METTITI ALLA PROVA. b) i reciproci dei valori delle radici dell equazione 8 9, 2 3 ; 1 0

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1 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Mettiti ll prov METTITI ALLA PROVA Dimostr che h k, b hk e c h k costituiscono un tern pitgoric h, k R con k h Determin poi l tern pitgoric corrispondente i vlori di h e k,soluzioni dell equzione 3 4 (Suggerimento Ricord che, b e c formno un tern pitgoric se vle l uguglinz b c ) 6 Senz risolvere l equzione b c 0, scrivi l equzione di secondo grdo che h per rdici: ) gli opposti dei vlori delle rdici dell equzione dt; b) i reciproci dei vlori delle rdici dell equzione dt; 8 9, 3 ; 0 9 c) le rdici dell equzione dt moltiplicte per un numero k; d) le rdici dell equzione dt umentte di k Piegndo un foglio di crt rettngolre, è possibile dividerlo in due prti rettngolri uguli fr loro e simili l foglio originrio? Clcol, se è possibile, il rpporto fr i lti del foglio di crt [) b c 0; b) c b 0; c) kb k c 0; d) (b k) c kb k 0] detti e l i lti, l 7 TEST Qule dei seguenti numeri non può essere scritto nell form b b con e b interi positivi? 3 TEST Sino, b, c numeri non nulli e si consideri l equzione di secondo grdo b 5 7 A D c 0 Si dic se l somm dei reciproci delle 4 rdici di tle equzione è ugule : b 0 9 B E c A C E b c 3 b c 7 C B D b 3 (Olimpidi dell mtemtic, Giochi di Archimede, 999) 4 5 (Olimpidi dell mtemtic, Gr Senior, 990) Determin per quli vlori di R le soluzioni dell equzione rppresentno i lti di un rettngolo, poi clcol re e perimetro di tle rettngolo Per qule vlore di il rettngolo divent un qudrto? (Suggerimento Utilizz l formul reltiv somm e prodotto delle rdici) 0; p ( ); A ; Nell equzione 7 3 0, senz clcolre le soluzioni, trov: ) ( ) 3 ; b) ) 7 4 ;b) TEST Qule numero diverso d 0 è tle che l su decim prte egugli dieci volte il qudrto del numero stesso? 00 A B C D E (Olimpidi dell mtemtic, Giochi di Archimede, 999) Verific che esiste un rettngolo R che si ottiene come somm di un qudrto Q e di un ltro rettngolo R simile RClcol inoltre il rpporto, detto rpporto ureo, tr i due lti di R detti e l i suoi lti, l 5 Esistono bsi in cui l espressione risult corrett? (Gr Kngourou di mtemtic, Ctegori Junior, 004) [sì, l bse 6] Copyright 0 Znichelli editore SpA, Bologn [68 der] Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi

2 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Mettiti ll prov A B C D E TEST Dt l equzione y y 0, qule delle seguenti ffermzioni è corrett? Esiste un vlore di che è soluzione dell equzione per ogni vlore di y Per ogni vlore di y vi è lmeno un vlore di che risolve l equzione Per ogni vlore di y esistono due vlori distinti di che risolvono l equzione Per ogni vlore di esiste un vlore di y che risolve l equzione Esiste un vlore di y che è soluzione dell equzione per ogni vlore di (Olimpidi dell mtemtic, Gr Provincile, 995) TEST Un foglio di crt rettngolre di misur 6 cm cm è piegto lungo l su digonle Le due prti non sovrpposte vengono tglite vi e poi si ripre il foglio ottenendo così un rombo Qul è l lunghezz del lto del rombo? A 3,55 cm B 7,35 cm C 7,5 cm D 7,85 cm E 8, cm (Gr Kngourou di mtemtic, Ctegori Junior, 003) 3 TEST Qunte sono le coppie (; y) di numeri reli che soddisfno l equzione ( y) ( 3)(y 3)? (Suggerimento Poni X 3 e Y y 3 e sostituisci) A 0 B C D 3 E Infinite (Gr Kngourou di mtemtic, Ctegori Junior, 003) Copyright 0 Znichelli editore SpA, Bologn [68 der] Questo file è un estensione online dei corsi di mtemtic di Mssimo Bergmini, Ann Trifone e Grziell Brozzi

3 Mettiti ll prov - Equzioni grdo Verifichimo che b =c h k hk =h k h 4 h k k 4 4 h k =h 4 h k k 4 ver h, k R, k h Risolvimo: 3 4 =0 = ±4 3 = ± 3 3 Ponendo h= /3, k=, ricvimo: = ; = 3 =h k = 9 = 8 9 ; b= hk= 3 ; c=h k = 9 = 9 Inftti: = 0 8 = 9 cvd Se l è il lto mggiore, deve essere: 3 = = b/ c/ = b c l = l / (rispost b) = l = l 4 Scrivendo l'equzione nell form =0 è evidente, nche senz utilizzre l formul risolutiv, che le soluzioni sono =, =, in qunto hnno somm e prodotto uguli b/ e c/ rispettivmente Poiché l lunghezz di un segmento deve essere un numero positivo, imponimo 0 (il cso =0 rppresent un rettngolo che degener in due segmenti sovrpposti) E' evidente che p rett =, Are rett = Il rettngolo è un qudrto se = =/ 5 3 = 3 c = = 7 4 ; = = = b / c/ c/ = b c = = Ricordimo che l'equzione di secondo grdo che h rdici e può essere scritt nell form: =0 Quindi: Le rdici sono e ; l'equzione è: =0 =0 bc=0 b Le rdici sono / e /, che hnno somm e prodotto rispettivmente: = = b c ; = = c

4 L'equzione è quindi: b c c =0 c b=0 c Le rdici sono k e k, che hnno somm k e prodotto k L'equzione è quindi: kbk c=0 d Le rdici sono k e k Esse hnno rispettivmente somm e prodotto: k ; k k L'equzione è quindi: b k c k b k =0 b k c bkk =0 7 Scrivimo b b = b b Osservimo che, se b=3, deve essere =3 e b= (o vicevers) M, in questo cso, si vrebbe: b = Quindi non possimo scrivere in quest form il numero 7/3 (rispost c) 8 Vedi es n 5 pg 956 del libro di testo 9 Se l è l lunghezz del lto mggiore, vremo: l = l l l =0 = l±l 4l = 5 l (l soluzione negtiv non h significto geometrico) l- l Indicndo con n l bse, l'operzione divent: n5 =3 n n n n5=3 n n n 4 n =0 n 6n=0 d cui: n=6 (L soluzione n= non h significto) Vedi es n 5 pg 956 del libro di testo Fcendo riferimento ll figur, ponimo DP=, e quindi PC= Per Pitgor bbimo: AP= 6 Poiché è semplice dimostrre che il qudriltero ottenuto è un rombo, deve essere AP=PC 36= Elevimo l qudrto: 36= =8 =4,5 l=pc= 4,5=7,5cm (rispost c) 3Come suggerito dl testo, ponimo: X =3 = X 3 ; Y = y 3 y=y 3 L'equzione divent: X 3Y 3 = XY X XY Y = XY X XY Y =0 Si che considerimo come incognit X che Y, l'equzione ottenut h discriminnte negtivo, e quindi non esistono numeri reli che soddisfno l'equzione ssegnt (rispost )

5 Bergmini - Mettiti ll prov Equzioni di secondo grdo - pg 956 Esercizio n 5 Dt l'equzione y y=0, qule delle seguenti ffermzioni è corrett? Esiste un vlore di che è soluzione dell'equzione per ogni vlore di y b Per ogni vlore di y vi è lmeno un vlore di che risolve l'equzione c Per ogni vlore di y esistono due vlori distinti di che risolvono l'equzione d Per ogni vlore di esiste un vlore di y che risolve l'equzione e Esiste un vlore di y che è soluzione dell'equzione per ogni vlore di [Olimpidi dell Mtemtic - Gr Provincile 995] Osservimo che le prime tre risposte richiedono di considerre come incognit l vribile, mentre nelle ultime due l'incognit è l y Nel primo cso, si trtt di un equzione di secondo grdo in, l cui soluzione è: ±4 y = y per y 0 Invece, per y=0, l'equzione è di primo grdo e mmette l soluzione =0 Osservimo che il discriminnte è strettmente positivo, in qunto somm di qudrti Nel secondo cso, si trtt invece di un equzione di primo grdo in y, vente soluzione: y= per y ± Vedimo quindi cos possimo ffermre delle vrie risposte: E' errt, perché fferm che il vlore di che risolve l'equzione si sempre lo stesso, nche l vrire di y b E' corrett, in qunto si per y 0 che per y=0 l'equzione mmette soluzioni in c E' errt, in qunto per y=0 l'equzione mmette l'unic soluzione =0 d E' errt, in qunto per =± l'equzione non mmette soluzioni in y e E' errt, in mnier nlog ll rispost Esercizio n 5 Qule numero diverso d zero è tle che l su decim prte egugli dieci volte il qudrto del numero stesso? [Giochi di Archimede 999] A 0 B C D E

6 Indicndo con il numero richiesto, impostimo l'equzione: = 0 =0 =0 non cc; = 0 E' quindi corrett l rispost Esercizio n 53 Risolvi l'equzione di secondo grdo =0, utilizzndo l notzione esponenzile con potenze in bse Utilizz poi i risultti trovti per generlizzre l risoluzione di un'equzione del tipo: n n n =0 con n,, N Riscrivimo l'equzione come: =0 Quindi: = 9 ± = 9 ± 8 9 = 9 ± 9 = ± 9 4 = 9 4 = 5 ; = 4 = 4 In generle, per l'equzione n n n =0, bbimo: = n ±n n 4 n n = n ±n n n = n ±n n = n n = n ; = n =n Esercizio n 54 A wter rocket is lunched upwrd with n initil velocity of 48 ft /s Its height h, in feet, fter t seconds, is given by h=48 t 6 t When will the rocket be ectly 3 feet bove the ground? Imponimo 3=48t 6t t 3t=0 t t =0 t = s ; t = s Esercizio n 55 Let nd b be distinct rel numbers for which: b b b = Find b Applicndo l proprietà invrintiv, riscrivimo l'equzione come: b /b /b =

7 Ponimo = 9±8 80 = b = = =0 = 4 5 =0,8 ; = L second soluzione non è ccettbile, in qunto corrisponde l cso /b= =b, mentre il testo precis che i numeri e b devono essere distinti Quindi /b=0,8 Esercizio n 56 Two students ttemted to solve the qudrtic eqution bc=0 Although both students did the work correctly, one miscopied the middle term nd obtined the solution set [, 3], while the other miscopied the constnt term nd obtined the solution set [, 5] Wht is the correct solution set? Il primo studente h scritto correttmente il primo ed il terzo coefficiente dell'equzione, quindi clcol correttmente il prodotto delle rdici: =c/= 3=6 Il secondo studente h scritto correttmente il primo ed il secondo coefficiente dell'equzione, quindi clcol correttmente l somm delle rdici: = b/=5=7 Quindi le soluzioni corrette dell'equzione hnno somm ugule 7 e prodotto ugule 6, e sono pertnto = e =6 Esercizio n 57 For how mny integer vlues of n does the eqution n 6=0 hve integer solutions? Sppimo che le soluzioni dell'equzione devono vere prodotto =c/= 6 Limitndoci i numeri interi, sono possibili i seguenti csi: = ; =6 = n=5 ; = ; =8 = n=6 ; = 4 ; =4 = n=0 ; = 8 ; = = n= 6 ; = 6= ; = = n= 5 Il prmetro n può quindi ssumere cinque vlori interi distinti