E facile verificare che esistono le seguenti due relazioni equivalenti tra queste tre medie. = b (1)

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1 Note Tvol. Medi geometric e rmonic Nel Libro V degli Elementi di Euclide viene espost l teori generle delle proporzioni che fu pplict molti cmpi dell mtemtic come: l geometri, l ritmetic e nche ll music. Molto prim di Euclide, Pitgor ottenne d tre numeri, b, c con <c, ben 0 relzione in cui b er definit come medi di e b. Le tre medie più importnti erno ) (b-)/(c-b)=/ d cui b=(c+)/ che è l medi ritmetic (b ); ) (b-)/(c-b)=/b d cui b = c che è l medi geometric (b g ); 3) (b-)/(c-b)=/c d cui b= c /(c+) che è l medi rmonic (b r ); E fcile verificre che esistono le seguenti due relzioni equivlenti tr queste tre medie b b = c b b = b () r r g L prim e second relzione dell (), scritte sotto form di proporzioni diventno : b = br : c b : bg = bg : br Inoltre, dll relzione dell medi geometric si h l proporzione :b=b:c Su quest ultim proporzione si bs un costruzione grfic per il clcolo dell medi geometric tr due numeri. Nel Libro III dell Collezione di Pppo, fu presentt un costruzione grfic per il clcolo delle medie ritmetic, geometric e rmonic entro un unico semicerchio. Fig. : Medi ritmetic, geometric ed rmonic Si AB=c, BC=, e O è il punto medio di AC=c+. Se si trcci un semicerchio di centro O e rggio OA e d B si trcci l verticle fino d incontrre il semicerchio nel punto D, si h che le lunghezze dei segmenti OD, BD e DE misurno, rispettivmente, l medi ritmetic, geometric e rmonic dei numeri (c,). L medi ritmetic è per costruzione ugule OD, che è il rggio del semicerchio. Il tringolo ADC è rettngolo e i due tringoli ADB e BDC sono simili per cui DB = AB BC = c DB = bg = c

2 Se si consider l similitudine tr i tringoli ODB e EDB si h DB = ED OD ED = b / b ED = b g r Se il vlore di =, l misur di DB è ugule ll rdice qudrt di c. Per c>> e per ridurre gli errori grfici nel clcolo dell su rdice qudrtsi si può ssegnre d un vlore, di cui si conosce l rdice qudrt, vente lo stesso ordine di grndezz di c, per cui si h DB = c = R c c = DB / R Un ltro metodo per ridurre gli errori grfici è scomporre c in due fttori c=c *c, dove c e c hnno lo stesso ordine di grndezz. In Fig. è riportt l costruzione grfic per il clcolo dell rdice qudrt di 50. Abbimo posto =00, e si è ottenuto il vlore di,47/0=,47, che ovvimente coincide col vlore clcolto numericmente, perché l errore grfico dell costruzione è molto piccolo. In Fig. bbimo clcolto grficmente nche l medi rmonic tr c=50 e =00, ottenendo il vlore preciso di 0. Fig. : Clcolo grfico delle medie geometric, rmonic e rdice qudrt di un numero Fig. 3: Rdice qudrt di c=50=5*0. Divisione rmonic di un segmento AB L divisione rmonic di un segmento consiste nel trovre un suo punto interno C ed un punto esterno D, situto sul prolungmento del segmento, tle che si soddisftto il rpporto AC CB AD = = () BD Esistono infiniti punti C e D che soddisfno tle rpporti, inftti se per semplicità indichimo con x=ac e y=ad dll () si h

3 x x( y AB) = ( AB x) y y = AB () x AB Se si fiss il punto C llor il punto dll () è univocmente determinto e vicevers. Per un scelt di x si h che il rpporto dell () è dto d x = AB x Dll () si osserv che se si consider il segmento CD si h che il punto interno B e quello esterno A lo dividono rmonicmente con lo stesso rpporto. Se si fiss, l divisione rmonic è univocmente determint perché si h x = AB e y = AB + Un costruzione grfic che permette di determinre i punti rmonici di un segmento si bs sull Prop. 3 del VI Libro degli Elementi ( Euclide). Tle proposizione dimostr che in un tringolo ABP l bisettrice dell ngolo APB intersec il lto AB in C, tle che AC AP = = CB BP Se si trcci l bisettrice nche dell ngolo supplementre esterno BPE, si h che ess intersec il prolungmento di AB in D, tle che AD AP = = BD BP pertnto dll () si h che i punti C e D sono i punti rmonici di AB. Un costruzione grfic che permette di determinre i punti rmonici di un segmento si bs sull Prop. 3 del VI Libro degli Elementi ( Euclide). Tle proposizione dimostr che in un tringolo ABP l bisettrice dell ngolo APB intersec il lto AB in C, tle che E P A C B Fig. Costruzione grfic dei punti rmonici Ce D del segmento AB Se si ssegnno il segmento e il rpporto, occorre costruire il tringolo ABP, dove AP=BP e fcendo in modo d soddisfre l relzione sui lti di un tringolo AP+BP>AB. ) Birpporto di Pppo Nell proposizione 9 del libro VII dell Collezione di Pppo, pprve per l prim volt l invrinz del birpporto, ottenuto d un rett che tgli ltre quttro rette convergenti verso un punto. Sino dte quttro rette convergenti in P, e sino P,P,P 3 e P 4 i punti di intersezione con l rett, si h che per qulsisi ltr rett è costnte il birpporto D 3

4 P P3 P P 3 P P4 : P P 4 = E possibile esprimere l invrinz del birpporto nche in ltri modi come P P P P 3 P P4 : P P 3 4 = P b P P P3 P4 Pertnto se i punti P e P 4 sono punti rmonici del segmento P P 3 si h che =. P P P P3 P4 A C B Utilizzndo l invrinz del birpporto è possibile ottenere i punti rmonici di un segmento se sono dti i punti rmonici di un ltro segmento. Sino C e D i punti rmonici del segmento AB, e P P 3 un segmento di cui si vogliono conoscere i suoi due punti rmonici. Si trcci picere un rett cui pprtiene il segmento P P 3, e le rette per i punti A, P e B, P 3 che si intersecno in P. Si trccino le rette CP e DP, che intersecno l rett, rispettivmente, in P e P 4. Ebbene per l invrinz del birpporto i punti P e P 4 sono i punti rmonici del segmento P P Cerchio di Apollonio Apollonio di Perg ( III Sec.C.) fu uno dei più grndi geometri greci, il cui trttto più fmoso fu le Coniche, che per circ 800 nni fu ritenuto il trttto più completo scritto sulle coniche. Apollonio definì il cerchio nche come luogo di punti le cui distnze tr due punti fissi stnno in un ssegnto rpporto. D 4

5 Se si consider l costruzione dei punti rmonici si osserv che il rpporto delle distnze del punto P d A e B è ssegnto, e le due bisettrici trccite d P sono tr di loro perpendicoli, dunque il tringolo CPD è un tringolo rettngolo in P. Se si costruisce un differente tringolo ABP con lo stesso rpporto sui lti, cioè AP=BP, si h che i punti rmonici sono sempre C e D, come srà ncor rettngolo il nuovo tringolo CPD. Ebbene, dll proprietà dei tringoli rettngoli inscritti in un semicerchio ne consegue che il luogo dei punti di P è un cerchio, vente dimetro CD. Tle cerchio viene indicto come cerchio di Apollonio. Se si risolve nliticmente il problem e per semplicità si ssume il punto A come origine del sistem crtesino e B=(x B,0) si h x + y = [( x xb ) + y ] x + y x xb = x B che è l equzione di un cerchio, i cui centro e rggio sono x0 = xb, R = x B Questo cerchio intersec l sse x nei punti C e D che hnno scisse C = x0 R = xb, D = x0 + R = xb + Pertnto, le distnze dei segmenti CB e BD sono CB = xb, BD = xb + E fcile di nuovo verificre che i punti C e D sono i punti rmonici del segmento AB. Per trccire il cerchio di Apollonio per un ssegnto e due punti A e B, si costruiscno i punti rmonici del segmento AB, sino essi C e D. Il cerchio di Apollonio vrà come centro il punto medio del segmento CD e dimetro ugule CD. Un interessnte ppliczione del cerchio di Apollonio può essere quell di risolvere il seguente problem: Sino A e B due nvicelle nello spzio che hnno un moto rettilineo uniforme con un certo rpporto > tr le velocità V A =V B. Not l distnz tr A e B, e l direzione dell nvicell B, qule direzione deve vere A per poter incontrre B. Il loro punto di incontro srà situto sul cerchio di Apollonio, per cui se è l inclinzione dell triettori di B sull rett AB, l nvicell A deve vere un triettori vente inclinzione b sull rett AB dt d sin β = sin( π α ) 5. Trisettrice di Ippi Ippi di Elide fu un geometr che visse d Atene nell second metà del V secolo.c. e cercò di risolvere con rig e compsso il problem dell trisezione di un ngolo. Egli trccio un curv ottenut dll intersezione tr un rett orizzontle che trsl in modo uniforme e un rett che ruot nche ess in modo uniforme. Se OA l rett che ruot ttorno d O e AB l rett che trsl, si deve vere che qundo l rett OA ruot di 90 l rett AB è trslt fino d OC. Pertnto per ottenere i punti dell curv occorre dividere l ngolo COA=90 in un numero di ngolo uguli, e il segmento OA in uno stesso numero di intervlli. Si N il numero delle suddivisioni e se si numer prtire d A si gli intervlli tr OA e si gli ngoli, si h che l intersezione tr le corrispondenti rette di trslzione e rotzione determinno i punti dell trisettrice di Ippi. 5

6 Un modo per clcolre l equzione nlitic dell trisettrice è risolvere il problem dell intersezione tr un rett orizzontle che si spost in senso verticle con moto uniforme e l rett pssnte per l origine che ruot con moto uniforme ttorno ll origine. Nelle condizioni inizili l rett orizzontle pss per A ed è dt d AB, mentre l rett che ruot pss per OA. Qundo l rett AB si sovrppone OC nche l rett OA ruot di 90 e si sovrppone nche ess OC. In Fig. è riportt l costruzione. Fig. : Trisettrice di Ippi Se indichimo con =OA e con t il prmetro che rppresent il movimento delle due rette si h π y = ( t) y = xtg( α ) dove α = ( t) dove è l inclinzione dell rett che ruot rispetto ll sse x. Dll prim equzione si h π y t = y/ che sostituito nell second equzione y=y(x) ci d y= x tg Per clcolre l intersezione dell curv con l sse x occorre considerre il limite per y 0, perché per y=0 il vlore di x non è definito x = y πy tg( ) y dy / dy x = lim = lim = lim y 0 tg( πy / ) y 0 d( tg( πy / )) / dy y 0 ( π / ) cos / = ( πy / ) π Pertnto il segmento OG è un misur di p, di ciò si rese conto nche Menecmo (350.C.), che fu mestro di Alessndro Mgno, che l curv di Ippi potev essere utilizzt nche per risolvere l ltro grnde problem dell geometri grec, che er quello dell qudrtur del cerchio. Inftti, l trisettrice di Ippi viene nche indict come qudrtrice di Ippi. Purtroppo l curv di Ippi non veniv costruit con rig e compsso, per cui i due problemi dell qudrtur del cerchio e dell trisezione di un ngolo non furono risolti con rig e 6

7 compsso. Solo nel XIX secolo Guss dimostrò che questi due problemi non potevno essere risolti con rig e compsso. 6. Sezione Aure I primi ben documentti studi sulle proprietà geometriche dell sezione ure, che pprvero mgiche ed esoteriche, furono di Pitgor ( C.), l cui Scuol vev per motto Tutto è numero. Le digonli del pentgono permettono di definire diversi tringoli isosceli, che risultno simili tr di loro, in prticolre se si considerno i tringoli simili AA B e BDE si h BE BA DE BA = = () AA A E B 36 A A E' O D' C E D Figur : Pentgono stellto Se si consider l digonle AD del pentgono si osserv che ess divide l digonle BE in due segmenti BA e A E tli che il rpporto tr l digonle e il segmento mggiore BA è ugule l rpporto tr il segmento mggiore e il minore A E. L precedente costruzione permette di dividere un line in medi ed estrem rgione e il segmento mggiore BA viene indicto come sezione ure dell line BE. Se indichimo con d 0 l lunghezz dell digonle e con x l su sezione ure, il vlore di x è dto dll soluzione lgebric dell equzione di secondo grdo d0 x x ( ± 5) = d 0 = x + x d0 = d0 d cui x = () d0 x d Per BE =d 0 = si h che un soluzione dell () è ugule BA =d = , mentre l ltr soluzione in vlore ssoluto è /BA = Spesso in lettertur il numero irrzionle rppresentto d /BA è indicto con F in onore dello scultore Fidi, che fu tr i primi utilizzre tle numero nelle proporzioni delle sculture decortive del Prtenone. Se si nlizzno le dimensioni e proporzioni del Prtendone si const che i suoi progettisti (Ictino e Cllicrte), pur conoscendo le proprietà dell sezione ure perché il Prtenone fu costruito verso gli nni 440.C., non l utilizzrono come criterio di progetto. Alcune volte si indic come sezione ure il vlore di f =BA = /F, mentre spesso i mtemtici indicno con t (tglio) l sezione ure. 7

8 Euclide, nelle Proposizioni (Libro II) e 30 ( Libro VI) degli Elementi, propose un metodo grfico per l soluzione dell () e iterndo l costruzione grfic ottenne dei rettngoli urei, i cui rpporti tr il lto mggiore e quello minore er ugule F. Se si considerno gli ngoli dell Figur è possibile trovre un relzione tr l sezione ure e un ltro importnte numero irrzionle che è p. Inftti, si h che l ngolo EBD=36 =p/5, per cui se si pone BE= si h ED=ϕ= sin(p/0) Pertnto, in un tringolo isoscele, i cui ngoli sono (7,36,7 ), il rpporto tr il lto e l su bse è ugule ll sezione ure, tle tringolo è detto ureo. Se si consider un decgono regolre inscritto in un circonferenz di rggio R, l lunghezz del suo lto è ugule l 0 = R sin( π /0) = R ϕ (4) per cui il rpporto tr il rggio dell circonferenz e il lto del decgono inscritto risult essere ugule F. Mentre, il lto e l digonle di un pentgono regolre e il rggio dell su circonferenz circoscritt sono legte dlle seguenti relzioni l 5 = d0 ϕ d0 = Rcos( π /0) l5 = ϕ R cos( π /0) Tenuto conto che il lto di un esgono è ugule l rggio dell circonferenz circoscritt l 6 = R, si h dlle precedenti equzioni che l + l = l = R (3 ) (5) Φ per cui i lti di un decgono, esgono e pentgono iscritti in un circonferenz di rggio R sono i lti di un tringolo rettngolo. Tle teorem fu dimostrto d Euclide nell Proposizione 9 del Libro XIII. Un soluzione grfic che permette di clcolre l sezione ure di un line è riportt nell prte superiore dell Fig.,dove OA 0 =d 0 è l line dt. Se si pone OB= d 0 / si h BC=BA 0 = d 0 SQRT(5)/, per cui OA =OC=BC-OB= d 0 (SQRT(5)-)/=d è il vlore dell sezione ure di d 0. C O B A A0 B C O A A0 B Fig. : I Costruzione grfic sezione ure Fig. 3: II Costruzione grfic sezione ure 8

9 Nell prte inferiore dell Fig. è riportt l soluzione negtiv dell (), che per comodità si riport sull prte destr per vere vlori positivi delle lunghezze, dove si ottiene l line OB = d 0 (SQRT(5)+)/=d 0 F, che rppresent l line l cui sezione ure è d 0 =0A 0. In fig. 3 è riportt un ltr costruzione dove CA 0 =OA 0 /, il segmento OA è l sezione ure dell line OA 0, oppure OB è l line vente per sezione ure il segmento OA 0. Nell Fig. 4 è riportt l costruzione grfic propost d Euclide, che permette di ottenere l line OB l cui sezione ure è il segmento OA Spirle ure Fig.4: Costruzione grfic di Euclide per l sezione ure Euclide osservò che gli rchi di circonferenz, trcciti per ottenere i rettngoli urei, individuno un spirle logritmic, che viene indict come spirle ure. Le digonli congiungenti i vertici dei rettngoli urei, che non sono punti di tngenz dell spirle ure, si intersecno tutte in un punto, che è il centro dell spirle ure, indicto dl mtemtico C.A. Picover come occhio di Dio, perché l spirle tende l suo centro solo per un numero infinito di iterzioni. Si osserv che l form dell spirle si conserv si verso dimensioni infinitesimli si verso dimensioni infinite e quindi potrebbe essere un modello di crescit per l simulzione di molti fenomeni nturli in cui l proprietà di uto-somiglinz deve essere soddisftt. Se il rettngolo ureo ABCD h BC=F e quindi AB=, si h che i rggi dei rccordi che formno l spirle hnno lunghezz ugule R i i = Φ per < i < + Per i< l spirle è contenut nel rettngolo ABCD e se i - l spirle tende verso il suo centro. Ovvimente, per vere d un rettngolo ureo di dimensione minore è sufficiente sottrrre l dto rettngolo ureo un qudrto vente per lto il suo lto minore. L proprietà di uto-somiglinz è un delle tnte legte ll sezione ure, che è soddisftt nche per i tringoli e gnomoni urei. Se si consider l Fig. e l bisettrice EC dell ngolo ll bse del tringolo ureo BDEI si ottengono il tringolo ureo e uno gnomone ureo. Anlogmente, se si divide l ngolo l vertice (08 ) dello gnomone ureo ABE in due ngoli di mpiezz di 7 e 36 si ottengono il tringolo ureo AA B e lo gnomone ureo AA E. 9

10 L semplice costruzione per ottenere rettngoli urei mggiori o minori è simile d un ltr costruzione rigurdnte i formti ISO dei fogli di disegno, nche in questo cso il numero che interviene è un numero irrzionle (sqrt()). Fig.5: Spirle ure ottenut di rettngoli urei 8. Pentgono e decgono regolre L costruzione grfic del pentgono regolre ( Fig. ), propost d Tolomeo, è quell riportt negli ttuli testi di disegno, dove i segmenti DE, OE e OD sono, rispettivmente i lti del pentgono, esgono e decgono regolri. Il punto C è il punto medio del segmento AO, il segmento CE è ugule CD. Quest costruzione gli permise di clcolre le corde di 36 e 7, utili per le tvole trigonometriche. R R=CD D A C O E P B Fig. :Costruzione del pentgono e decgono (Tolomeo) Utilizzndo l costruzione grfic dell sezione ure è possibile vere un ltr costruzione in cui si ottiene si il pentgono si il decgono regolre. Tle costruzione è riportt in Fig., dove si è posto R=00 il rggio del cerchio circoscritto l pentgono e l decgono regolre. 0

11 Il segmento AB è ugule l lto del decgono, mentre l cord AD= F. L cord ED è il cteto del tringolo rettngolo ADE, per cui si h ED = R [4 Φ ] = R (3 Φ) e per l (5) si h che l cord ED è ugule l lto del pentgono regolre. Costruzione pentgono e decgono regolri (Sntoro) Fig. :Costruzione del pentgono e decgono (Sntoro)