CORSO DI PREPARAZIONE AL TEST per l ammissione ai corsi triennali dell area sanitaria

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1 CORSO DI PREPARAZIONE AL TEST per l mmissione i corsi triennli dell re snitri MATERIALI PER LA PREPARAZIONE AI TEST DI MATEMATICA

2 Premess: l presente dispens non h lcun pretes né di rigore mtemtico, né di completezz dell esposizione. È un semplice rccolt di informzioni e di suggerimenti per guidre ll risoluzione dei test. Insiemi numerici L insieme dei numeri nturli è N = {0,,,,4, }. L insieme dei numeri interi reltivi è Z = { -4,-,-,-,0,+,+,+,+4, } Conoscenze e competenze richieste rigurdo N e Z: ) Riconoscere il risultto di moltipliczioni di grndi numeri senz svolgere il prodotto Es.: 5876 moltiplicto per è ugule : b c d e Suggerimento: è inutile svolgere l inter operzione: bst pensre qule dovrebbe essere l cifr delle unità del risultto: 6 x 8=48 ) Criteri di divisibilità e ricerc dei divisori Un numero è divisibile per b se l divisione fr e b dà per resto 0. Si dice llor che è multiplo di b o che b è divisore di. Si può spere se un numero è divisibile per ltri senz svolgere l divisione, m usndo i: CRITERI DI DIVISIBILITÀ: Un numero è divisibile per solo se l ultim su cifr è pri l somm delle sue cifre è divisibile per 4 le ultime due cifre sono 00 oppure divisibili per 4 5 l ultim su cifr è 0 o 5 6 è divisibile per e per 9 l somm delle sue cifre è divisibile per 9 0 l ultim cifr è 0 L somm delle cifre di posto dispri è ugule ll somm di quelle di posto pri N.B.: ogni numero intero h lmeno due divisori bnli: ed il numero stesso. N.B.: un divisore non bnle di non può essere più grnde dell metà di. Es.: Qunti sono i divisori del numero 6 ( e 6 compresi)?. b. 4 c. 6 d. 9 e. 7

3 Suggerimento: occorre pssre in rssegn i numeri minori o uguli ll metà di 6: è divisore di 6; è divisore di 6; 4 è divisore di 6; 5 non è divisore di 6; 6 è divisore di 6; 7non è divisore di 6; 8 no è divisore di 6; 8 è divisore di 6 In tutto 7 divisori, i quli vnno ggiunti i divisori bnli e 6. M è un po lungo! Altro modo: 6 = 4 x 9= x. Sono divisori di 6 tutti e soli i numeri che ottengo riempiendo gli esponenti di x in tutti i modi possibili con i numeri 0,, : 0 0 0,0 0, 0,,0,,,0,, Allor in tutto 9 divisori. Si cpisce llor che bst umentre tutti gli esponenti dei fttori primi di un unità e moltiplicrli fr loro. Così, i divisori di 08 = x 7 x srnno x x, cioè. Es.: Tr i primi 00 numeri nturli, sono contempornemente divisibili per,, 5, 6:. 0 numeri b. numero c. numeri d. non è possibile stbilirlo e. 6 numeri Suggerimento: il prodotto di,,5,6, cioè 80 è divisibile per tutti questi numeri, m vi sono numeri più bssi di 80 divisibili per,,5,6 contempornemente? Sì, il loro m.c.m. = 5 6=0. Allor sono divisibili per,,5,6 contempornemente tutti i multipli di 0 che non superino 00: 0, 60, 90, 0, 50, 80. ) Numeri primi, primi fr loro, mcm, MCD Un numero mggiore di si dice primo se è divisibile solo per i divisori bnli ( e se stesso) N.B.: non è primo Sono primi:,, 5, 7,,... N.B.: l unico numero primo pri è. Tutti gli ltri infiniti numeri primi sono dispri. Due numeri si dicono primi fr loro se non hnno divisori comuni, oltre ll. Si chim mssimo comune divisore (MCD) di due o più numeri nturli il più grnde numero che divide senz resto tutti i numeri dti. N.B.: dti due o più numeri, gurdre sempre se il più piccolo tr loro è divisore degli ltri. Allor quello srà il MCD. In cso contrrio si può determinre il MCD scomponendo i numeri dti in fttori primi e considerndo il prodotto dei soli fttori comuni, presi con il minimo esponente. Si chim minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri nturli il più piccolo numero che si multiplo di tutti i numeri dti.

4 N.B.: dti due o più numeri, gurdre sempre se il più grnde tr loro è multiplo degli ltri. Allor quello srà il mcm. In cso contrrio si può determinre il mcm scomponendo i numeri dti in fttori primi e considerndo il prodotto dei tutti i fttori, senz ripetizioni, presi con il mssimo esponente. Se e b sono primi, llor sono nche primi fr loro. Non è vero il vicevers. Se e b sono primi fr loro, llor MCD(, b) =, mcm(, b)= b Es.: il mcm tr 4, 0, 8, 5 è:. 70 b. 80 c d. 450 e. 900 Suggerimento: 5 non è multiplo degli ltri. Allor scomponimo in fttori primi: 4 = 0 = 5 8 = 5= 5 mcm = 5 = Es. il MCD e il mcm tr 6, 0, 0, 60 vlgono rispettivmente:. 6; 0 b. ; 60 c. ; 80 d. 6; 0 e. ; 50 Suggerimento: il più piccolo, 6, non è divisore di tutti gli ltri; pertnto 6 non può essere il MCD. Rimngono le lterntive b, c, e. Anche non è divisore di 0 e non può llor essere MCD. Rimngono solo b e c. Gurdo or il più grnde fr i numeri dti: 60 è multiplo di tutti gli ltri? Allor è il mcm. Rispost b. Osservzione: in questo cso si srebbe ottenut prim l rispost cercndo il mcm prim del MCD. M è solo un cso prticolre, non un regol generle! 4) Potenze e proprietà delle potenze Dti due numeri nturli ed n, si chim potenz di bse ed esponente n il numero n così definito: se n > : n = (n fttori) se n = : = se n = 0: 0 = ( ptto che 0) 0 0 =? può dre qulunque risultto; si dice che è un form indetermint. n n Se l esponente è un intero negtivo: = = (in prtic, ogni volt che un fttore sle o n scende di un pino nell frzione, il suo esponente cmbi segno) Se l esponente è un frzione: indice D. N D = D N, cioè il denomintore D si può trdurre in un rdicle di PROPRIETÀ DELLE POTENZE: m n m+ n = STESSA BASE m m n m n m n : = o nche: = n STESSA BASE m b m = b STESSO ESPONENTE ( ) m 4

5 ( b) m m b m : : = o nche m n m n ( ) b m m m = STESSO ESPONENTE b = POTENZA DI POTENZA N.B.: le proprietà vlgono nche se lette d destr verso sinistr vle: Es.: l espressione ( ) b c d. e. nessun delle precedenti Es. l espressione 6 vle:. /4 b. 4 / c. 4/ d. 4 / e. / Es. l espressione vle:. b -/ b. -/ c. b d. e. b y = b b / b Es. un numero negtivo con esponente dispri è:. positivo b. negtivo c. nullo d. sempre ugule e. non si può clcolre Es. l espressione /(0,) vle:. 0/9 b. 9/00 c. 00/9 d. 0,009 e. nessuno dei precedenti Es.: il rpporto - /(5-4 ) equivle :. (/5) - b c. 5 - d e , + 5 : Es.: clcolre l espressione ( ). 5 b. c. 55 d. 0,0 e. 0 0 Es.: l decimillesim prte di è: /0000 b. (000/0000) 0 c. 000 d e Es.: clcolre il vlore di x per cui 7x = :. 0 b. /7 c. d. - e. 7/ 5 / /5 5 Es.: il vlore di ( ). 7/0 b. 0 c. 7/0 d. e. Es. l espressione ( ) + 4 è: 0 [ ] 0, con numero rele:. vle 0 b. vle c. vle - d. è indetermint solo se è diverso d 0 e. è indetermint per ogni vlore di 5

6 5) Operzioni fr potenze di 0: Es.: il prodotto b. 7 0 c. 0, 5 d. 7 0 e vle: 4 Es. il prodotto fr 0 e 8 0 è un numero:. circ ugule 0 b. compreso fr il minore ed il mggiore dei due c. mggiore di entrmbi d. minore di entrmbi e. nessun delle risposte precedenti 6) Scrittur polinomile dei numeri in bse 0: 0 Es.: l espressione vle:. 75 b. 457 c. 475 d. 457 e ) Trduzione in simboli Alcuni quesiti giocno sull cpcità di trdurre in simboli lgebrici semplici termini o locuzioni: - il doppio di = - il qudrto di = - l metà di = / - il triplo di = - il cubo di = - l terz prte di = / - il rpporto (quoziente) fr e b = /b - l opposto di = - - il reciproco di = / - numero pri = n - numero dispri = n+ o n o n + ecc. - il successivo di n = n + Es.: sino, b, c numeri nturli non nulli. Se è l metà del qudrto di b e c è il triplo del cubo b, qul è il rpporto fr il cubo di e il qudrto di c?. /7 b. 8/9 c. 9/8 d. 7 e. /8 Es.: se il rpporto tr e il successivo di b è ugule l doppio del reciproco di x, il vlore di x è:. b + / b + b. c. b + + d. b + e. ( ) ( b ) Es. qule fr le seguenti espressioni rppresent il triplo del successivo del qudrto di un numero nturle n?. (n + ) b. (n + ) c. n + d. (n + ) e. [(n + )] 6) I numeri rzionli Q è l insieme di tutti quei numeri positivi o negtivi, detti numeri rzionli, che possono essere scritti sotto form di frzione (sono dette equivlenti quelle frzioni che, semplificte diventno 6

7 uguli fr loro; un gruppo di frzioni equivlenti form un numero rzionle) o che possono essere scritti sotto form di numero decimle illimitto periodico. N.B.: nche i numeri decimli limitti rientrno fr gli illimitti periodici; per esempio, 0,57 può essere visto come 0, , cioè come 0,570. N.B.: tlvolt il periodo di un numero decimle è scritto fr prentesi tonde: 0,570 = 0,57(0) Cos si deve spere su Q: come svolgere le operzioni con le frzioni fr due numeri rzionli, per qunto vicini essi sino, ve ne sono infiniti ltri (Q è denso) frzioni genertrici: come rislire d un numero in form decimle ll corrispondente frzione che lo gener: o se il numero è decimle limitto: scrivo un frzione che h: per numertore il numero decimle senz l virgol e senz lo/gli eventule/i zero/i inizile/i per denomintore seguito d tnti zeri qunte sono le cifre destr dell virgol Es.: 0,087 = 87/0000;,5 = 5/00 o se il numero è decimle illimitto periodico: scrivo un frzione che h: per numertore il numero decimle senz l virgol e senz lo/gli eventule/i zero/i inizile/i meno l prte di numero che st sinistr del periodo per denomintore tnti 9 qunte sono le cifre del periodo, seguito d tnti 0 qunte sono le cifre dell ntiperiodo (prte del numero compres fr l virgol ed il periodo) Es.: 0,087 = Es.: Il numero 0,0():. non è rzionle b. è ugule /9 c. è ugule / d. è ugule /99 e. è ugule /0 Suggerimento: il numertore dell frzione che lo gener srà 0; il denomintore srà costituito d un solo 9 (poiché il periodo di 0,0() è di un cifr), seguito d un solo 0 (poiché l ntiperiodo di 0,0() è di un cifr). Quindi /90, cioè 7) Proporzioni Quttro numeri, b, c, d con b e d diversi d zero sono in proporzione se il rpporto fr i primi due è ugule l rpporto fr gli ultimi due e si scrive: : b = c : d e d sono i termini estremi dell proporzione b e c sono i termini medi dell proporzione Proprietà fondmentle: il prodotto dei medi è ugule l prodotto degli estremi. Quest proprietà trsform un proporzione in un semplice equzione. Con un numero infinito di cifre destr dell virgol. 7

8 Se in un proporzione i due termini medi sono uguli, il termine ripetuto si chim medio/ proporzionle. Es.: Si consideri l proporzione c. / d. /4 : x = : 48 ; x vle: e. 5. Suggerimento: trovre l medi b. / proporzionle signific impostre un c. / proporzione con termine medio incognito d. ripetuto: 4:x=x:6; per l proprietà e. fondmentle, x = 4, d cui Suggerimento: dll proprietà fondmentle 48 si h che x =, cioè x = 4 e quindi x = 48, d cui Es.: l medi proporzionle tr 4 e 6 vle:. 4 / b. / Es.: clcolre il vlore di x nell proporzione: 0 - :x=0-4 :0 :. 0 b. 0 4 c. 0-4 d. 0-5 e ) Proporzionlità dirett e invers Due grndezze vribili x e y si dicono direttmente proporzionli se il loro rpporto rimne costnte: y = k x o nche y = kx Rppresentt nel pino crtesino xoy, si ottiene come grfico un rett obliqu che pss per l origine O(0,0). Due grndezze vribili x e y si dicono inversmente proporzionli se il loro prodotto rimne costnte: x y = k o nche k y = x Rppresentt nel pino crtesino xoy, si ottiene come grfico un rmo di iperbole equilter riferit i propri sintoti. Es.: due grndezze x e y legte dll relzione y = -5x:. hnno sempre lo stesso segno b. sono solo confrontbili in modo qulittivo c. sono direttmente proporzionli tr loro d. non hnno lcun relzione di proporzionlità e. sono inversmente proporzionli tr loro 8

9 A Es. 7: suggerimento: A = bh; essendo l bse costnte, A = kh o nche = k ; dunque A e h sono h direttmente proporzionli ed il grfico corrispondente è un rett obliqu che pss per l origine. Es.: 440: suggerimento: si s che x = ky e y = h/z. Dunque, sostituendo h/z l posto di y nell prim equzione, si h: x = (kh )/z, dove (kh ) è un costnte che potremmo chimre m; llor si h che x = m/z. Pertnto x è inversmente proporzionle l qudrto di z. 9) Percentuli ) 0% di 400 signific: 0 0 di 400, cioè 400 = 0 4 = b) 5 che percentule è di 45? Imposto l proporzione: 5 : 45 = x : e trovo x = =,04%. Cioè 5 è circ il % di c) 5 è il 7% di qule numero? Posso trdurre l domnd così: 7 5 = x (oppure con l proporzione 5 : x = 7 : 00) 00 e trovo che x è 7,4. Es.: il 5% del 0% di un numero è ; qul è il numero?. 00 b. 00 c. 400 d. 450 e Suggerimento: rientr nell tipologi c): = x, cioè, semplificndo, x =, d cui Es.: se su un prezzo si prtic uno sconto del 0% e, sul nuovo prezzo così ottenuto si pplic un nuovo sconto del 0%, qunto vle in percentule lo sconto sul prezzo inizile?. 60% b. 50% c. 56% d. 44% e. 0% Suggerimento: detto P il prezzo inizile, il prezzo dopo il primo sconto è 9 P 0 00 P = P. Or su tle nuovo prezzo si pplic uno sconto del 0%; il nuovo prezzo scontto srà llor P P = P 4 00 P = P. È llor come se su P si fosse ftto uno sconto del 44%. Per chi non m il clcolo letterle: se il prezzo inizile fosse 00, dopo il primo sconto del 0%, il prezzo srebbe 80 e dopo lo sconto del 0% scenderebbe (80-4), cioè 56; lo sconto totle è di 44 su 00, cioè del 44%.

10 Es.: un brr di cioccolto A è lung 8 qudrtini e l brr B super A del 60% di se stess. Qunto è lung B?. 0 b. c. 4 d. 8 e Suggerimento: B = A+ B, cioè B = A e quindi B = A = 8 = Es.: se si ument l lunghezz dell bse di un rettngolo del 40% e quell dell ltezz del 0%, l re ument del:. 54% b. 400% c. 5% d. 0% e. 50% Suggerimento: l re inizile è bh. L re nuov srà quindi del b 0 00 h = bh. L umento dell re è 0) Numeri reli Si dicono irrzionli quei numeri che non sono esprimibili medinte lcun frzione di Q; in modo equivlente, sono irrzionli i numeri che, scritti in form decimle, sono illimitti e non periodici. Sono esempi di numeri irrzionli le rdici qudrte di numeri che non sono qudrti perfetti o le rdici cubiche di numeri che non sono cubi perfetti, ecc. M le rdici non esuriscono i numeri irrzionli. Sono per esempio irrzionli nche numeri come π o e. L unione dell insieme degli irrzionli con l insieme Q dei numeri rzionli viene detto insieme R dei numeri reli. Quindi l insieme R dei reli contiene, oltre tutti gli insiemi numerici già visti (N, Z, Q) nche i numeri irrzionli. In R, così come negli ltri insiemi numerici esminti, vle l cosiddett legge di nnullmento del prodotto: il prodotto di due numeri vle 0 se e solo se l uno o l ltro dei due numeri è 0. Useremo tle legge per l risoluzione di equzioni di grdo superiore l primo. Dto un numero nturle n diverso d 0 e un numero rele non negtivo, l rdice ritmetic n- esim di è quel numero non negtivo b, l cui potenz con esponente n è ugule d. n n = b b = Il numero n è detto indice dell rdice Il numero è detto rdicndo. Il numero n è detto rdicle ritmetico. N.B.: per convenzione, l indice viene sottointeso, cioè signific. N.B.: poiché il risultto di n deve essere un numero non negtivo, dire che x = x srebbe sbglito, dl momento che non sppimo che segno bbi il numero indicto con x. In csi come questo dobbimo scrivere x = ssunto senz segno (e quindi positivizzto)). x (le brrette indicno il vlore ssoluto di x, cioè il vlore di x 0

11 Es.: Riconosci il numero irrzionle:. 4 b. 5,(6) c. /7 d. 9 e. 5 4 Es.: L rdice quint di è:. b. c. d. 4 e. 5 Suggerimento: fr i numeri proposti, cercre quello che, elevto ll quint, dà. Es.: se è un numero positivo, llor (-) 0,5 è sicurmente un numero:. ugule b. non rele c. ugule /5 di d. in tutti i csi intero e. in tutti i csi nullo 0,5 4 Suggerimento: ( ) = ( ) =, che non esiste in R, considert l definizione di rdicle ritmetico, che richiede un rdicndo non negtivo. 4 Es.: Qule dei vlori riportti costituisce l migliore pprossimzione di 6456?. 60 b. 600 c d. 6,456 e Suggerimento: 6456 è circ , l cui rdice è Quindi Es.: Qule dei vlori riportti costituisce l + 5 migliore pprossimzione di?. b. c. d. 4 e. 5 Suggerimento: l rdice di 5 è circ,. Quindi l frzione vle (+,): =, : =,6. Il vlore più vicino,6 è Per chi non s che 5,, si può dire: 5 è poco più di ; quindi 5 + è poco più di ; + poco più di llor = = poco più di,5 numero più vicino è. 5. Il n m n P m P Proprietà invrintiv dei rdicli: =, se p 0. Prodotto e divisione di rdicli: se due rdicli hnno lo stesso indice, le due rdici possono essere n n n n unificte in un sol: b = b e n n =. b b Se non hnno lo stesso indice, possono essere ricondotti llo stesso indice (mcm dei due indici) medinte l proprietà invrintiv: 6 e 8 b diventno, senz vrire, 4 4 e 4 b 6 Trsporto di un fttore fuori dl segno di rdice: un fttore del rdicndo può essere trsportto fuori dl segno di rdice, se il suo esponente m è mggiore o ugule ll indice n dell rdice. Il fttore esterno vrà per esponente il quoziente dell divisione m : n, quello interno h per esponente il resto r dell divisione. Esempio : Solo il fttore 5 4 può uscire perché h l esponente sufficientemente elevto. Poiché 4 : = 4 con il resto di, Esempio : momento che = x y. Il fttore x può uscire, m srebbe sbglito trsformrlo in x y, dl x y è sicurmente non negtivo, mentre x y h un segno che dipende d

12 quello di x e quindi potrebbe nche essere negtivo. Per tutelrsi dll eventule negtività di x, dobbimo scrivere x y = x y. n m n m p Potenz di un rdicle: ( ) = p n m n m Rdice di rdice: = Rzionlizzzione del denomintore di un rdicle: signific ottenere un frzione equivlente quell ssegnt, m con il denomintore non irrzionle (dobbimo fr sprire le rdici dl denomintore). L tecnic per rzionlizzre consiste sempre nel moltiplicre numertore e denomintore per un espressione (dett fttore rzionlizznte) vribile second dei csi: Frzione d rzionlizzre b c b b ± c b ± c Fttore rzionlizznte b b bm b m c c Rdicli doppi: il rdicle doppio ± b può essere trsformto in somm lgebric di due rdicli semplici solo se b è un qudrto perfetto, con rdice ugule c; llor: + c c ± b = ± Esempio: 5. b = 9 5 = 4 è un qudrto perfetto con rdice c =. + 5 Allor 5 = = Somm di rdicli simili: si dicono simili due rdicli con stesso indice e stesso rdicndo. L somm di rdicli è eseguibile solo se essi sono simili: si ottiene un rdicle simile i precedenti, vente per coefficiente l somm dei rispettivi coefficienti. Es.:. 4 7 b. 0 0 c. 8 d. 0 0 e. è ugule : Es.: L espressione vle:. 6 b. 5 6 c. 6 7 d. 6 9 e. 6 5 Es.: Il quoziente di due rdicli venti lo stesso indice, è un rdicle vente per rdicndo il quoziente e per indice:. il prodotto degli indici b. l somm degli indici c. il quoziente degli indici d. lo stesso indice e. nessun delle risposte precedenti

13 Es.: L espressione 8 è equivlente ll:. 8 b. 6 c. 6 d. e. + 8 Es.: 8 + è ugule :. 6 b. 40 c. 8 d. 0 e. 4 4 Es.: b c. d. 7 4 e. 7 4 vle: Es.: 7 vle:. 7 b c. d. non si può semplificre e. nessun delle risposte precedenti Es.: L equzione x = h soluzione:. 0 b. c. d. e. 4 Suggerimento: conviene, come nell mggior prte dei csi in cui sono proposte soluzioni di equzioni, sostituire i vlori proposti l posto dell x e vedere se l uguglinz è corrett. Es.: L somm di due numeri reli vle e il loro prodotto vle -8; i due numeri sono:. e b. e c. 6 e d. 4 e e. e - Es.: L espressione. 9 b. 6 c. 5 d. e. 4 Es.: L espressione n. n + n n b. + b b n vle: + b vle: n n c. b d. / ( +b) n e. nessun delle risposte precedenti Es.: L espressione (,). 0,0 b. 0, c. 0,00 d. 0,5 e. 0,0 [ 0,07 ] 0 + vle: ) Successioni e progressioni Si dice successione un sequenz ordint di numeri reli 0,,,, 4, Il pedice numerico indic qule posizione è occupt, nell sequenz, dl numero rele. Un successione può essere definit: medinte un formul chius, che dic come costruire l n-simo termine dell successione:

14 o es.: o es.: = n + n definisce l successione: /,, /,, 5/,, n = definisce l successione:, 4, 7, 56, n n medinte un formul ricorsiv, che dic qunto vlgono i primi termini e spieghi come costruire l n-simo termine dell successione prtire di precedenti termini: o es.: 0 =, n = ( n ) + definisce l successione:,, 5, 6, 677, o es.: 0 =, =, n = n + n definisce l celebre successione di Fiboncci:,,,, 5, 8,,, in cui ogni termine è l somm dei due precedenti. Alcune successioni costruite in modo prticolre vengono chimte progressioni. Si dice che un successione di numeri form un progressione ritmetic (p..) se l differenz fr due termini consecutivi n n- è sempre costnte. Il vlore d di quest differenz è detto rgione dell progressione ritmetic. Elemento generico di un p..: n = + (n-)d n = p + (n-p)d Somm dei primi n termini di un p..: S n = + n n In prticolre, se d =, l progressione ritmetic divent l sequenz dei numeri nturli e S n indic l somm di tutti i numeri nturli d fino d n. Adttndo l formul precedente con = nn + e n = n, si ottiene che n =. ( ) Si dice che un successione di numeri form un progressione geometric (p.g.) se il quoziente fr due termini consecutivi n / n- è sempre costnte. Il vlore q di questo quoziente è detto rgione dell progressione geometric. n Elemento generico di un p.g.: n = q n = p q Somm dei primi n termini di un p.g. con primo termine e rgione q : S n = n p n q q Es.: Dt l sequenz di numeri,, 7, 8,,, 9, 8, 5,,, 8, qul è il termine successivo?. 0 b. c. 4 d. 6 e. 7 Suggerimento: l successione contiene un p.. con primo termine e rgione 6 (, 7,, 9, 5,, ), lternt con un p.. con primo termine e rgione 5 (, 8,, 8,, 8, ). Il termine mncnte è il successivo termine dell prim progressione, cioè Es.: i lti di un qudriltero sono in p.. e l ultimo è il triplo del primo. Le misure dei quttro lti sono:.,, 4, 6 b., 0/, 4/, 6 c.,,, 4 d. 0, 7, 4, 0 e. non è possibile che esist un qudriltero soddisfcente queste condizioni 4

15 Es.: l somm di 00 numeri nturli consecutivi, di cui il primo è 00, è pri : b c d e Es. In un p.g. il primo termine è 4 ed il qurto è 0,5. Il quinto vlore è:. 0,5 b. 0,5 c. d. 0 e. 0, Es.: Qunti sono i termini di un p.g. di rgione, con primo termine e ultimo 458?. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 ) Problemi di ordine e confronto fr numeri reli Che cos c è d spere: un numero positivo è sempre più grnde di un negtivo un numero negtivo con modulo mggiore è più piccolo di un numero negtivo con modulo minore: -7 < -0, se < b, llor fcendone le loro potenze (con ugul esponente positivo), esse si mntengono nello stesso ordine: < b, < b, ecc. se < b, llor fcendone le loro rdici (con ugul indice), esse si mntengono nello stesso ordine: < b, < b ecc. se < b, llor fcendone i rispettivi reciproci, essi invertono l ordine: /b < / se < b, llor moltiplicndo mbo i membri per un numero c positivo, essi rimngono nello stesso ordine, se invece c è negtivo, l ordine si inverte: c < bc se c>0, mentre c > bc se c<0. se < b e b < c, llor < c (proprietà trnsitiv) in generle, elevre un numero positivo d un esponente intero positivo f sì che si otteng un numero mggiore di quello di prtenz, m solo se l bse è mggiore di ; in cso contrrio, l elevmento potenz dà un risultto inferiore rispetto l numero di prtenz: se > llor > se 0 < < llor < in generle, estrrre l rdice di un numero positivo f sì che si otteng un numero minore di quello di prtenz, m solo se esso è mggiore di ; in cso contrrio, l rdice dà un risultto superiore rispetto l numero di prtenz (meglio: compreso fr e ): se > llor < se 0 < < llor > (meglio: < < ) in generle, il reciproco di un numero positivo è un numero minore di quello di prtenz, m solo se il numero di prtenz è mggiore di ; in cso contrrio, il reciproco risult superiore rispetto l numero di prtenz: se > llor / < se 0 < < llor / > 5

16 Es.: disporre in ordine crescente = - /, b = -0,4, c = 0,00. c;;b b. b;;c c. ;b;c d. c;b; e. ;c;b Es.: se per ipotesi si h 0<x<y<, llor:. y > y b. y < x c. x / > x d. xy>x e. /x < /y Es.: Elevndo l qudrto un numero rele negtivo, in vlore ssoluto minore di, si ottiene un numero:. ugule -; b. positivo e in vlore ssoluto mggiore di c. negtivo e in vlore ssoluto mggiore di d. negtivo e in vlore ssoluto minore di e. positivo e in vlore ssoluto minore di Es.: Se x è un numero positivo, l disuguglinz /x > x è verifict:. sempre b. mi c. solo per x> d. solo per 0< x < ) Problemi vri Es.: Compro un oggetto 500 lire e lo vendo 000 lire; lo ricompro 800 e lo rivendo 4000 lire. Qunte lire gudgno?. 0 b. 00 c. 500 d. 700 e. 700 Suggerimento: sommo i ricvi e sottrggo i due costi e. solo se x è un numero primo Es.: se,,b, c, sono tre numeri reli positivi e > b, b = c, c = d, llor:. >d b. d</ c. =d d. <d e. =d Es.: qule fr i seguenti numeri è il più piccolo?. 0-4 b c. (0,000) / d. (0,000) -/ e. 0, Es.: disporre in ordine crescente -9/5,,5 e 4/:. 4/;,5; -9/5 b. -9/5; 4/;,5 c. -9/5;,5; 4/ d.,5; 4/; -9/5 e.,5; -9/5; 4/ Es.: disporre in ordine decrescente = /5, b = 5 -, c = 0,05, d = 0,0(5), e = 5 / :., b, c, d, e b. e,, d, c, b c. e, d,, c, b d. e,, c, d, b e. e,, d, b, c Es.: In un gruppo di 00 persone, 0 snno giocre clcio, 00 snno giocre briscol, 5 non snno giocre né clcio né briscol. Qunte persone snno giocre si clcio che briscol?. mncno dti per rispondere b. il problem è impossibile c. 0 d. 55 e. 60 6

17 Es.: un ziend sostiene un costo mensile di euro; il costo di produzione di un singolo rticolo è di 4 euro; ogni rticolo è venduto sul mercto 0 euro. Detto y il gudgno netto, x il numero di rticoli prodotti in un giorno, individure l relzione fr y e x:. y = x b. y = x c. y = /x d. y = /x e. y = x Es.: un procedur itertiv consiste nel dividere un lunghezz in 4 prti uguli, eliminre l prim, ccntonre l second e l terz, usre l qurt per il ciclo successivo. Qul è il rpporto fr ccntonto ed eliminto dopo iterzioni?. b. /4 c. /64 d. e. 64 Es.: L //997 er domenic; che giorno dell settimn è stto l //00?. sbto b. domenic c. lunedì d. mrtedì e. mercoledì Suggerimento: si trtt di un periodo di 5 nni, di cui uno solo bisestile. In tutto = 86 giorni, che corrispondono 60 settimne e 6 giorni. Quindi il giorno richiesto srà sbto. Es.: Quli numeri reli sono tli che umentti di un loro terzo sono minori dell loro metà?. tutti quelli minori di b. tutti quelli minori di 0 c. solo quelli compresi fr - e 0 d. tutti quelli minori di - e. non esistono numeri con tle proprietà 4) Monomi Monomio = ogni espressione lgebric in cui non figurno ddizioni o sottrzioni o divisioni, m solo moltipliczioni (e potenze). Si considerno monomi nche i singoli numeri. Esempio: -/7 è un monomio; b è un monomio; bc è un monomio; + b non è un monomio. 7

18 Operzioni con i monomi: ADDIZIONE/SOTTRAZIONE: si può eseguire solo se i monomi sono simili; dà come risultto un monomio con l stess prte letterle e vente per coefficiente l somm lgebric dei coefficienti: + = ( + ) = 5. MOLTIPLICAZIONE/DIVISIONE: si ottiene un monomio che h per coefficiente il prodotto/quoziente dei coefficienti e per prte letterle il prodotto/quoziente delle prti letterli eseguito tenendo conto delle proprietà delle potenze (ogni letter del prodotto/quoziente vrà per esponente l somm/differenz degli esponenti con cui ess compre nei singoli fttori) MCD tr monomi: è ogni monomio l cui prte letterle è formt d tutte le lettere comuni, prese ciscun un sol volt con il proprio esponente minore. mcm tr monomi: è ogni monomio l cui prte letterle è formt d tutte le lettere comuni e non comuni, prese ciscun un sol volt con il proprio esponente mggiore N.B.: i coefficienti di mcm e MCD fr monomi si clcolno come visto per i numeri nturli, determinndo mcm e MCD dei singoli coefficienti. Se nche solo uno dei coefficienti è frzionrio, il coefficiente di mcm e MCD si omette; non si us scrivere segni meno dvnti mcm e MCD. Es.: stbilire per qule coppi di monomi si può eseguire l somm:. xyz, x yz b., b c. xyz, xyz d. xy, x y e. bc, 8

19 Es.: il quoziente fr i monomi -6xy 7 z e +(/)xy z - risult:. non si può eseguire b. 9y 4 z - c. -9y 4 z - d. -9y 4 z e. 9y 4 z Es.: l espressione (x ) - (4y) vle:. 9x 9 64y b. 9x 6 + y c. 9x 6 64y d. 9x 64y e. 9x 5 64y Es.: il MCD e il mcm dei monomi xy, 5x y z, 5x 4 y 4 zt sono:., 5x y z b. xy, 5x 4 y c. xy, 5x 4 y 4 zt d. 0xy, 5x 4 y 4 zt e. 0xy, 5x 4 y 9

20 5) POLINOMI PRODOTTI NOTEVOLI: Si trtt di lcuni prticolri prodotti fr polinomi, che devono essere notti (come dice il nome), poiché possono essere svolti più brevemente rispetto ll ppliczione dell proprietà distributiv. Prodotto fr un somm e un differenz Differenz di qudrti ( + b)( b) b Qudrto di binomio Sviluppo del qudrto di binomio ( ± b) ± b + b Qudrto di trinomio Sviluppo del qudrto di trinomio + b + c + b + c + b + c + bc ( ) Cubo di binomio ( ± b) Prodotto di un binomio per il suo flso qudrto ± b m b + b ( )( ) Sviluppo del cubo di binomio ± b + b ± b Somm o differenz fr cubi ± b 0

21 Teorem del resto: se si divide un polinomio P(x) per un binomio del tipo x c, per conoscere il resto non è necessrio svolgere l divisione, m bst clcolre P(c), cioè bst sostituire il vlore di c (c è l opposto del termine noto del binomio (x c)) l posto di x nel polinomio. Es.: l ffermzione: l somm di due monomi è un binomio è:. sempre ver b. sempre fls c. tlvolt ver, tlvolt fls d. ver, se i due monomi sono simili e. nessun delle risposte precedenti Es.: Il grdo del polinomio 5 b 4 y + 6 b y è:. b. 4 c. 7 d. 8 e. 9 Es.: ( b) equivle :. 4 4b b b 8b c. 4-8b + 8b d. 4-8b - 8b e b Es.: l espressione qudrto di:. x y b. x + xy x + xy x y è il c. x+y d. x xy e. x + y Es.: l espressione n b n è divisibile per ( + b):. mi b. sempre c. solo se n è pri d. solo se n è dispri e. quesito senz soluzione univoc o corrett Suggerimento: utilizzre il teorem del resto e sostituire l opposto del termine noto del binomio, -b, l posto di in n b n. Si ottiene come resto (-b) n b n, che vle 0 solo se n è pri. Es. Un qudrto h lto ; se umentimo il lto di, l re del qudrto ument di:. + b. + c. - d. e. - SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI PRIMI: RACCOGLIMENTI: x + 6xy 9x y Es.: l espressione si può x ridurre :. + 6xy 9x y b. x + y xy c. + y xy d. non è semplificbile e. nessun delle precedenti Es.: l espressione x+y-bx-by equivle :. (x+y)(+b) b. (x-y)(+b) c. (x-y)(-b) d. (x+y)(-b) e. (xy)(+b)

22 SCOMPOSIZIONI CON PRODOTTI NOTEVOLI: Es.: L espressione + 4b + 4b 9 può nche scriversi nell form: + b b. ( )( ) 9 b. ( b) 9 c. ( ) + 4b( + b) d. ( + b + 9)( + b 9) e. ( + b )( + b + ) Es. 48: l espressione ( xy x y )( y x) si può scrivere:. x y b. y x c. ( x + y) d. ( x y) e. quesito senz soluzione univoc o corrett OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE Es.: + è ugule : b. +b + b. b +b c. b b + d. b b + e. + b Es.: è ugule : +. Es.: stbilire qule delle seguenti ffermzioni è ver:. x 5x + 6 = (x + )(x + ) b. x 5x + 6 = (x - )(x + ) c. x 5x + 6 = (x + )(x ) d. x 5x + 6 = (x - )(x - ) e. x 5x + 6 = (x + )(x - 6) 4 4 x Es.: Semplificre : x x b. 9 x c. (x )(x + ) d. 9 + x e. 9 + x b. c. d. + e. xy Es.: L frzione è ugule : x + y. (x + y)/(xy) b. /x + /y c. (/x)(/y) d. (/x)/(/y) e. /[(/x)+(/y)] MCD E mcm DI POLINOMI: Es.: il MCD dei polinomi x+y e x y è:. (x+y)(x-y) b. x+y c. d. x-y e. (x-y)

23 PROBLEMI CHE COINVOLGONO SCOMPOSIZIONI: Es.: l disuguglinz + 4b 4b è verifict:. sempre b. mi c. solo se = b = 0 d. solo se e b sono positivi e. solo se e b sono negtivi Es.: Spendo che x y =, qunto vle x + y?. 9 b. 9 +xy c. 9 xy d. non si può dire e. si può dire solo se x e y sono positivi Es. : x e y sono numeri nturli tli che l loro somm dà un numero e x è il successivo di y. Qunto vle x y?. non si può determinre b. c. d. + e. Suggerimento: scomporre ( + y)( x y) = x. x y in Es.: nell espressione + b + b + b, sostituendo i vlori = / e b = 5/ risult:. b. c. 5 d. 8 e. 7 Es.: sino, b, c tre numeri positivi. Allor:. + b + c > (+b+c) b. + b + c < (+b+c) c. + b + c = (+b+c) d. + b + c < (+b) e. non si può stbilire lcun relzione tr i tre numeri 6) STATISTICA Frequenze: frequenz ssolut (o frequenz): numero di volte con cui un determint modlità compre in un rilevzione sttistic frequenz reltiv: rpporto fr l frequenz ssolut di un cert modlità e numero di f individui su cui si è ftt l rilevzione: fr =. È sempre un numero fr 0 e. N frequenz percentule: è il vlore dell f r moltiplicto per 00: p f 00 Indici di posizione centrle: somm delle modlità N Medi ritmetic = = (se lcune modlità sono N N negtive, vnno prese col loro segno). Mod: è l modlità che si present con l frequenz ssolut più lt. Medin: se i vlori delle modlità sono disposti in ordine crescente (i vlori ripetuti vnno presi in considerzione!), l medin è il vlore centrle, se N è dispri, o l medi dei due vlori centrli, se N è pri Scrti: Si dicono scrti semplici (o scrti) dll medi le differenze fr le modlità e l loro medi. Si dicono scrti ssoluti gli scrti semplici presi in vlore ssoluto. = r

24 Si dicono scrti qudrtici gli scrti semplici elevti l qudrto. Proprietà fondmentle degli scrti semplici: poiché gli scrti semplici possono essere si positivi che negtivi, l somm lgebric di tutti gli scrti semplici è sempre 0. Indici di vribilità: Cmpo di vribilità (o rnge): differenz fr l modlità mssim e quell minim Scrto semplice medio: medi degli scrti (presi in vlore ssoluto). Scrto qudrtico medio: è l rdice qudrt dell medi degli scrti elevti l qudrto. Es.: l mod dei vlori, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4 è:. 7 b. 4 c. 5 d. e. non è clcolbile Es.: l medin dei vlori, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4,,,, è:. 4,5 b. 4 c. 5 d. e. non è clcolbile Es.: uno studente h l medi del 5,5 in 4 prove; qule voto minimo deve prendere nell verific successiv per ssicurrsi l medi del 6?. 6 b. 6,5 c. 7 d. 7,5 e. 8 Es.: il cmpo di vribilità dei vlori, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4,,,, è:. 8 b. c. 5 d. 7 e. non è clcolbile 7) CALCOLO COMBINATORIO e problemi di conteggio D n,k = numero delle disposizioni di k elementi scelti fr n elementi: è il numero di tutti i possibili gruppi che si possono formre con k elementi presi fr gli n (con k n), tli che ogni gruppo è diverso dgli ltri per gli elementi contenuti o per l ordine. Non sono mmesse ripetizioni di elementi in un gruppo. Dn, k = n( )( ) 4 n 4 n k fttori 4

25 D n,k = numero delle disposizioni con ripetizione di k elementi scelti fr n elementi: è il numero di tutti i possibili gruppi che si possono formre con k elementi presi fr gli n, tli che ogni gruppo è diverso dgli ltri per gli elementi contenuti o per l ordine. Sono mmesse ripetizioni di elementi in un gruppo. k D ' = n n, k P n = numero delle permutzioni di n elementi distinti: è il numero di tutti i possibili gruppi che si possono formre con n elementi, tli che ogni gruppo è diverso dgli ltri per l ordine. P n = nn n... = n N.B.:! =, 0! =. ( )( )! C n,k = numero delle combinzioni di k elementi scelti fr n elementi: è il numero di tutti i possibili gruppi che si possono formre con k elementi presi fr gli n (con k n), tli che ogni gruppo è diverso dgli ltri per gli elementi contenuti. Non sono mmesse ripetizioni di elementi in un gruppo. Non cont l ordine interno degli elementi. Dn, k n! n Cn, k = = = P k ( n k) k k!! n Il simbolo è un sinonimo di Cn,k ed è stto introdotto d Newton nell celebre formul per lo k sviluppo di ( + b) n. n n n n n n 0 n n 0 n ( + b) = b + b + b b (formul del binomio di Newton) 0 n n si legge n su k ed è detto coefficiente binomile. k Es.: Qunti sono i modi distinti di relizzre un poker d ssi (4 ssi e crt divers) scegliendo in un mzzo di 5 crte d gioco?. 48 b. c. 4 d. 6 e. quesito senz soluzione univoc o corrett Es.: per numerre le pgine di un libro sono stte uste in totle 97 cifre; le pgine del libro sono:. 97 b. meno di 00 c. meno di 000 d. più di 97 e. più di 000 Suggerimento: sicurmente meno di 97. Per le prime nove pgine servono 9 cifre; per le 90 pgine dll 0 ll 99 servono 80 cifre; per le 900 pgine dll 00 ll 999 servono 700 cifre (in tutto = 889 cifre fino pg. 999). Quindi le pgine sono meno di 97, m più di 000. Es.: Disponendo delle cifre d 7, qunti diversi numeri di cifre si possono comporre, ccettndo le ripetizioni?. 0 b. 50 c. 7 d. 7 e. infiniti Es.: qunti terne non ordinte si possono formre con le lettere dell lfbeto?. 600 b. 0 c. 6 d. e. 5

26 Es.: qunti sono i termini dello sviluppo di ( + b) 5?. 5 b. 5 c. 7 d. 6 e. 5 8) PROBABILITÀ n csi fvorevoli Probbilità di un evento =. n csi possibili L probbilità di un evento è sempre compres fr 0 e. Due eventi si dicono incomptibili se il verificrsi dell uno impedisce il verificrsi dell ltro. Due eventi si dicono indipendenti se il verificrsi dell uno non lter l probbilità che si verifichi l ltro. Teoremi per il clcolo dell probbilità di eventi composti Col connettivo o : p AoB = p A + pb se A, B sono incomptibili (o disgiunti) Col connettivo e : dove ( B A) ( ) ( ) ( ) p( AoB) p( A) + p( B) p( AeB) = se A, B sono comptibili ( AeB) p( A) p( B) ( AeB) p( A) p( B A) p = se A, B sono indipendenti p = se A, B sono dipendenti p è l probbilità che si verifichi B, spendo che si è già verificto A. Col connettivo non : p ( nona) = p( A) Es.: due ddi sono lnciti contempornemente. Qul è l probbilità di ottenere un punteggio mggiore di 4?. /6 b. 5/5 c. 5/6 d. 7/6 e. 4/6 Suggerimento: considerti i 6 csi possibili, i csi fvorevoli sono quelli scuri in figur: cioè 0 su 6. Allor l probbilità cerct è 5/ Es.: d un mzzo di 40 crte se ne estrggono ; qul è l probbilità che sino due figure, supponendo di non rimettere l prim crt estrtt nel mzzo?. 44/96 b. 4/0 c. /0 d. 44/600 e. 9/00 6

27 Suggerimento: occorre clcolre p(f e F), con F = l crt estrtt è un figur. Poiché non si rimette l prim crt estrtt nel mzzo, l composizione del mzzo risult vrit e pertnto l probbilità del secondo evento F dipende d qunto è vvenuto nell prim estrzione; in ltri termini i due eventi F sono dipendenti. Allor p ( FeF) = p( F) p( F F) = = Es.: in un urn ci sono 50 plline, di cui 0 rosse, 5 gille, 5 verdi. Prendendo cso un pllin dll urn, qul è l probbilità che non si verde?. 5/50 b. 0 c. d. 0/45 e. 9/ Suggerimento: p ( nonv ) = p( V ) = = Es.: dti tre mzzi di 40 crte ciscuno, qul è l probbilità di estrrre d ognuno di essi, contempornemente, l sso di picche o l sso di cuori?. /40 b. /0 c. /8000 d. /6.000 e. /40 Suggerimento: si A = dl mzzo esce l sso di picche o l sso di cuori, e così A e A. Dobbimo clcolre p(a e A e A). Le tre estrzioni sono fr loro indipendenti. Dunque: p(a e A e A) = p(a)p(a)p(a)= (/40 + /40) (/40 + /40) (/40 + /40)=(/40) = /8000. Es.: Luc rriv puntule l lvoro volte su 5 e, qundo è in ritrdo, viene scoperto dl suo superiore volt su 4. Qul è l probbilità che Luc veng colto in ritrdo dl suo superiore?. /0 b. 7/0 c. / d. /0 e. /0 Suggerimento: R = Luc rriv in ritrdo e S = Luc è visto dl suo superiore. Interess clcolre p(r e S)=p(R)p(S R)= 5 4 Es.: un monet è lncit 5 volte. Qul è l probbilità di ottenere croci e due teste, spendo che l prim volt si è ottenuto croce?. /6 b. /8 c. /6 d. 5/6 e. /8 Suggerimento: poiché l prim volt è uscito croce, occorre che or escno croci e teste: p(c e C e T e T)=p(C)p(C)p(T)p(T)=(/) 4 =/6. M le due croci e le due teste non necessrimente devono uscire nell ordine CCTT; potrebbe essere nche che escno nell ordine CTCT o CTTC o TTCC o TCCT o TCTC. In tutto in 6 possibili ordini. Quindi l probbilità richiest è 6/6. 7

28 Es.: supponimo di vere urne di cui l prim contiene plline rosse e nere, l second 5 rosse e 6 nere. Sceglimo cso un urn ed estrimo un pllin; l probbilità che l pllin estrtt si ross vle:. 8/7 b. /6 c. 5/ d. /44 e. /44 Suggerimento: p(ross) = p[(u e Ross) o (U e ross)] = p(u e Ross) + p(u e Ross) = = + = Es.: si hnno due ddi con le fcce di colori diversi. Ciscun ddo h fcce zzurre, mrroni e verde. L probbilità che dopo un lncio simultneo dei due ddi si ottengno fcce dello stesso colore è:. 7/8 b. 6/6 c. /4 d. /9 e. /6 Suggerimento: p[(a e A) o (M e M) o (V e V)]= p(a e A) + p(m e M) + p(v e V) = p(a)p(a)+ p(m)p(m)+ p(v)p(v)=(/6) +(/6) +(/6) Es.: in un popolzione l probbilità di essere pittore è 0,0. L probbilità di essere musicist è 0,05. L probbilità di essere pittore e musicist è 0,0. Qul è l probbilità che un individuo preso cso si pittore e/o musicist?. 7% b. 70% c. 8% d. 80% e. quesito senz soluzione univoc o corrett Suggerimento: essere pittore ed essere musicist sono eventi comptibili; quindi p(p o M) = p(p) + p(m) p(p e M) = 9) Equzioni di grdo e sistemi di equzioni grdo; disequzioni di grdo Ogni equzione di grdo è riconducibile ll form A x = B. Ess h un unic soluzione (si dice che l equzione è determint) se A 0. Se A = 0 e B = 0, l equzione h infinite soluzioni (è indetermint); Se A = 0 e B 0, l equzione non h soluzioni (è impossibile). Due equzioni, qulunque si il loro grdo, si dicono equivlenti se hnno le stesse soluzioni. Dto il sistem di equzioni: x + by = c ' x + b' y = c' esso è b c indeterminto se = = ' b' c' 8

29 b c impossibile se = ' b' c' b determinto se ' b' Disequzioni di grdo intere: vlgono i metodi usti per le equzioni di grdo, m ttenzione: qundo si moltiplicno/dividono entrmbi i membri per un numero negtivo, v invertito il verso dell disuguglinz ( > divent < e vicevers). Es.: il rettngolo dell figur h dimensioni e b, con >b. Qunto deve vlere x perché l re del prllelogrmm ombreggito si ugule ll re dell rimnente prte? +b. b. b/ c. /b d. b/ e. / x b Suggerimento: occorre che l re del prllelogrmmo, cioè x b si ugule metà dell re del b b rettngolo, cioè : bx =, quindi x = Es.: Dte le equzioni I) x = 4, II) x =, III) x = 4, sono equivlenti:. I e II b. I e III c. II e III d. Nessun e. Tutte Es.: il sistem di equzioni y = 4 x + 8 e x y = 4:. è impossibile b. è indeterminto c. h l sol soluzione (, ) d. h l sol soluzione (0, 8) e. h l sol soluzione (, 6) Suggerimento: le due equzioni si possono portre nell form cnonic: 4x y = 8 e x y = 4. Pertnto si vede che b c = = ; il sistem è quindi ' b' c' Es.: le soluzioni dell disequzione ( + )( x + ) < ( x + )( x + 4). x<- b. x>- c. x>-5/ d. x<-5/ e. -<x<5/ x sono: 9

30 0) EQUAZIONI di GRADO Un equzione di grdo si present nell form cnonic: x + bx + c = 0 ( 0) Può cpitre che b o c o entrmbi vlgno zero; l equzione può ssumere llor le seguenti forme: se b = 0: x +c = 0 (l equzione si dice pur e h due soluzioni opposte se e c sono c discordi, cioè x, = ± ; non h invece lcun soluzione rele, m due soluzioni immginrie se e c sono concordi); se c = 0: x +bx = 0 (l equzione si dice spuri e h sempre due soluzioni reli: x = 0 b e x = ) se b = 0 e c = 0: x = 0 (l equzione si dice monomi e h come unic soluzione x = 0) Se l equzione invece è complet, può essere risolt, oltre che trmite l scomposizione del trinomio (qudrto di binomio oppure trinomio prticolre di grdo d scomporre con somm e prodotto), medinte l formul risolutiv: b ± x, =, dove = b 4c è detto discriminnte dell equzione, perché second del suo segno cmbi il comportmento dell equzione per qunto rigurd le soluzioni (o rdici): se > 0, l equzione h soluzioni reli e distinte: x e x se = 0, l equzione h soluzioni reli e coincidenti: x = x se < 0, l equzione non h soluzioni reli, m h due soluzioni complesse e coniugte x e x (un numero si dice complesso se è dell form + ib, dove e b sono numeri reli ed i = è detto unità immginri; due numeri complessi dell form + ib e ib, che differiscono solo per il segno dell prte immginri, sono detti coniugti). N.B. se b è un numero pri, si può utilizzre l cosiddett formul risolutiv ridott, ottenut dividendo per il numertore ed il denomintore dell formul precedente: b ± x 4, = b (con = c). 4 4 x Es.: le soluzioni di + = x 9 x. ± b. ± c. ±4 d. ±5 e. non esistono sono: 0

31 4 x Es.: l disequzione 0: x. è verifict per -<x<+ b. è verifict per -<x<0 o 0<x<+ c. è verifict per x = ± d. è verifict per ogni x 0 e. è verifict per x<- o x>+ x + 0 Es.: l equzione = : x. è impossibile b. è indetermint c. mmette come soluzioni x = ± d. mmette come soluzione solo x = - x 0 e. è equivlente = x Suggerimento: poiché il numertore del membro è positivo (un rdice qudrt è sempre positiv!) ed è positivo pure il secondo membro, perché l uguglinz fr i due membri si possibile, è necessrio che il denomintore x si pure positivo e quindi x deve essere negtiv. Provndo sostituire - nell equzione, l uguglinz è verifict, quindi l rispost giust deve essere d. 4 Es.: se +x = 64 x 4, qunto vle x +? x. 4 b. 6 c. 65 d. 8 e. 45 Es.: il sistem 9x 4xy + 6y x = 4 y + = 0 :. h infinite soluzioni b. h due soluzioni distinte c. non h soluzioni d. h due soluzioni coincidenti e. h un sol soluzione Suggerimento: dll second equzione si h x 4y =, mentre dll prim (x 4y) =0, e quindi x 4y = 0. Dt l incomptibilità delle due equzioni, il sistem è impossibile. Es.: un numero intero è tle che il suo qudrto super di il numero stesso. Esso vle:. 4 b. - c. 4 o - d. non esiste un numero sifftto e. nessun delle ltre risposte

32 Es.: l equzione ( ) = + x :. non h soluzioni per ogni vlore di b. h soluzioni se e solo se > c. h soluzioni se e solo se < d. h soluzioni se e solo se e. nessun ffermzione è ver Es.: l equzione Ax + Bx + C = 0 in uno dei seguenti csi h sicurmente soluzioni nel cmpo rele. In qule cso?. A>0, B = 0, C<0 b. A<0, B = 0, C<0 c. A>0, B = 0, C>0 d. A>0, B>0, C>0 e. A>0, B<0, C>0 Es.: qul è il vlore di m tle che nell equzione x +mx = 0 le due soluzioni sino reli e coincidenti?. - b. c. 0 d. non esiste e. Suggerimento: è necessrio che = 0, cioè m + 8 = 0; m ciò è impossibile, perché l somm di due numeri positivi non può dre 0. Quindi non esiste lcun m tle che si soddisftt l richiest del problem. Osservzioni importnti: ) nel cso in cui l equzione mmett due soluzioni reli, è possibile trovre i vlori dell loro somm e del loro prodotto, senz risolvere l equzione; inftti: b s = x + x = c p = x x = Es.: qul è il vlore di m tle che nell equzione x +mx = 0 l somm delle soluzioni vlg?. - b. - c. d. e. non esiste b m Suggerimento: sppimo che l somm delle soluzioni è s = x + x = = = m. Poiché deve essere s =, llor srà m =, cioè m = -.

33 Es.: se l equzione x + mx + n = 0 h come rdici e 5, qunto vle il suo discriminnte?. 0 b. c. 5 d. 6 e. 6 Suggerimento: se le soluzioni sono e 5, llor s = 6 e p = 5. M dll teori ppen vist, b m c n s = = = m e p = = = n. Quindi, confrontndo le equzioni, si h che m = 6 (cioè m = -6) e n = 5. L equzione ssume llor l form x 6x + 5 = 0 ed il suo = 6 0 = 6. ) Regol di Crtesio per l determinzione dei segni delle soluzioni x e x : dt l equzione di grdo x + bx + c = 0, si gurdno nell ordine i segni di, b, c: ciò che interess è vedere se nel pssre d b c è un vrizione o un permnenz di segno (il segno cmbi o no?) e così nche nel pssre d b c. Ad ogni vrizione corrisponde un soluzione positiv; d ogni permnenz corrisponde un soluzione negtiv. Esempio: x + 7x = 0. I segni di, b, c sono: +, +, -. Dl primo l secondo c è un permnenz; dl secondo l terzo c è un vrizione. Allor l equzione vrà un soluzione negtiv e un positiv. x + 6x = 0. I segni di, b, c sono: -, +, -. Dl primo l secondo c è un vrizione; dl secondo l terzo c è un vrizione. Allor l equzione vrà due soluzioni positive. N.B.: l regol h senso solo se l equzione h due soluzioni reli: controllre prim che il si positivo. Es.: il sistem x + y = xy = con numero rele:. h soluzione per ogni vlore di b. h due soluzioni per ogni vlore di c. h soluzioni solo se è positivo d. h soluzioni solo se è negtivo e. h due soluzioni distinte se > o <- Suggerimento: o si risolve grficmente (iperbole, rett) o lgebricmente con sostituzione; si rriv ll equzione x x + = 0, il cui vle 4. Si vede che esso è positivo, e quindi grntisce due soluzioni distinte, solo se è esterno ±. Es.: se l equzione x kx + 4 = 0 h un soluzione ugule, qunto vle l ltr?. b. /4 c. 4/ d. e. 5

34 c Suggerimento: poiché il prodotto delle due soluzioni vle x x = = 4 e x =, llor x = 4; perciò, x = 4 Es.: l equzione x 6 = 9 è verifict:. mi b. per x = c. per x = - d. per x = ± e. per x = Es.: le soluzioni di x + x 4x 4 = 0:. sono,, b. sono -,-,- c. sono (doppi) e - d. sono -,-, + e. non esistono Es.: il polinomio x 4 + 5x = 0 con numero rele:. è irriducibile per ogni vlore di b. h come zero x = in corrispondenz di un vlore di positivo c. h come zero x = - in corrispondenz di = -4 d. h come zero x = in corrispondenz di = -4 x x 5 per ogni vlore di e. si scompone in ( )( ) DISEQUAZIONI DI GRADO: Per risolvere disequzioni del tipo x + bx + c > 0 ( <,, ): trovre il dell equzione di grdo ssocit ll disequzione; successivmente, se: >0 <0 =0 trovre x e x. Le soluzioni dell Il trinomio è riconducibile d Le soluzioni dell disequzione srnno tutti un qudrto di binomio e disequzione srnno i vlori interni o esterni d x e x, secondo l regol del DICE: Discordi i reli (R) o l insieme vuoto ( ) secondo l regol del CReD : Concordi R quindi è sicurmente un numero non negtivo (cioè è nullo o positivo). Si presentno llor 4 possibili csi: ) ( x n) > 0 Interne Discordi S = R- {n} Concordi ) ( x n) 0 Esterne S = R Cioè se il segno di e il ) ( x n) < 0 segno del trinomio (>0, <0) sono discordi, llor le S = soluzioni srnno interne 4) ( x n) 0 d x e x, cioè S = {n} x < x < x ; vicevers, srnno esterne, cioè x < x x > x 4

35 Se nell disequzione compiono o, nche nelle soluzioni si ggiungono i segni di uguglinz: x x x x x x x NB: questo è uno dei possibili metodi; è possibile nche usre un metodo grfico, che f riferimento ll prbol. NB: il clcolo del è inutile qundo si vedono occhio i vlori di x ed x : già il ftto che vi sino due soluzioni distinte signific che >0 e quindi si utilizz l regol del DICE. NB: sono frequenti disequzioni del tipo x + >0, in cui l somm dei termini nel primo membro è plesemente un numero positivo, qulunque si il vlore di x. Pertnto le soluzioni sono tutti i reli, senz fre lcun clcolo. Es.: l disequzione ( + )( x 4) 0. x - b. x 4 c. - x 4 d. x - o x 4 e. x x è soddisftt per: Es.: l disequzione x < 4 è verifict per:. ogni vlore rele di x b. nessun vlore rele di x c. tutti i vlori compresi nell intervllo (-;+) d. tutti i vlori esterni ll intervllo (-;+) e. x<- Es.: l disequzione x 5x + 6 > 0 è verifict per:. ogni x rele b. x> c. x< d. <x< e. x< o x> Es.: l doppi disequzione 4 <x < 9 è verifict per:. -<x<- b. <x< c. -<x<- o <x< d. -<x< e. -<x< 5

36 Es.: le soluzioni dell disequzione x >0 sono:. ogni x rele b. x>0 c. x>±0 d. x 0 e. x<0 x x x + Es.: l disequzione 0 ( )( ). x < - o < x b. x - o < x c. < x < d. - < x < o x e. - < x < e x è verifict per: 9 x Es.: l disequzione 0 + x. x<- o x> b. -<x< c. x d. x x e. mi è verifict per: Es.: l disequzione ( 6)( 4 x ) < 0. x < 6 < x < x > 6 b. x < 6 x > 6 c. < x < d. nessun vlore rele di x e. ogni vlore rele di x x è verifict per: Es.: il sistem di disequzioni x 6 > 0 4 x > 0. x < 6 < x < x > 6 b. x < 6 x > 6 c. < x < d. nessun vlore rele di x e. ogni vlore rele di x è verificto per: 6