramtrich, rispttivamnt, r 4 j x = 3, y + z =, r 4 x = t, y = 1, z = t, t. La rtta r 4 pr G d H ha quazioni cartsian paramtrich, rispttivamnt, x = 3, y = t, z = t, t. (b) Un mtodo pr mostrar ch du rtt sono sghmb è qullo di far vdr ch non sono paralll (i loro vttori indipndnti non sono uno multiplo dll altro) ch non sono incidnti (il sistma dll loro quazioni cartsian mss insim non ha soluzioni). Ora i vttori dirttori di r 1, r, r 3 d r 4 sono, rispttivamnt (0,0, 1), (1,0, 1), (1, 0, 1) (0,, 1). usti vttori sono a du a du linarmnt indipndnti (attnzion non stiamo dicndo ch i quattro vttori sono linarmnt indipndnti!), quindi l rtt sono a du a du non paralll. Inoltr s si mttono insim l quazioni cartsian di r 1 d r, ad smpio, si ottin il sistma > > y = 0, x = z, y + 1 = 0, ch è vidntmnt incompatibil. Lo stsso accad pr l altr cinqu intrszioni (l possibili coppi di rtt sono si in tutto). uindi l quattro rtt sono a du a du non incidnti. ossiamo concludr ch l rtt sono a du a du sghmb. (c) La rtta s passant pr A d incidnt r d r 3 è l intrszion di piani α β, dov α è il piano contnnt A d r β è il piano contnnt A d r 3. r trovar il piano α, scriviamo l quazion dl fascio di piani passanti pr la rtta r α λ,µ λ(x z) + µ(y + 1) = 0. Tra qusti piani, qullo ch passa pr A si ottin imponndo ch l coordinat di A soddisfino l quazion. Si ottin λ + µ = 0. Sostitundo µ = λ nll quazion di α λ,µ, si ottin α x y z = 1. r trovar il piano β, scriviamo l quazion dl fascio di piani passanti pr la rtta r 3 β λ,µ λ(x + z ) + µ(y 1) = 0. Tra qusti piani, qullo ch passa pr A si ottin imponndo ch l coordinat di A soddisfino l quazion. Si ottin λ µ = 0. Sostitundo µ = λ nll quazion di β λ,µ, si ottin uindi la rtta s ha quazioni cartsian s β x + y + z = 1. j x y z = 1, x + y + z = 1. Ossrviamo ch la rtta s è univocamnt dtrminata. (d) Il gnrico punto (t) di r 1 ha coordinat (1, 0, t). r trovar il la rtta s(t), procdiamo com nl punto (c). Tra i piani passanti pr r, α λ,µ λ(x z) + µ(y + 1) = 0, qullo ch passa pr (t) si ottin imponndo ch l coordinat di (t) soddisfino l quazion λ(1 t) + µ = 0. 7

8 Sostitundo µ = (t 1)λ nll quazion di α λ,µ, si ottin Tra i piani passanti pr la rtta r 3 α (x z) + (t 1)(y + 1) = 0. β λ,µ λ(x + z ) + µ(y 1) = 0, qullo ch passa pr (t) si ottin imponndo ch l coordinat di (t) soddisfino l quazion λ(t 1) µ = 0. Sostitundo µ = (t 1)λ nll quazion di β λ,µ, si ottin β (x + z ) + (t 1)(y 1) = 0. uindi la rtta s(t) ha quazioni cartsian j (x z) + (t 1)(y + 1) = 0, s(t) (x + z ) + (t 1)(y 1) = 0. () rchè l rtt s(t) d r 4 siano incidnti, il sistma ottnuto mttndo insim l loro quazioni, (x z) + (t 1)(y + 1) = 0, > (x + z ) + (t 1)(y 1) = 0, x = 3, > y + z =, dv ssr compatibil. La matric complta di qusto sistma è t t C = B 1 t 1 1 t A 0 1 Sviluppando il suo dtrminant con Laplac lungo la trza riga, si ottniamo t t dtc = t 1 1 t t t = ( 4t + t 6) + 6 = 4t(t ). uindi la matric C è singolar s solo s t = 0 t =. In qusti du casi la matric di cofficinti la matric complta dl sistma hanno ntramb rango 3, dunqu il sistma ammtt sattamnt una soluzion. S invc t 0 t, i ranghi dll du matrici sono divrsi il sistma non ammtt soluzioni. Dunqu, tra l rtt dll insim {s(t) t }, c n sono du incidnti anch r 4 sono qull corrispondnti ai paramtri t = 0 t =, rispttivamnt di quazioni j x y z = 1, x y + z = 1, j x + y z + 1 = 0, x + y + z = 3. (f) r quanto ossrvato ni punti prcdnti, possiamo concludr ch l du rtt trovat in () sono l unich rtt incidnti l quattro rtt r 1, r, r 3 d r 4. (g) Eliminiamo il paramtro t dall quazioni cartsian dlla gnrica rtta s(t). Dalla prima dalla sconda quazion ottniamo, rispttivamnt, 1 t = x z y t = x + z y 1 Dal confronto di qust du quazioni ottniamo l quazion dlla suprfici S richista x z y + 1 = x + z, ovvro (x z)(y 1) = (x + z )(y + 1). y 1 otvamo dir fin da subito ch si sarbb trattato di un quazion non linar, sapndo ch l quazioni linari nllo spazio rapprsntano piani.

9 Esrcizio 9. Con rifrimnto all srcizio, vogliamo calcolar la distanza tra l rtt r d r 4. (a) Scrivr il fascio di piani passanti pr r. (b) Dtrminar il piano α contnnt r paralllo ad r 4. (c) Calcolar la distanza di un punto qualsiasi di r 4 da α (dipnd dalla sclta dl punto?) icordiamo ch, dati un punto 0 (x 0, y 0, z 0) un piano α ax + by + cz + d = 0, la distanza di 0 da α è data dalla formula d 0 α = ax0 + by0 + cz0 + d pa + b + c. (d) A partir dal punto (c), con opportun considrazioni gomtrich, dtrminar, snza far conti, la distanza tra l rtt r d r 4. Soluzion. (a) icordiamo ch la rtta r ha quazioni cartsian paramtrich, rispttivamnt, r j x = z, y + 1 = 0, Il fascio di piani passanti pr r ha quazion r x = t, y = 1, z = t, t. α λ,µ λ(x z) + µ(y + 1) = 0, ovvro α λ,µ λx + µy λz + µ = 0 (b) Il gnrico piano α λ,µ dl fascio è prpndicolar al vttor (λ, µ, λ). La rtta r 4 ha la dirzion dl vttor (0,,1). Allora il piano α λ,µ è paralllo ad r 4 s solo s i du vttori (λ,µ, λ) (0,, 1) sono ortogonali, ovvro s solo s µ λ = 0. Sostitundo λ = µ nll quazion di α λ,µ si ottin l quazion cartsiana dl piano α contnnt r paralllo ad r 4 α x y z = 1. (c) Un punto di r 4 è ad smpio, 0 (3,, 0). La distanza di 0 da α è d 0 α = p = 3 3 = 1. Essndo il piano α paralllo alla rtta r 4, tal distanza non dipnd dalla sclta dl punto 0. (d) La distanza tra l rtt r d r 4 è pr costruzion ugual alla distanza d 0 α. uindi d r r 4 = d 0 α = 1. Esrcizio 10. Siamo smpr in 3, in una stanza ch ha com pavimnto il piano xy com parti i piani xz yz. Dal pavimnto part un piano inclinato, passant pr i tr punti (0,1, 0), (0, 3,) B (4, 3,0) (vdi figura). Sulla part xz c è una finstra, dlimitata dall rtt vrticali x = 1 x = 4 dall rtt orizzontali z = 1 z = 3. Dalla finstra ntrano i raggi dl sol, tutti parallli tra loro, ch proittano sul pavimnto sul piano inclinato la sagoma dlla finstra. I raggi dl sol hanno un inclinazion tal ch il vrtic A (4,0,1) dlla finstra vin proittato nl punto A (4,,0) dl pavimnto. Sia F l insim di punti dlla finstra d F l insim di punti dlla sua ombra. (a) Dscrivr con una formula l insim F. (b) Scrivr l quazion cartsiana dl piano inclinato. (c) Calcolar l angolo tra il pavimnto il piano inclinato. (d) Dtrminar tutti i punti indicati sul bordo dlla finstra l corrispondnti proizioni. Soluzion. (a) L insim F si può scrivr F = {(x,0, z) 3 1 x 4 1 z 3}. 9

10 z D C F E D B A F E y C x A B (b) Il piano inclinato α passant pr i punti (0,1, 0), (0,3, ) B (4,3, 0) ha quazion 0 x y 1 z A = 0, ovvro x y + z + = (c) Il piano inclinato α è prpndicolar al vttor (1,, ), mntr il pavimnto è prpndicolar al vttor (0,0, 1). uindi l angolo ϕ tra i du piani è ugual all angolo tra i du vttori si ha Allora ϕ = arccos(/3). cos ϕ = (1,, ) (0, 0,1) (1,, ) (0, 0,1) = 3. (d) I punti A, C, D E sono i vrtici dl rttangolo F d hanno coordinat r C A (4,0, 1), C (4, 0,3), D (1, 0,3) (1, 0,1). Il punto A (4,,0) è dato nl tsto dll srcizio. I raggi dl sol hanno tutti la stssa dirzion, ch è la dirzion dl vttor AA = (0,, 1) (o è mattina, o è sra, o è giorno ma siamo molto a nord d invrno o molto a sud d stat!) I raggi ch toccano i punti C, D d E hanno, rispttivamnt, quazioni paramtrich x = 4, y = t, z = 3 t, t, r D y = t, z = 3 t, L corispondnti quazioni cartsian sono, rispttivamnt t, r E y = t, z = 1 t, t. r C j x = 4, y + z = 6, r D j y + z = 6, r E j y + z =. I punti C, D d E sono l intrszioni di qust tr rtt con il piano inclinato α, quindi l loro coordinat si trovano risolvndo, rispttivamnt, i sistmi x = 4, y + z = 6, x y + z + = 0, y + z = 6, x y + z + = 0, y + z =, x y + z + = 0. isolvndo tali sistmi si ottin C (4,4,1), D (1,3, 3/) d E (1, 5/3, 1/6). sta da dtrminar i punti B, F, B d F. I punti B d F sono l intrszioni dlla rtta r, intrszion dl pavimnto con il piano inclinato α, con l proizioni sul pavimnto di lati AC d AE dlla finstra. La rtta r ha quazioni cartsian j x y + z + = 0, r z = 0. 10

11 La proizion sul pavimnto dlla rtta AC ha quazioni x = 4 z = 0, mntr la proizion dlla rtta AE ha quazioni y = z = 0. Dunqu B d F si trovano, risp., risolvndo i sistmi > > > r B x y + z + = 0, z = 0, x = 4, z = 0, > x y + z + = 0, z = 0, y =, z = 0. isolvndo i sistmi si ottin B (4,3, 0) d F (,,0). I raggi di sol passanti pr B d F hanno, rispttivamnt, quazioni paramtrich x = 4, y = 3 + t, z = 0 t, t, r F L corrispondnti quazioni cartsian sono, rispttivamnt, x =, y = + t, z = t. t. r B j x = 4, y + z = 3, r F j x =, y + z =. Infin, i punti B d F sono l intrszioni di qusti du raggi con il piano xz, ch ha quazion cartsiana y = 0. Dunqu l loro coordinat si ottngono risolvndo i sistmi x = 4, y + z = 3, y = 0, x =, y + z =, y = 0. isolvndo qusti sistmi, si ottin B (4, 0, 3/) d F (, 0, 1). 11