A questo punto, ricordiamo le definizioni di: I) Errore assoluto nella misura yz del misurando z: Ez yz

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1 REGOLE PRATICHE PER LA VALUTAZIONE DELL INCERTEZZA NELLE MISURE INDIRETTE Ricordimo preliminrmente il concetto di misure indirette : <<misure ce producono il risultto dll combinione di misure dirette (o nce indirette loro volt) su prmetri funionlmente legti l misurndo, medinte un relione mtemtic conosciut (d esempio dll Fisic o dll Cimic)>>. Per qunto detto, è indispensbile ce per l vlutione di tle incerte, sino noti: ) l funione ce leg il misurndo gli ltri prmetri (misurbili) d cui dipende; b) le misure di questi ultimi prmetri; c) le incertee con cui sono note le misure di tli prmetri, dedotte di mnuli degli strumenti utiliti nelle rispettive misurioni. A questo punto, ricordimo le definiioni di: I) Errore ssoluto nell misur del misurndo : E II) Incerte ssolut (come mggiorione del modulo di E): U E III) Errore reltivo nell misur del misurndo : IV) Incerte reltiv (come mggiorione del modulo di e): e u E U e Nel seguito si derivernno le formule d incerte (nel cso peggiore) d csi-tipo semplici e concreti, per pssre poi formule generlite ce contemplno tutti i csi d interesse prtico. A) Somm di due grndee. Esempio: b; misure: U ; b U U U Misur indirett di : Per vlutre l incerte U, bbimo prim bisogno di vlutre l errore ssoluto E, per poi mggiorrlo: G. Andri Teori, metodi e dispositivi per le misure 1

2 E b b E E (somm degli errori ssoluti) b b b E E Eb E Eb U Ub U (somm delle incertee ssolute) B) Somm di più grndee. Esempio: bc... n; misure: U ; b U ;...; n U Procedimo ll stess mnier del punto A): n n Misur di :... U U b n E... b... n... n E E... E b n n b n E E E... E E E... E U U... U U b n b n b n C) Combinione linere di grndee. Esempio: kb,con k, ; misure: U ; b U Procedimo ll stess mnier del punto A): U k U Misur di : E k kb k b ke E b b b E ke Eb ke Eb k E Eb k U Ub U (come si può notre, questo cso contempl nce l differen 1 ) In conclusione, l incerte ssolut in un somm lgebric (o in un combinione linere di più termini) è sempre pri ll somm ritmetic dei contributi di incerte ssolut in modulo, mentre l errore ssoluto è dto dll somm lgebric (con il proprio segno) degli contributi degli errori ssoluti. D) Prodotto di due grndee. Esempio: b ; misure: U ; b U U U Misur di : Anicé vlutre l errore ssoluto, conviene vlutre quello reltivo, per poi mggiorrlo, trovndo poi l incerte reltiv ed infine quell ssolut: G. Andri Teori, metodi e dispositivi per le misure

3 E b E b E b be E E E e e e b b b b (somm degli errori reltivi) b b b b b Nell relione precedente si è considerto ce in reltà E ; E b e ce il prodotto E Eb è un infinitesimo di ordine superiore rispetto be E trscurbile rispetto d esso. Il clcolo dell incerte reltiv prosegue come l solito: e e eb e eb u ub u (somm delle incertee reltive) Per cui, l incerte ssolut si ottiene come: U u u u b b b e risult pertnto E) Prodotto di più grndee. Esempio: bc n; misure: U ; b U ;...; n U n n U U Misur di : b n Si può fcilmente dimostrre ce qunto detto per il prodotto di due sole grndee si estende nce l prodotto di più di due: E E Eb E e... n e e... e b n b n e e e... e e e... e u u... u u b n b n b n Per cui, l incerte ssolut si ottiene come: U u u u... u b n b n F) Prodotto di grndee per un costnte. Esempio: kb,conk ; misure: U ; b U U k U Misur di : Vlutimo l errore reltivo, come per il punto D), per poi mggiorrlo, trovndo quindi l incerte reltiv ed infine quell ssolut: E kb kb b b e e eb kb b Come si può notre, nel clcolo dell errore reltivo scompre del tutto l costnte moltiplictiv. Il clcolo dell incerte reltiv prosegue poi come l solito: e e eb e eb u ub u G. Andri Teori, metodi e dispositivi per le misure 3

4 Per cui, l incerte ssolut si ottiene come: U u k u u b b G) Poten di un grnde. + Esempio:, N ; misure: U Misur di : U U Osservndo ce è pri l prodotto di fttori tutti uguli d, il cso si riconduce l prodotto di più grndee, il cui errore reltivo di misur è ovvimente, come nel cso F): E E E E e... e e... e e e e e u u Per cui, l incerte ssolut si ottiene come: U u u Si dimostr ce nloge conclusioni si nno nce nel cso in cui : e e ; e e e u u Per cui, l incerte ssolut si ottiene come: U u u Esempio di grnde invers: 3 3 1, in cui 3. Per cui, si fcilmente: e e 3 e ; u u 3u 3u e quindi 3 3 U u u Rientrno in questo cso nce i rpporti, d esempio: bb 1. Applicndo le regole sopr esposte, si ottiene fcilmente: e e e ; e e e e e e 1 e u u u ; U u u b b b b b b H) Formule monomie complesse. Esempio 1: 3 b; misure: U ; b U Misur di : 3 U U Applicndo le ultime regole, si fcilmente: G. Andri Teori, metodi e dispositivi per le misure 4

5 1 1 e e eb; u u ub; 1 3 b b U u u u 5 3 Esempio : ; misure: U ; b U ; c U 1,7 8bc Misur di : Applicndo le ultime regole, si fcilmente: c c 5 3 U U 1,7 8b c 3 3 e e eb 1, 7 ec; u uub 1, 7uc; , 7 1,7 b c 8 5 bc U u u u u I) Determinione dell incerte ssolut medinte clcolo differenile. Come è noto dll Anlisi Mtemtic, dt un funione rele di più vribili reli f(, b, c,...), si dimostr ce l vriione infinitesim di (o differenile totle di ) è un combinione linere dei differenili delle vribili d, db, dc,., vente per coefficienti le derivte prili dell funione rispetto lle stesse vribili: f( bc,,,...) f( bc,,,...) f( bc,,,...) d d db dc... bcost, b cost, cost, c=cost,... c=cost,... b=cost,... In prticolre, per un funione di un sol vribile f( ) si : d f ( ) d. Pertnto, nell ipotesi di errori piccoli rispetto lle misure (ovvero E /10 E d), si : f( bc,,,...) f( bc,,,...) E E E... b bcost, b cost, c=cost,... c=cost,... Differenili notevoli ed implicioni sul clcolo pprossimto dell errore ssoluto k d f ( ) d kd E ke b d d db E E Eb b d bd db E be E e be E b e e b b G. Andri Teori, metodi e dispositivi per le misure 5

6 1 1 1 b d d db E E E e E E e e b b b b b b b b b b d f( ) d d E E e E e 1 1 ln d f( ) d d E E e e d f( ) d e d E e E Csi prtici comuni: 1) Combinione linere semplice k k b... k n dk dk db... k dn b n b n E k E k E... k E n n U k U k U... k U n n ) Somm di monomi Esempio b 5 d 6bd 3 db d 6b d 3 db 5 E b E E 6 3 b 5 U U U 6 b 3 b G. Andri Teori, metodi e dispositivi per le misure 6