Analisi II, a.a Soluzioni 7

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1 Anlisi II, Soluioni 7 ) Trovre tutte le funioni (x, y, ) C (R 3 ) tli che l form differenile y dx + x dy + (x, y, ) d si estt, e clcolre tutte le primitive. Allo stesso modo, trovre tutte le funioni (y), b(x) C (R) tli che l form differenile (y) dx + b(x) dy si estt, e clcolre tutte le primitive. L prim form, supponendo regolre, è definit su tutto R 3 (semplicemente connesso) quindi è estt se e solo se è chius. Le condiioni di chiusur sono D 2 y = D x, D 3 y = D, D 3 x = D 2 ; l prim è verifict, l second e l ter si riducono D = D 2 = cioè (x, y, ) = () è indipendente d x e d y. In ltri termini l form è (chius e) estt se e solo se l funione dipende soltnto dll vribil. Allor un primitiv è un soluione f(x, y, ) del sistem D f = y, D 2 f = x, D 3 f = (); l prim equione implic f(x, y, ) = xy + φ(y, ), espressione che introdott nell second equione dà x + D 2 φ = x ossi φ(y, ) = φ() non dipende d y; infine introducendo l espressione f(x, y, ) = xy + φ() nell ter equione ottenimo φ () = () ossi in conclusione f(x, y, ) = xy + φ(), φ() primitiv di () (nturlmente questo vuol dire φ() = + C). Pssimo ll second form. Anche qui, se supponimo di cercre funioni regolri, l form è definit su tutto R 2 e quindi è chius se e solo se è estt. L condiione di chiusur D 2 (y) = D b(x) dice che queste due derivte sono uguli per ogni scelt delle vribili x e y, quindi esse devono essere costnti (se non lo fossero, fcendo vrire x m non y ottenimo un ssurdo). Quindi si h piú precismente D 2 (y) = D b(x) = C e questo implic (y) = Cy + A, b(x) = Cx + B per tre costnti rbitrrie A, B, C. Cerchimo un primitiv f(x, y), quindi risolvimo dll prim si h che introdott nell second produce con D costnte rbitrri. In conclusione D f = (y) = Cy + A, D 2 f = b(x) = Cx + B; f(x, y) = Cxy + Ax + φ(y) Cx + φ (y) = Cx + B = φ(y) = By + D f(x, y) = Cxy + Ax + By + D. 2) Si f : [, b] R un funione di clsse C strettmente positiv. Dimostrre che l re del sottogrfico E di f è ugule xdy dove è il bordo di E percorso un volt in senso ntiorrio. (Si può nche esprimere come ydx o nche 2 (xdy ydx); il risultto è sempre lo stesso). Se speimo in quttro prti (lto verticle sinistro; lto verticle destro; bse [, b]; lto curvo superiore) l integrle xdy è ugule ll somm degli integrli sui quttro pei. Clcolimoli seprtmente. A questo scopo sceglimo per ciscun peo l prmetriione piú comod.

2 2 L bse [, b] lungo l sse delle x si può scrivere come il lto destro verticle, si può scrivere come (t) = (t, ), t b; 2 (t) = (b, t), t f(b). Il lto curvo superiore nturlmente è proprio il grfico di f, quindi in form prmetric è del tipo (t, f(t)); m dobbimo percorrerlo d destr verso sinistr, quindi d esempio possimo scriverlo come 3 (t) = ( t, f( t)), b t (notre che in questo modo l estremo iniile per t = b è proprio (b, f(b)) mentre l estremo finle per t = è (, f())). Infine il lto sinistro verticle, che dobbimo percorrere in disces, si può scrivere come 4 (t) = (, t), f() t. Pssimo l clcolo diretto: bbimo subito xdy = t dt =, f(b) xdy = b dt = bf(b). 2 Inoltre possimo scrivere xdy = ( t) ( f ( t)) dt = sf (s)ds 3 b dopo il cmbimento di vribile s = t; integrndo per prti ottenimo e in conclusione Infine sf (s)ds = sf(s) s=b s= + f(s)ds 3 xdy = xdy = 4 Sommndo i quttro pei ottenimo Le ltre formule si dimostrno in modo identico. f(s)) ds + f() bf(b). f() xdy = ( ) dt = f(). f(t) dt. 3) Clcolre l integrle delle seguenti forme lungo l circonferen di centro l origine e rggio 2 dl punto (2, ) l punto (, 2) in senso ntiorrio [suggerimento: in qulche cso, conviene scegliere un cmmino piú comodo o ddirittur trovre un primitiv...] ω = xdx + ydy x2 + y, ω = y sin(xy)dx + x sin(xy)dy, ω = 4x3 dx + 4y 3 dy 2 x 4 + y 4. L rco di circonferen si può descrivere come (t) = (2 cos t, 2 sin t), t π 2. Il primo integrle si clcol fcilmente in modo diretto: xdx + ydy π/2 x2 + y = 4 cos t sin t + 4 sin t cos t dt =. 2 2 Il secondo no: il clcolo diretto gener un espressione complict. Molto meglio cercre un primitiv, se possibile. Verifichimo se l form è chius: D 2 (y sin(xy)) = sin(xy) + xy cos(xy), D (x sin(xy)) = sin(xy) + xy cos(xy)

3 ossi l form è chius e definit su R 2 e quindi è nche estt. Un primitiv si determin subito ed è f(x, y) = cos(xy) e llor l integrle si clcol immeditmente come y sin(xy)dx + x sin(xy)dy = f(, 2) f(2, ) = cos( 2) + cos(2 ) = + =. Anche l ter form è chius (omettimo l verific). Essendo definit solo su R 2 \ (, ) potrebbe non essere estt su tutto l insieme di definiione, m sicurmente lo è su un perto semplicemente connesso che contiene il cmmino considerto (d esempio il primo qudrnte). Quindi in un intorno di non bbimo problemi e un primitiv si può sicurmente trovre; è fcile clcolrl e ottenimo e quindi f(x, y) = log(x 4 + y 4 ) 4x 3 dx + 4y 3 dy x 4 + y 4 = f(, 2) f(2, ) = log(6) log(6) =. Post scriptum: non tutti gli integrli di forme differenili fnno... 4) (i) Se f() è olomorf, l funione f() è olomorf? e l funione f()? (ii) Clcolre i seguenti integrli complessi lungo l circonferen di centro e rggio 2 (percors un volt in senso ntiorrio): d, + d ( 3 )d, ( 3 )d. (i) Se f() = u(x, y) + iv(x, y) è olomorf, vlgono le condiioni di Cuchy Riemnn or possimo scrivere u x (x, y) v y (x, y), u y (x, y) v x (x, y); f() = f(x iy) = u(x, y) + iv(x, y) e chirmente quest nuov funione non verific le condiioni di Cuchy Riemnn, d esempio x (u(x, y)) = u x (x, y), y (v(x, y)) = v y (x, y) u x (x, y) non sono uguli (lo stesso dicsi per l second condiione). Invece per l funione f() bbimo e stvolt le condiioni sono verificte: x (u(x, y)) = u x (x, y), cioè x (u(x, y)) = y ( v(x, y)), e y (u(x, y)) = u y (x, y), f() = f(x iy) = u(x, y) iv(x, y) y ( v(x, y)) = v y (x, y) u x (x, y) x ( v(x, y)) = v x (x, y) u y (x, y) cioè y (u(x, y)) = x ( v(x, y)). In conclusione, se f() è olomorf, llor f() non lo è mentre f() è olomorf. (ii) Come è noto (e si può verificre immeditmente) d = 2πi su ogni curv che gir un volt in senso ntiorrio intorno ll origine, in prticolre sull circonferen dt. Invece l integrle su di un funione olomorf ll interno dell circonferen f. Quindi bbimo immeditmente + d = d + d = 2πi + = 2πi e nche ( 3 )d =. 3

4 4 Invece per il qurto integrle ( 3 )d = d perché 3 è olomorf m no, e quindi il secondo integrle potrebbe essere diverso d. Inftti 2π 2π d = 2e it 2ie it dt = 4i e it e it dt = 8πi e in conclusione ( 3 )d = 8πi. Per finire studimo il primo integrle. L sostituione dirett port d un integrle in ppren intrttbile. M ci sono molti modi lterntivi di clcolrlo! Ad esempio si può osservre che l formul di Cuchy pplict ll funione olomorf f() = nel punto = dà subito f() = 2πi d e dto che f() = ottenimo d = 2πi. Un modo piú interessnte è il seguente (nche se qulche dettglio ndrebbe precisto in modo piú rigoroso): se scrivimo = ! + 3 3! +... vedimo che ossi = + + 2! + 2 3! +... = + funione olomorf e quindi... Nturlmente in questo rgomento il pssggio mncnte è l dimostrione che l serie dà effettivmente un funione olomorf. Qulche ide? 5) Dimostrre che non esiste nessun funione olomorf f() tle che R(f()) = 3x 2 + y 2. Trovre due funioni continue su C l cui prte rele è 3x 2 + y 2. Si f() = 3x 2 + y 2 + i v(x, y). Se f fosse olomorf, dovrebbero vlere le equioni di Cuchy-Riemnn, e quindi v x (x, y) = 2y e v y (x, y) = 6x. Equivlentemente, v dovrebbe essere un funione il cui grdiente v è ugule ( 2y, 6x). Dl momento che l form differenile ω(x, y) = 2y dx + 6x dy non è estt (non essendo chius), un tle funione non esiste. Se ϕ(x, y) è un qulsisi funione continu su R 2, l funione f() = f(x + iy) = 3x 2 + y 2 + i ϕ(x, y) h come prte rele 3x 2 + y 2 ed è continu. 6) Determinre un funione (non null) φ : R R di clsse C 2 tle che u(x, y) = φ(x) sen(y) si l prte rele di un funione olomorf su C. Successivmente, determinre lmeno un funione olomorf di cui u si l prte rele. Si f() = ϕ(x) sen(y) + i v(x, y). Chiedere che f si olomorf è equivlente chiedere che ϕ si C (R), che v si C (R 2 ) e che vlgno le equioni di Cuchy-Riemnn. In prticolre, deve essere v(x, y) = (v x (x, y), v y (x, y)) = ( ϕ(x) cos(y), ϕ (x) sen(y)). Equivlentemente, deve essere estt su R 2 l form differenile ω(x, y) = ϕ(x) cos(y) dx + ϕ (x) sen(y) dy. Essendo R 2 semplicemente connesso, condiione necessri e sufficiente ffinché ω si estt è che si chius. Pertnto, deve essere ϕ(x) sen(y) = ϕ (x) sen(y), ovvero ϕ (x) = ϕ(x), d cui ϕ(x) = A e x + B e x, con A e B costnti reli (che sceglimo diverse d (, ) se voglimo ϕ non null). Per determinre un funione f() di cui u si l prte rele, prendimo A = e

5 5 B = e trovimo u(x, y) = e x sen(y), d cui ( meno di costnti rbitrrie) v(x, y) = e x cos(y). Pertnto f() = e x (sen(y) i cos(x)) = i. 7) Clcolre, l vrire di n, dimostrndo che si h I n = I n = i 2π e successivmente clcolndo quest ultimo integrle. [2 cos(θ)] 2n dθ, ( + ) 2n, = eiθ, θ [, 2π], Lungo l curv si h, ricordndo che 2 cos(θ) = e i θ + e i θ, I n = 2π come volevsi dimostrre. Essendo ( + ) 2n = si h 2n k= [e i θ + e i θ ] i dθ = i 2π ( ) ( ) 2n k 2n k = k I n = 2n k= ( ) 2n k [2 cos(θ)] 2n dθ, 2n k= ( 2n k 2n+ 2k. ) ( ) 2n 2k, È fcile vedere che l integrle è diverso d ero se e solo se 2n + 2k =, ovvero se e solo se k = n. Pertnto, ( ) 2n I n = 2π i = 2π i (2n)! n (n!) 2. 8) Clcolre ( 2 + ), dove è l circonferen di centro l origine e rggio 4, percors in senso ntiorrio. L curv gir intorno ll origine, = i e = i. Inoltre, ( 2 + ) = i 3 2 i, e quindi ( 2 + ) = i 3 2 i. Dl momento che tutti e tre gli integrli vlgono 2π i (essendo uguli 2π i volte il vlore dell funione g() in, i e i), ( 2 + ) = 2π i. 9) Verificre se l seguente form differenile è estt: [sin(x + y) sin x sin ]dx + [sin(x + y) cos(y )]dy + [cos x cos + cos(y )]d. In cso ffermtivo determinrne tutte le primitive. L form differenile ssegnt è definit in R 3. Verificrne l chiusur in R 3 corrisponde verificre che in R 3 vlgno le seguenti tre ugugline: [sin(x + y) sin x sin ] [sin(x + y) sin x sin ] = cos(x + y) = = sin x cos = [sin(x + y) cos(y )] x [cos x cos + cos(y )] x

6 6 [sin(x + y) cos(y )] [cos x cos + cos(y )] = sin(y ) =. Quindi l form è chius in R 3, semplicemente connesso, e dunque estt. Ricerchimone tutte le primitive F (x, y, ). Per prim cos: F (x, y, ) = (sin(x + y) sin x sin )dx = cos(x + y) + cos x sin + g(y, ), quindi derivndo rispetto y l espressione ppen ricvt per F si h F = sin(x + y) + g che ffinchè F si un primitiv dell form deve essere ugule sin(x + y) cos(y ) d cui si deduce che g = cos(y ) e quindi che g(y, ) = sin(y ) + h(). Rissumendo per or sppimo che F (x, y, ) = cos(x + y) + cos x sin sin(y ) + h(). L funione h sr determint prtire dll ultim condiione su F. Per prim cos derivndo rispetto l espressione ppen ricvt per F si h: F dh = cos x cos + cos(y ) + d che ffinchè F si un primitiv dell form deve essere ugule cos x cos + cos(y ), uguglindo gli ultimi due membri si h che dh d = e quindi che h è costnte. Rissumendo tutte le primitive sono dell form F (x, y, ) = cos(x + y) + cos x sin sin(y ) + c, dove c è un costnte rbitrri. ) Si T l ellisse vente come ssi di simmetri gli ssi coordinti del pino xy e pssnte per i punti (2, ) e (, ), percors in senso ntiorrio, si clcoli I = (x 3 + y 2 )dx + (x 2 + y 3 )dy. T Se l form fosse estt in un perto contenente l ellisse pien, l integrle richiesto (essendo clcolto su un curv chius) srebbe ugule. Purtroppo l form non è estt in nessun perto contenente l ellisse ed i suoi punti interni, non essendo ivi nenche chius inftti (x3 +y 2 ) = 2y (x2 +y 3 ) x = 2x. Per poter clcolre l integrle si deve perció procedere ll prmetriione dell curv : (x(t), y(t)) = (2 cos t, sin t), t [, 2π] e clcolre: I = = 2π 2π { [8(cos t) 3 + (sin t) 2 ]2 sin t + [4(cos t) 2 + (sin t) 3 ] cos t}dt = { 6(cos t) 3 sin t + (sin t) 3 cos t 2(sin t) 3 + 4(cos t) 3 }dt = = 4(cos t) 4 + [ 4 (sin t)4 + 4 sin t ] 3 (sin t)3] 2[ 3 (cos 2π t)3 cos t =. Quindi in questo cso l integrle I lungo un curv chius è ero nche se l form non è estt.