61 LE EQUAZIONI DI 2 GRADO - SECONDA PARTE. a) RELAZIONI FRA SOLUZIONI E COEFFICIENTI IN UN EQUAZIONE DI 2 GRADO

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1 6 LE EQUAZIONI DI GRADO - SECONDA PARTE NOTA - Preliminre questi rgomenti, è l onosenz dei numeri omplessi (pitolo preedente) ) RELAZIONI FRA SOLUZIONI E COEFFICIENTI IN UN EQUAZIONE DI GRADO In ogni equzione di grdo + + l somm e il prodotto delle soluzioni sono legti i oeffiienti dlle formule: + Δ ± + + ;, + Δ Δ + Δ Δ + Δ + + ( ) Δ ( Δ)( + Δ) ( ) ( Δ) Δ + Δ + Esempio. Le soluzioni dell equzione hnno per somm Risolvi l equzione e verifilo direttmente! e per prodotto Esempio. Le soluzioni dell equzione + + non esistono in mpo rele; sono due numeri omplessi, l ui somm è e il ui prodotto è ) TROVARE DUE NUMERI CONOSCENDONE LA SOMMA s E IL PRODOTTO p Il prolem si può risolvere in più modi (vedi ); tuttvi, st srivere l equzione di grdo s+ p e risolverl. Le soluzioni di quest equzione srnno i due numeri erti! s Inftti, tli due soluzioni vrnno per somm s e per prodotto p p. Esempio: trovre due numeri spendo he l loro somm è s e il loro prodotto è p. + ; ±, + NOTA Se nell equzione s+ p è Δ, llor i due numeri sono uguli; se è Δ<, i due numeri sono omplessi: in, non esistono. ESERCIZI (trovre due numeri onosendone somm e prodotto) ) s, p ) s, p ) s, p 7 ) s, p 79 7 ) s, p 6) s, p 7) s, p 8) s, p 6 6 9) s, p ) s, p ) s k, p 6k ) s +, p + RISULTATI ), ), + ), ) 7, 7 ), 6), 7), + 8), 9 +, ), ) k, k ), ) + +

2 6 ) FORMULA GENERALE PER SCOMPORRE IN FATTORI UN TRINOMIO DI GRADO Indito on + + il trinomio d somporre, per effetture l somposizione sterà srivere l equzione + + ( equzione ssoit l trinomio onsiderto), e risolverl. Dette, le soluzioni di quest (NOTE), si vrà: + + ( )( ) NOTE Se le due soluzioni oinidono ( Δ : ) l formul rimne pienmente vlid, e può essere risritt ome + + ( )( ) ( ) Quindi (IMPORTANTE!): se Δ, il trinomio + + è ugule l QUADRATO DI UN BINOMIO, moltiplito eventulmente per un ostnte. Se Δ<, il trinomio non è somponiile in mpo rele ( utilizzndo solo oeffiienti reli); tuttvi, volendo, si può pensre lle due soluzioni omplesse, dell equzione ssoit, e llor l formul rimne pienmente vlid. DIMOSTRAZIONE, o meglio: ostruzione dell formul ( ) Esempio. Somporre in fttori il trinomio 6 +. Equzione ssoit : 6 + C.V.D. ± + ± ± /, / (+ )() Esempio. Fttorizzre y y +. Immgino nell mi mente l equzione ssoit e l risolvo: y ± ±, ESERCIZI (fttorizzzione di un trinomio di grdo) ) ) 7) y y + y y y ) + 8 ) 6 + ) + 6) 6m m + 6 8) 6 + 9) y + y 6 + ) z + z( ) + ) d d( ) + ( 6 ) ) ) ) y + tyt ) + RISULTATI ) ( )( ) ) ( )( + ) ) ( )( ) ) ( + )( ) ) ( ) 6) ( 6 + m)( m) 7) ( )( + ) 8) ( + )( ) 9) ( y )( y+ ) ) ( + )( 6 ) ) ( z )( z+ ) ) ( d + ) ) ( )( ) ) ( y t)( y+ t) ) ( )( + 6)

3 d) REGOLA DI CARTESIO 6 Quest regol permette di stilire qul è il segno delle soluzioni di un equzione di grdo ssegnt (vle dire: di stilire se sono entrme positive, oppure entrme negtive, oppure disordi) senz risolvere l equzione stess. Premess In un equzione di grdo, diimo he vi è un permnenz se due oeffiienti onseutivi hnno lo stesso segno; he vi è un vrizione se due oeffiienti onseutivi hnno segni opposti. Esempio : 6 + V P REGOLA DI CARTESIO In un equzione di grdo + +, d ogni PERMANENZA orrisponde un soluzione NEGATIVA, e ogni VARIAZIONE orrisponde un soluzione POSITIVA; nel so, poi, he si i un permnenz e poi un vrizione, oppure un vrizione seguit d un permnenz, l soluzione di vlore ssoluto mggiore è: quell negtiv, se viene prim l permnenz, quell positiv se viene prim l vrizione. NOTA: nturlmente, l regol di Crtesio vle soltnto ondizione he si Δ, perhé se Δ< non si hnno soluzioni in ; volendo, le soluzioni esistono in, m qundo i riferimo numeri omplessi non h senso prlre di positività o negtività. Spehietto per l dimostrzione dell regol di Crtesio Situzione permnenze e vrizioni permnenze Soluzione di vlore ssoluto mggiore (in so di soluzioni disordi) permnenz + + e poi vrizione + quell negtiv + + vrizioni vrizione + e poi permnenz + + quell positiv NOTA llo spehietto Nello spehietto si suppone sempre he il oeffiiente si positivo, perhé quest ipotesi non è restrittiv: se, inftti, il oeffiiente fosse negtivo, potremmo sempre mire tutti i segni, rionduendoi d un oeffiiente positivo; e osì fendo, le permnenze restereero permnenze, le vrizioni restereero vrizioni, e le soluzioni non miereero. E S E M P I ) Vrizioni, quindi: soluzioni positive. V V ) P V Permnenz seguit d Vrizione: quindi, soluzioni disordi, e l soluzione prevlente ( di vlore ssoluto mggiore) è quell negtiv, perhé viene prim l permnenz. ) 6+ ATTENZIONE: qui l regol non è ppliile, perhé è Δ< ESERCIZIO. Stilisi qunte sono le soluzioni reli positive dell equzione di grdo + k ) Se k ) Se k ) Se k Risposte: nell ordine, le ifre dopo l virgol del numero deimle he orrisponde ll frzione /

4 6 e) QUESITI SULLE EQUAZIONI PARAMETRICHE DI GRADO E dt l equzione ( m) ( m+ ) + m Si hiede di determinre il prmetro m in modo he: i) l somm delle soluzioni vlg v) l somm dei qudrti delle soluzioni si ii) il prodotto delle soluzioni vlg vi) le soluzioni sino reiprohe l un dell ltr iii) le soluzioni sino oinidenti vii) le soluzioni sino ntireiprohe iv) un soluzione si ugule viii) le soluzioni sino opposte i) ii)? m/ + Sppimo he in ogni equzione di grdo l somm delle soluzioni è sempre ugule m + (opposto del rpporto fr il seondo e il primo oeffiiente). m Porremo periò l ondizione, m+ m ( m ) m 9 per poi erre i vlori del prmetro he l soddisfno. m Aimo trovto m. Fimo l verifi! Andimo vedere os divent l nostr equzione nel so m, e risolvimol, per ontrollre he l somm delle soluzioni vlg proprio : + + ; 8 6 ; ; +, OK! +? m/ Sppimo he in ogni equzione di grdo il prodotto delle soluzioni è sempre ugule m (rpporto fr il termine noto e il primo oeffiiente) m Porremo periò l ondizione m m ( m ), IMPOSSIBILE per poi erre i vlori del prmetro he l soddisfno. Aimo trovto un equzione, nell inognit m, impossiile. Ciò signifi he non esiste lun vlore di m per ui il prodotto delle soluzioni vlg. Insomm, nell fmigli delle infinite equzioni ( m ) ( m+ ) + m, non ne esiste nemmeno un nell qule il prodotto delle soluzioni vlg. iii)? m/ ( m ) m( m ) Δ ( ) + 8 m + m+ 8m + 8m 7m + 8m+ 7m 8m MOLTO IMPORTANTE!!! In un equzione di grdo le SOLUZIONI sono COINCIDENTI se e solo se Δ Nel so poi in ui si pri, onverrà rimpizzre quest ondizione on Δ / (equivlente m più omod). Ad esempio, l equzione + ( k) ( + 9k) Δ h soluzioni oinidenti qundo ( k) + ( + 9k) ossi k + k + + 9k ; k + k + 6 ;... k k 9± ± 6 9± 6 m, / 7 Verifi nel so m + + ; + + ; ( + ) ; soluzioni oinidenti, OK Fi tu, ro studente, l verifi on m /7. Certo, sree pure possiile: ) risolvere l equzione, trovndo e he sreero espressioni on m sotto rdie ) uguglire le due espressioni, ottenendo in questo modo l equzione finlizzt determinre m. Tle proedimento sree però inutilmente lungo e ingomrnte!

5 iv) v) vi)? m/ Sostituimo... m m+ + m mm + m m m 7/ 6 BANALE, MA IMPORTANTE: un dt equzione mmette ome soluzione un determinto numero se e solo se, sostituendo quel numero l posto dell inognit, si ottiene un uguglinz ver. Verifi tu, ro lettore, he on m7/ l equzione mmette le due soluzioni 7/ e, ppunto,. ( m+ ) m( m ) ( m) ( m ) m,? m / + + m+ m m m... m m 7 ± ± 9 L verifi, in isuno dei due si, è lsit llo studente. Con m le due soluzioni sono irrzionli; tuttvi, ome si onstt ol lolo, l somm dei loro qudrti dà proprio.? m / m m... m Riordimo he due numeri si diono reiproi se il loro prodotto è quindi se ognuno di essi è ugule frtto l ltro. Ad esempio, sono reiproi i numeri e ; e ; e LE FORMULE DI WARING Vle l identità + + he i permette di riondurre l somm dei qudrti ll somm e l prodotto delle si. Aimo, in prti, utilizzto l prim di un sequenz di formule, himte formule di Wring, le quli permettono di esprimere un somm di due potenze di ugul grdo (qudrti, ui, ) in funzione dell somm delle si e del loro prodotto. + y + y + y y + y y ( y) y( y) + y + y+ y + y y y y + y y6 y y ( + y) y( + y ) 6 y ( + y) y ( + y) y 6 y ( + y) y( + y) + 8 y 6 y ( + y) y( + y) + y... vii)? m / m m... m / Antireiproo signifi l opposto del reiproo. Ad es., sono ntireiproi i due numeri e. Due numeri sono ntireiproi se e solo se hnno per prodotto. viii)? m/ + m + m... m Molto semplie: due numeri sono opposti se e solo se l loro somm è. Verifi. L nostr equzione ( m ) ( m+ ) + m divent, on m, ( ) ( + ) + ( ) ; 6 ; + Or, in mpo rele quest equzione NON h soluzioni opposte, ome si desiderv, ensì è impossiile; tuttvi, sonfinndo in mpo omplesso si può srivere: ; ± ±i quindi si ottengono due soluzioni effettivmente opposte. Ripitolndo, il vlore rihiesto di m non esiste se intendimo he le soluz. deno oligtorimente pprtenere, esiste ed è m se mmettimo he le soluzioni possno essere erte in tutto.

6 66 ESERCIZI (quesiti sulle equzioni prmetrihe di grdo) E rihiesto, in isun eserizio, dopo ver determinto il vlore desiderto del prmetro, di lolre pure qul è il vlore delle soluzioni nel so speifio. Ciò servirà nhe d verifi. Nell equzione ) le soluzioni oinidno ) ( ) + + si soluzione ) m+ m ) + + ) q( ) + 6) determinre il prmetro (o i prmetri) in modo he. le soluzioni sino opposte. le soluzioni sino reiprohe. le soluzioni sino ntireiprohe. un soluzione si null le soluzioni sino i numeri e 7) ) k ( k ). le soluzioni sino opposte. le soluzioni sino uguli. le soluzioni sino reiprohe. le soluzioni sino ntireiprohe. le soluzioni sino opposte. le soluzioni sino reiprohe. le soluzioni sino uguli. le soluzioni ino per somm +. l equzione dt i un soluzione in omune on l equzione /. un soluzione si. le soluzioni sino uguli. le soluzioni sino opposte 9). un soluzione si. l somm delle soluzioni si. l somm delle soluzioni si il prodotto delle soluzioni si 6 8. le soluzioni sino reiprohe ) ( k ) k k ) k + ( k + ) + ( k ) + ) ( m ) ( m ) + +. ) +. ) Per quli vlori dei prmetri le due equzioni hnno le stesse soluzioni?. le soluzioni sino uguli. le soluzioni sino opposte. le soluzioni sino reiprohe. le soluzioni sino ntireiprohe. le soluzioni sino uguli. le soluzioni sino opposte. le soluzioni sino reiprohe. le soluzioni sino ntireiprohe. l somm dei qudrti delle soluzioni si , e ) Srivi un equzione di grdo he i per soluzioni i due numeri 8 e. 6) Nell equzione ( k+ ) + ( k+ ) determin k in modo he le soluzioni sino un doppi dell ltr INDICAZIONE: si potree risolvere, ottenendo le soluzioni ome espressioni ontenenti k, poi erre i vlori di k per ui risulti oppure ; tuttvi, le equzioni nell inognit k ottenute in questo modo onterreero k sotto rdie e sreero, dunque, equzioni irrzionli ; or, il disorso su tli tipi di equzioni, risolvendo le quli è possiile imttersi in soluzioni non ettili, non è stto nor trttto. C è d ltr prte un metodo molto migliore: il sistem + k + port determinre,, k. (k + ) Pur essendo il sistem di grdo, i puoi provre: non è diffiile. 7) Nell equzione ( h+ ) + h h determin h in modo he il rpporto delle soluzioni si 8) Nell equzione ( m+ ) + m+ determin m in modo he (vedi eserizio 6) 9) Nell equzione ( m+ ) + m+ determin m in modo he + ) Nell equzione r r determin r in modo he le soluzioni:. sino uguli. sino opposte. sino reiprohe. ino prodotto. ino rpporto

7 RISPOSTE 67 ) ) ) (in questo so ). m ( ± ) oppure (in questo so ) L'ltr. m. In questo so si h, ±, soluzione e questi numeri sono fr loro reiproi in qunto Riord he l ondizione d porre è, è - moltiplindoli, si ottiene (verifilo!) per le soluzioni oinidenti, Δ ; - oppure, fendo d es. il lolo /, Δ si ottiene, dopo rzionlizzzione, qui è meglio, dto he il è pri,. m ( ± ). m (l ltr soluz. vle ) ) ). Impossiile, nessun vlore di q. Qulsisi vlore di q eetto. q ±. q 6), Sostituendo l posto di prim il vlore, poi, si hnno due ondizioni, di ui si f il sistem. 7) 8). k (, ) k / (, ) + / /, / i. k, ± k,. k (l'ltr soluzione è / ) 9). /. nessun vlore di.. qulsisi vlore di, trnne. nessun vlore di /. In questo so le soluz. sono due numeri omplessi, i e + i, il ui prodotto è ppunto In questo so le soluzioni sono due numeri irrzionli, e +, ppunto reiproi fr loro: puoi onsttrlo moltiplindoli (otterri, e due numeri sono reiproi se e solo se il loro prodotto è ) oppure eseguendo per esempio il lolo ). k /. k / (m in questo so le soluzioni sono omplesse; in, il prolem è impossiile). Qulsisi vlore di k, trnne. Impossiile, nessun vlore di k ). Impossiile. k. Impossiile. k. k, k/ ). m. m ± Denom. omune, innnzitutto ) (soluz. omplesse) 7 Si utilizzno le formule di Wring, pg. 6. ) 7, ) Si potree pensre ll generi equzione + + e imporre he 8, ne sino soluzioni; 6 8+ si otterree osì il sistem { he non h un sol soluzione, ensì ne h infinite, 9+ + perhé è verifito d tutte le terne,, per le quli,, on qulsisi. Ad esempio, un tern he v ene è,, ; un ltr è,, 7 Moltiplindo tutti i oeffiienti di un equzione per uno stesso numero, le soluzioni non mino! Tuttvi, è un modo molto veloe ed effie per srivere un equzione di grdo he i per soluzioni due numeri ssegnti: nel nostro so, l equzione ert è sempliemente ( + 8)( ) (nhe tutte le equzioni otteniili moltiplindo quell per un ostnte risolvereero il prolem). In generle: un equzione di grdo he i per soluzioni due vlori ssegnti r, s è sempliemente l ( r)( s). Altro es.: un equzione di grdo he i per soluzioni e è + he si può risrivere ome ( + )( ). 6) k 7) h (perhé h non v ene?) 8) m, m 9) m, m 6 ). r. nessun vlore di r. r. r 8 (però on soluzioni omplesse). r Puoi ndre vedere ome sono spiegte le equzioni di grdo sul el sito di Lwrene Spetor Di equzioni di grdo si prl nhe nel pitolo su Grfii e risoluzioni grfihe (d pg. 6 pg. )