Algoritmi e Strutture Dati II: Parte B Anno Accademico Lezione 6

Transcript

1 Algoritmi Struttur Dati II: Part B Anno Accadmico Docnt: Ugo Vaccaro Lzion 6 Nlla lzion scorsa abbiamo introdotto una tcnica basata sulla PL pr il progtto di algoritmi di approssimazion. Essnzialmnt, la tcnica è composta da tr passi.. Formular il problma com problma di PL a vincoli intri; 2. Rilassar il vincolo di intrzza ottnr un normal problma di PL, risolubil in tmpo polinomial; 3. Usar la soluzion ottima al problma rilassato pr ottnr in tmpo polinomial una soluzion ammissibil al problma di PL a vincoli intri. La soluzion al problma con vincoli intri dovrà ssr tal da avr un valor prossimo al valor ottimo dl problma rilassato. Considrando ad smpio un problma di ottimizzazion di minimo con OP T R pari al valor dlla soluzion ottima al problma rilassato, s fossimo in grado di trovar una soluzion al problma di PL con vincoli intri di valor SOL pari al piú a αop T R, allora avrmmo immdiatamnt ottnuto un algoritmo di approssimazion con fattor di approssimazion pari ad α. Infatti, sappiamo ch val la rlazion OP T R OP T =valor dlla soluzion ottima al problma di PL con vincoli intri. La part complssa dlla procdura sopra sposta è ovviamnt il passo 3. Nlla lzion scorsa abbiamo visto com sso possa ssr implmntato, in alcuni casi, arrotondando a valori intri l componnti dlla soluzion ottima al problma rilassato. Com ffttuar l arrotondamnto dipnd criticamnt dal problma in qustion. In qusta lzion vdrmo un critrio abbastanza gnral su com ffttuar l arrotondamnto. Supponiamo di avr a disposizion una funzion random ) cosí dfinita: random:p [0, ] randomp) {0, } randomp) = con probabilità p randomp) = 0 con probabilità p. La tcnica in qustion pr convrtir una soluzion ottima al problma di PL rilassato in una buona soluzion al problma di PL a vincoli intri è la sgunt

2 Arrotondamnto probabilistico. Formula il problma in sam mdiant un sistma di PL a vincoli intri con variabili x i {0, } nlla funzion obittivo. 2. Rilassa il problma, risolvilo ottimalmnt siano x i [0, ] i valori dl vttor ottimo di soluzion. 3. Assgna valori intri all variabili x i nl modo sgunt if randomx i ) = thn x i ; ls x i 0. In altri trmini, intrprtiamo i valori x i com probabilitá di porr l variabili x i a 0 oppur a nl sistma di PL a vincoli intri. Il passo succssivo consist nllo stimar di quanto il valor dlla soluzion intra si discosta da OP T R. Applichiamo qusta tcnica al problma dl St Covr. Ricordiamo il problma SET COVER Input: insim U = {,..., n }, famiglia S = {S,..., S m }, con S i U, pr i =,..., m; funzion costo c : S S cs) R + ; Output: sottofamiglia S S di costo cs ) = S S cs) minimo tal ch S S S U. la sua formulazion via PL a vincoli intri minimizzar xs)cs) ) soggtto a S S S:u S xs) u U 2) xs) {0, } S S. 3) la corrispondnt vrsion rilassata dl problma di PL minimizzar xs)cs) 4) soggtto a S S S:u S xs) u U 5) xs) [0, ] S S. 6) 2

3 Sia x = xs ),..., xs m )) una soluzion ottima al problma rilassato 4). In accordo allo schma di algoritmo prima nunciato, costruiamo una possibil soluzion intra al sistma ), ponndo la i-sima variabil a con probabilità pari al valor xs i ), d a 0 con probabilità pari a xs i ). In altri trmini, stiamo costrundo una possibil soluzion S S al problma dl St Covr insrndo l insim S i in S con probabilità pari a xs i ), pr ogni i =,..., m. Di consgunza, il costo mdio E[cS )] dlla soluzion S S è : E[cS )] = S S cs)p r{s sia stato insrito in S } = S S cs)xs) = OP T R. Stimiamo ora la probabilitá ch S sia ffttivmnt un covr, ovvro stimiamo la probabilitá ch valga l vnto U S S S. Dato un gnrico u U, siano S i,..., S i tutti solo gli lmnti di S ch contngono u. Avrmo allora P r{u sia coprto da S } = P r{u non sia coprto da S } = P r{nssun insim S ij, j =,..., è stato insrito in S } = P r{s i non è stato insrito in S }... = xs i )) xs i2 ))... xs i )). Ricordiamo ora ch i valori xs i ), xs i2 )... xs i ) soddisfano la condizion xs ij ), j=... P r{s i non è stato insrito in S } ció in quanto gli insimi S i, S i2,... S i sono tutti qulli solo ch contngono u U, prtanto i valori xs i ), xs i2 )... xs i ) soddisfano la 5). Sotto tal ipotsi, farmo vdr ch xs i )) xs i2 ))... xs i )) ). 7) Pr il momnto, assumiamo ch la disguaglianza di sopra valga, prtanto abbiamo ch dov abbiamo usato il fatto ch P r{u sia coprto da S } ), lim ) =, d inoltr ) )

4 Abbiamo quindi ottnuto ch P r{u non sia coprto da S }. Riptiamo d log n volt l sprimnto casual di scglir S in accordo all probabilitá xs i ), dov d è sclto in modo tal ch /) d log n /4n). In altr parol, costruiamo indipndntmnt l una dall altra d log n sottofamigli S,..., S d log n, dov la probabilitá ch il gnrico insim S i S vnga insrito nlla gnrica sottofamiglia S t, è smpr xs i ), pr ogni i =,..., m pr ogni t =,..., d log n. Sia infin C = S... S d log n. Dato un gnrico lmnto u U, avrmo ch P r{u non è coprto da C} = P r{u non è coprto da nssun S i, i =,..., d log n} = d log n i= d log n i= 4n P r{u non è coprto da S i } ) pr com abbiamo sclto d) Di consgunza, la probabilitá ch C non sia un covr pr U è P r{c non è un covr pr U} = P r{u i non è coprto da C, pr qualch i =,..., d log n} n P r{u i non è coprto da C} i= n i= Inoltr, il costo mdio E[cC)] di C soddisfa E[cC)] = 4n = 4 d log n i= E[cS i)] d log nop T R, dov abbiamo usato il fatto ch la mdia di una somma di variabili casuali è la somma dll mdi dll singol variabili casuali. Ricordiamo ora la disguaglianza di Marov, la qual affrma ch data una variabil casual X, con mdia E[X] d un valor t, val: P r{x t} E[X]. t Applicando la disguaglianza di Marov alla variabil casual cc), con t = 4d log nop T R, ottniamo E[cC)] P r{cc) 4d log nop T R } 4d log nop T R 4. 4

5 Mttndo tutto insim possiamo valutar la probabilitá dgli vnti a noi sfavorvoli, ovvro ch C non sia un covr o ch C abbia un costo > 4d log nop T R. Avrmo quindi P r{c non è un covr pr U oppur abbia costo cc) 4d log nop T R } P r{c non è un covr pr U} + P r{cc) 4d log nop T R } = 2 Di consgunza, la probabilitá ch l algoritmo ci dia l output ch noi dsidriamo, ovvro ch C sia un covr ch contmporanamnt abbia un costo 4d log nop T R è pari a mno la probabilità di sopra, ovvro è almno /2. Quindi, la probabilitá ch l sclt casuali ffttuat dall algoritmo abbiano prodotto un covr di U di costo total 4d log nop T R è almno /2. Ciò implica ch il numro mdio di volt ch dobbiamo sguir l algoritmo pr avr il covr di U ch dsidriamo, ovvro di di costo 4d log nop T R, è al piú 2. Qusto conclud la prova ch l arrotondamnto probabilistico produc un St Covr di U di costo Olog n)op T R = Olog n)op T, quindi confrontabil con il costo dlla soluzion prodotta dall algoritmo grdy ch, ricordiamo, ra limitato supriormnt da log n + )OP T. Prova dlla disguaglianza di Marov pr variabili casuali discrt. Supponiamo ch la variabil casual X assuma al piú n valori. Si ha E[X] = n P r{x = } = n P r{x = } t =t n P r{x = } = tp r{x t}. Prova dlla 7). Vogliamo massimizzar i=0 x i ) sotto il vincolo ch i=0 x i. Si ha Ovvro, log x i ) = log x i ) i=0 i=0 log x i ) dalla disguaglianza di Jnsn) i=0 = log i=0 x i ) log = log ). log x i ) log i=0 =t ) = log ), il ch è prfttamnt quivalnt a ciò ch intndvamo provar. 5

6 Nl rsto di qusta lzion applichrmo la tcnica dll arrotondamnto probabilistico al problma dl MaxSat. MAX SAT Input: n variabili boolan x,..., x n m clausol C,..., C m, dov ogni C i è un OR di lttrali, ovvro C i = α i... α i, d ogni α ij è una qualch variabil boolana x s od un suo ngato psi wc i ) 0 pr ogni clausola C i Output: un assgnamnto di valori di vrità VERO/FALSO all x i ch massimizzi la somma di psi dll clausol C i soddisfatt. Ricordiamo i 3 passi costitunti la tcnica dll arrotondamnto probabilistico, d applichiamoli a MaxSat. Passo. Modlliamo MaxSat con il sgunt problma di PL a variabili intr, in cui introduciamo una variabil zc) pr ogni clausola C, d una variabil y i pr ogni variabil boolana x i. Il significato dll variabili zc) y i è il solito C zc) = i y i = { s C è soddisfatta, 0 s C non è soddisfatta, { s xi ha valor di vrità VERO, 0 s x i ha valor di vrità FALSO. Inoltr, pr ogni clausola C, sia I + C) l insim dgli indici i dll variabili boolan x i ch compaiono in C in forma non ngata, sia analogamnt I C) l insim dgli indici j dll variabili boolan x j ch compaiono in C in forma ngata. Prtanto, la clausola C è soddisfatta s solo s almno una dll variabili x i con i I + C) assum valor VERO, oppur almno una dll variabili x j con j I C) assum valor FALSO. Ricordando l dfinizioni dll variabili zc) y i, avrmo ch zc) = s solo s almno una dll variabili y i con i I + C) assum valor, oppur almno una dll variabili y i con i I C) assum valor 0. Avrmo allora il sgunt sistma di PL ch formalizza il problma MaxSat. massimizzar soggtto a wc)zc) 8) C i I + C) y i + i I C) y i ) zc) C 9) y i {0, } i 0) 0 zc) C. ) 6

7 Passo 2. Rilassa i vincoli y i {0, }, i a 0 y i, i. Passo 3. Applicando la tcnica dll arrotondamnto probabilistico ottniamo il sgunt algoritmo Arrotondamnto probabilistico pr MAX SAT Risolvi il sistma 8), sia y, z ) la soluzion ottima for i to n do if randomy i ) = x i ls x i 0 In altri trmini, nl prcdnt algoritmo intrprtiamo ciascun valor yi com la probabilità di porr la variabil boolana x i ad ovvro, a valor TRUE). Pr dfinizion, avrmo ch la clausola C non sarà soddisfatta s solo s tutt l variabili con indici in I + C) sono stat post a valor 0 tutt l variabili con indici in I C) a valor. Abbiamo quindi P r{c soddisfatta } = P r{c non soddisfatta } = yj ) yj. 2) j I + C) j I C) Pr valutar in manira prcisa la sprssion 2) abbiamo bisogno di alcuni risultati intrmdi. Supponiamo di avr un insim di numri S, con S =, sia data una partizion di S in du insimi A, B S, con A B = S, A B =. Supponiamo ch valga b) z, 3) pr qualch numro z. Allora val anch a + z a + b) = + b) = a) + + b) = a) + b. Ricordando la disguaglianza tra la mdia aritmtica gomtrica, ch ci dic ottniamo z i= β i ) β i, β i, i= a) + b 7 a) b,

8 ovvro z ) a) b. Ritorniamo al nostro problma originario d applichiamo i risultati appna ottnuti. Abbiamo ch P r{c soddisfatta } = j I + C) z C) ) z C), y j ) ) j I C) dov è il numro di variabili nlla clausola C. Possiamo ossrvar ch pr valori di x comprsi tra 0 d la curva di quazion /) x è smpr maggior dlla rtta di quazion /)x vdi figura). y j /)x / /) x Prtanto P r{c soddisfatta } ) z C). Il costo mdio dlla soluzion prodotta dall algoritmo, ovvro il valor mdio E dlla somma di psi dll clausol soddisfatt in consgunza dll assgnamnto di valori di vrità sopra dfinito sarà quindi E = P r{c soddisfatta }wc) C ) wc)z C) C = ) OP T R ) OP T. 8

9 Concludndo, l algoritmo basato sulla tcnica dll arrotondamnto probabilistico produc una soluzion ch si discosta da qulla ottima di un fattor moltiplicativo pari a /). Ci limitiamo qui a mnzionar ch molti dgli algoritmi ottnibili con la tcnica dll arrotondamnto probabilistico possono ssr drandomizzati, ovvro possono ssr trasformati in algoritmi compltamnt dtrministici, snza alcuna prdita di prformanc. 9