Rappresentazione delle CONICHE

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1 Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI II A.A. 007/008 e QUADRICHE Ing. Roerto Loi Generlità Si definiscono coniche le curve pine risultto dell interseione di un pino con un cono Se β > α ellisse Se β = 90 circonferen 1

2 Generlità Se β < α Iperole Se β = α Prol Generlità Coniche Degeneri Pini pssnti per il vertice

3 Generlità Le coniche sono curve del pino venti equione del tipo f(,) = 0, dove f(,) èun polinomio coefficienti reli di secondo grdo nelle vriili e L equione generle dell conic è: + + c + d + e + f =0 dove,, c, d, e, f, sono numeri reli e lmeno uno tr,, c, è diverso d ero se - 4c < 0 ELLISSE se - 4c = 0 PARABOLA se - 4c > 0 IPERBOLE Prol L equione generle: ASSE VERTICE FUOCO DIRETTRICE = + + c = Δ ; 4 1 Δ ; 4 1+ Δ ; 4 3

4 Prol Esempi: = = 4 + Circonferen Equione generle: c = 0 CENTRO ( 0; 0) = ; RAGGIO 1 r = + c = + 4c Form cnonic: ( - 0 ) + ( - 0 ) = R Equione prmetric: = R cost = R sent 4

5 Circonferen Esempi: + -5 = =0 Ellisse Form cnonic : + = 1 Equione ELLISSE con centro diverso dll origine degli ssi: ( ) ( = ) 1 Equione prmetric: = cost = sent 5

6 Ellisse Esempi: = 1 Ellisse Esempi: =0 Centro (1,-3) Semissi 11 = = 11 6

7 Iperole L equione generle: = 1 sintoti: = ± Equione IPERBOLE con centro non nell origine degli ssi: ( ) ( 0 0 = ) 1 sintoti = ± ( 0) 0 Iperole = 1 3 f ( ) g ( ) p ( ) q ( ) Esempio: =5 e =

8 Iperole Esempio: = 0 Iperole IPERBOLE EQUILATERA = = 1 = sintoti = ± Esempio: = 4 8

9 Iperole IPERBOLE EQUILATERA con sintoti prlleli gli ssi coordinti = k Rppresentione delle Qudriche Generlità Un qudric è un superficie di equione crtesin f(,, ) = 0 dove f(,,) è un polinomio di grdo nelle vriili,,. L equione nell form generle si può scrivere: c d e f g h i m = 0 9

10 Rppresentione delle Qudriche Generlità Dt un qudric in form generle, si può dimostrre che esiste un nuovo riferimento O XYZ (rototrslto rispetto O) nel qule l equione dell qudric ssume un delle due forme cnoniche: 1) X + Y + Z = α β γ δ ) + = α X βy δz Rppresentione delle Qudriche Generlità 1) X + Y + Z = α β γ δ ) + = α X βy δz Se α, βγδ,, 0 l qudric si dice non degenere e Dll 1) si ottengono: 1.1) X Y Z + + = 1 c 1.) X Y Z + = 1 c 1.3) X Y Z = 1 c ELLISSOIDE IPERBOLOIDE A UNA FALDA IPERBOLOIDE A DUE FALDE 10

11 Rppresentione delle Qudriche Generlità 1) X + Y + Z = α β γ δ ) + = α X βy δz Se α, βγδ,, 0 l qudric si dice non degenere e Dll ) si ottengono: X Y.1) + = Z PARABOLOIDE ELLITTICO X Y.) = Z PARABOLOIDE IPERBOLICO o sell Rppresentione delle Qudriche Ellissoide Superficie dt dll'equione ridott: + + c = 1 I numeri,, c si chimno semissi dell'ellissoide Se intersechimo l'ellissoide con il pino = h ottenimo + h = 1 c Si trtt di un ellisse ( punti reli) se h / c < 1, ossi c < h < + c In modo nlogo si rgion per pini del tipo = h ; = h 11

12 Rppresentione delle Qudriche Ellissoide Ellissoide di Rotione Se due dei semissi sono uguli, l ellissoide è un superficie di rotione ttorno uno degli + ssi. Ad esempio se = l'equione divent: + = 1 c Rppresentione delle Qudriche Sfer Se = = c = r si ottiene l equione di un sfer: + + = r 1

13 Rppresentione delle Qudriche Proloide Ellittico Proloide Ellittico Superficie dt dll'equione ridott: = + L interseione del proloide con i pini = h sono prole con sse prllelo ll sse,nlogmente con i pini = h. L interseione del proloide con i pini = h sono ellissi. Se = si ottiene un proloide di rotione di equione: + = Proloide rotondo Rppresentione delle Qudriche Proloide rotondo Se = si ottiene un proloide di rotione di equione: + = L interseione del proloide con i pini = h sono prole con sse prllelo ll sse,nlogmente con i pini = h. L interseione del proloide con i pini = h sono cerchi. 13

14 Rppresentione delle Qudriche Proloide Rotondo Prolidi del tipo: = α( + ) α = α = 1 α = 1/ α = 1/10 Rppresentione delle Qudriche Prolide Iperolico (Proloide sell) Superficie dt dll'equione ridott: = + Le interseioni con i pini = h, = h sono prole con sse prllelo ll sse le prime con concvità rivolt verso l lto le seconde con concvità rivolt verso il sso Le interseioni con i pini = h sono iperoli h > 0 sse trverso // H < 0 sse trverso // 14

15 Rppresentione delle Qudriche Cono Cono Ellittico Superficie dt dll'equione ridott: + c = ± + 1 = 0 Le interseioni con i pini = h sono degli ellissi. 1 Se = Cono Rotondo: Le interseioni con i pini = h sono delle circonferene + = r Rppresentione delle Qudriche Iperoloide un fld Superficie dt dll'equione ridott: + c = 1 Le interseioni con i pini = h sono degli ellissi. Le interseioni con i pini = h, = h sono delle iperoli, queste sono equiltere se: = c per i pini = h = c per i pini = h = Iperoloide di rotione un fld Le interseioni con i pini = h sono circonferene + = r 15

16 Rppresentione delle Qudriche Iperoloide due flde Iperoloide due flde Superficie dt dll'equione ridott: + = 1 Le interseioni con i pini = h, = h sono iperoli. Le interseioni con i pini = h, ellissi: = Iperoloide di rotione Le interseioni con i pini = h sono circonferene c Rppresentione delle Qudriche Iperoloide due flde Iperoloide due flde Superficie dt dll'equione ridott: + c = 1 (0,0,c) Le interseioni con i pini = h, = h sono iperoli. Le interseioni con i pini = h, ellissi, i quli esistono solo per h /c > 1 (0,0,-c) = Iperoloide di rotione Le interseioni con i pini = h sono circonferene 16

17 Rppresentione delle Qudriche Cilindro Cilindro ellittico Superficie dt dll'equione ridott: + = 1 Le interseioni con i pini = h sono degli ellissi. = Cilindro di rivoluione (Rotondo) Le interseioni con i pini = h sono circonferene + = r Rppresentione delle Qudriche Cilindro Prolico Cilindro Prolico Superficie dt dll'equione ridott: = 17

18 Rppresentione delle Qudriche Cilindro Prolico = c Cilindro Prolico = c 18