Definizioni varie sulla stabilità

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1 Apputi di Cotrolli Automtici Cpitolo 4 - Prte II Stbilità e sistemi i retrozioe STABILITÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE... Defiizioi vrie sull stbilità... Sistemi stziori prmetri cocetrti... 4 Stbilità I.L.U.L (o B.I.B.O.)... 9 Criterio di Routh... Esempio... 4 Proprietà... 5 Esempio... 5 Csi prticolri... 5 Osservzioe... Ifluez del gudgo α sull stbilità... Stbiilliità deii siistemii ii retroziioe Defiizioi vrie sull stbilità Nel cpitolo precedete, qudo bbimo lizzto il comportmeto dei sistemi lieri stziori soggetti segli coici i igresso (d esempio l impulso o il grdio), bbimo riscotrto l possibilità di otteere, ziché il rggiugimeto di u codizioe di equilibrio dopo l perturbzioe, u rispost divergete l crescere del tempo: u sistem liere che preseti u simile comportmeto si dice istbile. Utilizzdo l trsformzioe di Lplce, si riesce be evidezire il legme esistete tr l stbilità del sistem e l posizioe dei poli dell su fuzioe di trsferimeto el pio complesso. Voglimo llor lizzre i modo più rigoroso tle problemtic, ot come stbilità dei sistemi.

2 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) Per itrodurre il cocetto di stbilità, fccimo riferimeto d u semplice sistem i ello perto d u sol vribile: x(t) y(t) Fccimo l ipotesi che il sistem si trovi i u codizioe di quiete (o di equilibrio) i u geerico istte iizile t=t: questo sigific che per t<t le vribili di igresso e di uscit soo ulle e che, per t T, l uscit rimrrebbe ull se l igresso o subisse vrizioi ( ). Suppoimo che il sistem, iizilmete i quiete, veg perturbto medite l ppliczioe di u segle di igresso diverso d per u itervllo di tempo di durt limitt τ: x(t) T T + τ L ppliczioe di questo igresso si trduce, i prtic, i u cmbimeto dello stto del sistem ell istte T+τ rispetto llo stto iizile. L rispost del sistem rispetto quest perturbzioe può essere di tre tipi diversi: il primo cso è quello di u rispost limitt: esiste cioè u costte M Y che soddisf l codizioe y( t) per qulsisi istte t T; si prl i M Y questo cso di comportmeto stbile. U tipico esempio è riportto ell figur seguete: L codizioe di equilibrio ppe descritt può che corrispodere vlori costti o ulli dell igresso e dell uscit, i quto u cso simile potrebbe essere ricodotto quello di uscit ed igresso ulli semplicemete operdo u opportuo cmbimeto delle rispettive origii di riferimeto delle vribili.

3 Stbilità e sistemi i retrozioe il secodo cso è quello di u rispost divergete: o esiste lcu costte M Y che soddisfi l codizioe y( t) per tutti gli istti t T; si prl i questo cso di comportmeto istbile, come d esempio ell figur seguete: M Y il terzo ed ultimo cso è quello di u rispost covergete sitoticmete zero: esiste u costte M Y tle d soddisfre l codizioe y( t) M Y per qulsisi istte t T, e, ioltre, risult lim y( t) =. I prtic, quidi, dopo u certo tempo più o meo lugo t dll ppliczioe dell perturbzioe, il sistem si riport ell codizioe iizile di quiete. Si prl, i quest prticolre situzioe, di comportmeto sitoticmete stbile. U tipico esempio è riportto ell figur seguete: Le tre situzioi ppe presette merito u importte pprofodimeto secod che il sistem si liere oppure o liere: se il sistem cosiderto è o liere, il tipo di comportmeto può essere diverso l vrire si dell codizioe iizile di quiete si dell etità dell perturbzioe pplict; si dice llor che u codizioe di equilibrio è globlmete stbile (oppure globlmete sitoticmete stbile) se è stbile (oppure sitoticmete stbile) per perturbzioi di quluque etità; se poi questo vviee per quluque codizioe iizile di equilibrio, si dice che il sistem (e o più il sigolo stto di equilibrio) è globlmete stbile (oppure globlmete sitoticmete stbile); l situzioe si semplific ivece otevolmete el cso di sistem liere: i questo cso, iftti, il tipo di comportmeto o dipede é dll prticolre codizioe iizile di quiete é dell etità dell perturbzioe pplict. Quest è u coseguez dell proprietà di sovrpposizioe degli effetti e possimo

4 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) spiegrl el modo seguete: cosiderimo due diverse codizioi iizili di quiete e vlutimo le due risposte del sistem, prtedo d tli due codizioi, i presez dell stess perturbzioe sull igresso; tli due risposte devoo essere ecessrimete uguli, i quto, se o lo fossero, per differez risulterebbe l possibilità di otteere u rispost divers d zero i presez di u perturbzioe ideticmete ull, il che è chirmete u ssurdo. Ioltre, dt l rispost del sistem d u certo igresso perturbto, se moltiplichimo l perturbzioe per u costte, i bse ll lierità otterremo u rispost moltiplict per l stess costte, il che idic che il tipo di rispost rime lo stesso l vrire dell etità dell perturbzioe. Possimo duque ffermre che u sistem (e o u prticolre codizioe di equilibrio) è stbile, istbile o sitoticmete stbile secod che l su rispost, d u quluque perturbzioe i igresso, bbi u comportmeto rispettivmete stbile, istbile o sitoticmete stbile. Siistemii stziiorii prmetrii cocetrtii Ripredimo desso lo schem geerico di u sistem liere stziorio prmetri cocetrti iserito i u ello di cotrollo i retrozioe: R(s) + E(s) G(s) C(s) H(s) Sppimo che u sifftto sistem h u fuzioe di trsferimeto rziole frtt del tipo m m b( s) b ms + b m s b G( s) = = ( s) s + s = α * m i= k= ( s z ) ( s p ) e sppimo che che l fuzioe di trsferimeto d ello chiuso G (s) è cor u volt u fuzioe rziole frtt, co espressioe G G( s) ( s) = + G( s) H( s) i k R(s) G (s) C(s) 4

5 Stbilità e sistemi i retrozioe Ci mettimo el cso semplice di retrozioe uitri: i questo cso, risult H(s)= e quidi G(s) b(s) b(s) G (s) = = = + G(s) (s) + b(s) (s) = β * m i= m i= (s z i (s z ) ) + i k= (s p ) k b ms = s, m + b + m s, s m b , = Abbimo già cceto i precedez l ftto che l stbilità di u sistem (complessivo) di questo tipo è legt ll posizioe dei poli dell fuzioe di trsferimeto G (s) el pio complesso. Vedimo di cpire bee perché. Sppimo che i sistemi stziori prmetri cocetrti ho u dimic descritt d u equzioe differezile del tipo ( ) d y d y y b d m x m d x + b b x = m + m m m dt dt dt dt L rispost y(t) del sistem ll zioe di u igresso x(t), prtedo d specifiche codizioi iizili, è regolt d quest equzioe. L soluzioe y(t) di quell equzioe è scompoibile i due termii, uo dipedete solo dll igresso (rispost forzt) ed uo dipedete solo dlle codizioi iizili (rispost liber). Premesso questo, il ostro obbiettivo è quello di determire l rispost del sistem o d u igresso d oi stbilito e cotrollto, besì d u zioe perturbtrice geeric gete sul sistem stesso. Per clcolre quest rispost, possimo fre u ipotesi di prtez che semplifichi i ostri rgiometi, m che o pregiudic i lcu modo l geerlità dei risultti cui perverremo: possimo cioè supporre che quest perturbzioe si svolg completmete prim dell istte t= e quidi si ull dopo l istte t=. Quest ipotesi h u coseguez fodmetle: l zioe del disturbo è semplicemete quell di modificre le codizioi iizili del sistem rispetto quelle previste i ssez del disturbo stesso. Co quest premess, è chiro che l rispost ll perturbzioe srà semplicemete u rispost liber del sistem, per cui possimo pplicre quto già visto i precedez proposito dell determizioe e delle crtteristiche di quest rispost liber: sppimo iftti che l su trsformt è dt d Y d ( s) = k s d k i y t i ( ) k, dt k= i= t = s + s ,,, dove il pedice d st per disturbo. D quell equzioe deriv l espressioe dell fuzioe di trsferimeto prim riportt 5

6 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) Si trtt cioè di u rpporto di poliomi, i cui il poliomio deomitore coicide co il deomitore dell fuzioe di trsferimeto. L titrsformt di quest fuzioe cosiste i u somm di termii del tipo seguete (i cosiddetti modi): el cso di u polo semplice, d esso srà ssocito u modo d scegliere tr le segueti possibilità: α K Ke t αt,, Ke si t ( ω + ϕ) dove α e ω soo le prti rele ed immgiri del polo cosiderto; el cso, ivece, di u polo multiplo, d esso srà ssocito u modo d scegliere tr h h αt h αt Kt, Kt e, Kt e si ωt + ϕ ( ) dove h è u itero compreso tr ed r- ed r è l molteplicità del polo cosiderto. Al fie di stbilire il comportmeto sitotico (cioè per t ) di queste fuzioi, divet importte il sego dell prte rele dei corrispodeti poli. Vedimo llor lcui esempi di modi ssociti : el cso di u polo semplice ell origie, l uscit si mtiee costte l vrire del tempo: el cso di u polo triplo ell origie, si h ivece u uscit divergete del tipo seguete: el cso di u geerico polo semplice rele egtivo, l rispost tede sitoticmete : 6

7 Stbilità e sistemi i retrozioe el cso di u coppi di poli semplici complessi coiugti prte rele egtiv, si ho delle oscillzioi siusoidli che si smorzo l pssre del tempo: el cso di u polo semplice rele positivo, si h cor u volt u rispost divergete: el cso di u coppi di poli reli semplici prte rele positiv, si ho cor oscillzioe siusoidli, m quest volt l loro mpiezz umet l pssre del tempo: 7

8 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) polo multiplo rele egtivo: coppi di molti multipli complessi prte rele egtiv: polo multiplo rele positivo: coppi di poli multipli prte rele positiv: 8

9 Stbilità e sistemi i retrozioe Cosiderdo llor il comportmeto sitotico dei modi ppe electi e riprededo quto già detto el cpitolo precedete, possimo forire il seguete importtissimo criterio di stbilità seguito di perturbzioi: Teorem - Per l stbilità di u sistem liere stziorio prmetri cocetrti, è ecessrio e sufficiete che l fuzioe di trsferimeto o preseti lcu polo prte rele positiv e che gli evetuli poli prte rele ull sio semplici; per l stbilità sitotic, ivece, è ecessrio e sufficiete che tutti i poli bbio prte rele egtiv. Nell tecic, geerlmete si richiede, i sistemi di cotrollo, l stbilità sitotic: i geerle, iftti, si vuole che l effetto di ogi disturbo o perturbzioe ted comuque scomprire co il pssre del tempo. Stbiilliità II..L..U..L ((o B..II..B..O..)) L stbilità esmit el precedete prgrfo è quell rispetto perturbzioi di vrio geere geti sul sistem. Spesso, si cosider che u ltro tipo di stbilità, dett stbilità igresso limitto - uscit limitt o, più brevemete, stbilità I.L.U.L (dett che stbilità B.I.B.O.): u sistem, riferito d uo stto iizile di equilibrio i cui igresso ed uscit soo ideticmete ulli, si dice stbile igresso limitto - uscit limitt i tle stto di equilibrio se, d ogi segle di igresso limitto, corrispode u rispost ch ess limitt. Possimo duque esprimerci, i termii litici, el modo seguete: dto u sistem i u determito stto di equilibrio ll istte iizile T, il sistem si dirà stbile I.L.U.L. se e solo se d ogi costte positiv M X si può ssocire u costte positiv M Y tli che, per ogi segle di igresso x(t) tle che x( t) per qulsisi istte t T, l corrispodete rispost y(t) soddisfi l codizioe y( t) per qulsisi istte t T. M Y Ache i questo cso, possimo sottoliere u importte differez tr i sistemi o lieri e quelli lieri: el cso dei sistemi o lieri, che l stbilità I.L.U.L. dipede, i geerle, dllo stto iizile di equilibrio e dll etità dell perturbzioe, ossi dl vlore di M X : questo sigific, per esempio, che l stbilità è verifict (cioè è sempre possibile trovre u costte M Y che soddisfi l codizioe prim citt) solo ptto che M X o superi u certo vlore limite, oltre il qule l stbilità viee ivece mcre; l cotrrio, el cso dei sistemi lieri, si può dimostrre che l stbilità I.L.U.L. o dipede é dllo stto iizile di equilibrio é dll etità dell perturbzioe: i ltre prole, se è possibile trovre u vlore di M Y i corrispodez di M X 9

10 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) lmeo u vlore di M X, llor questo srà possibile per qulsisi vlore di M X. Sempre proposito dell stbilità I.L.U.L. e co prticolre riferimeto i sistemi lieri, i geerle che o stziori, sussiste il seguete risultto, che leg l stbilità I.L.U.L. ll fuzioe di rispost ll impulso g(t) del sistem stesso: Teorem - U sistem liere è stbile I.L.U.L. se e solo se, per ogi istte t successivo ll istte iizile T, è soddisftt l relzioe t ( ) g t, τ dτ M < T Nturlmete, se il sistem (liere) cosiderto è che stziorio, llor l fuzioe di rispost ll impulso o dipede più dll istte t cosiderto e quidi quell relzioe divet t ( τ) g dτ M < T Le codizioi corrispodeti queste relzioi soo di otevole geerlità, dto che si possoo riferire sistemi lieri o stziori ed sistemi lieri costti distribuite, per i quli il modello mtemtico più frequetemete dottto è l fuzioe di rispost ll impulso. D ltr prte, per i sistemi lieri stziori descritti d fuzioi di trsferimeto rzioli frtte si può fcilmete verificre che l codizioe ( τ) t g dτ M < è perfettmete equivlete l cocetto di stbilità sitotic, per cui per l stbilità I.L.U.L. è ecessrio e sufficiete che tutti i poli dell fuzioe di trsferimeto sio prte rele egtiv. T

11 Stbilità e sistemi i retrozioe Criterio di Routh Abbimo sottolieto più volte che l stbilità di u sistem liere stziorio, co fuzioe di trsferimeto G(s) rziole frtt, iserito i u ello di cotrollo i retrozioe, è legt ll posizioe, el pio complesso, dei poli dell fuzioe di trsferimeto d ello chiuso G (s). Tli poli o soo ltro che le rdici di u equzioe lgebric del tipo ( s) = + G( s) H( s) = s + s =,,, dett equzioe crtteristic del sistem (dove ( s) = s + s ,,, poliomio deomitore dell fuzioe di trsferimeto G (s)). Per o ppestire troppo le ostre espressioi, poimo semplicemete è il ( s) = s + s co l ccortezz, però, di ricordre che i coefficieti di (s) ppe idicti soo, i geerle, diversi d quelli del poliomio (s) deomitore dell fuzioe di trsferimeto G(s) del sistem cotrollto. L determizioe delle rdici dell equzioe crtteristic (s)= comport tlvolt clcoli o semplici, specilmete se ess è di grdo elevto, come spesso ccde. Di coseguez, risult utile u criterio che coset di determire, eseguedo semplicemete u esme dei coefficieti dell equzioe, il sego dell prte rele delle rdici stesse, sez doverle ecessrimete clcolre. Fremo el seguito l ipotesi che il coefficiete del termie di grdo mssimo si positivo: quest ipotesi o pregiudic l geerlità del ostro discorso i quto, se risultsse <, bsterebbe moltiplicre per - mbo i membri dell equzioe crtteristic. Fremo che l ipotesi che il coefficiete o si ullo: se così o fosse, srebbe comuque possibile ricodursi questo cso dividedo mbo i membri dell equzioe crtteristic per l miim potez di s che compre ell equzioe stess, il che corrispode seprre u rdice ull di corrispodete molteplicità lgebric. Il primo risultto sigifictivo è il seguete: Teorem - Codizioe ecessri (m o sufficiete) ffiché le rdici dell equzioe crtteristic bbio tutte prte rele egtiv è che tutti i coefficieti dell equzioe stess sio positivi.

12 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) Dimostrzioe Suppoimo che, tr le rdici dell equzioe crtteristic (s)=, ce e sio q reli: ciò sigific che il poliomio (s) si poss scrivere ell form q ( i i ) ( s ) = α ( s + ρ ) k s σ j ω k = i4 4 i = i rdici reli r rdici complesse (coiugte) dove ovvimete deve risultre q+r=. Se tutte le rdici reli ρ k soo egtive e se che le prti reli σ i di tutte le rdici complesse soo egtive, è fcile verificre, eseguedo i vri prodotti, che tutti i coefficieti di (s) risulto positivi. Questo risultto idic quidi che, se il sistem è sitoticmete stbile, ossi se i poli dell su fuzioe di trsferimeto soo tutti prte rele egtiv, llor tutti i coefficieti dell equzioe crtteristic soo sez ltro positivi. Dett i ltro modo, se c è u solo coefficiete dell equzioe crtteristic che o risult positivo, sicurmete il sistem o è sitoticmete stbile. D ltr prte, trttdosi di u codizioe ecessri m o sufficiete, o è detto che il sistem si sitoticmete stbile el cso i cui l equzioe crtteristic preseti tutti coefficieti positivi. U modo per determire il sego dell prte rele delle rdici dell equzioe crtteristic è dto dl cosiddetto criterio di Routh. Per pplicre tle criterio, è itto ecessrio costruire, medite i coefficieti del poliomio (s) = s + s , l cosiddett tbell di Routh:... b b Vedimo come è stt costruit quest tbell: le prime due righe soo formte di coefficieti del poliomio crtteristico, disposti come idicto, prtire d quello corrispodete ll potez più elevt; è evidete che, se è pri, l ultimo coefficiete, cioè, si troverà sull rig, metre, se è dispri, si troverà sull ; el primo cso può essere cosiglibile completre le due righe co degli zeri o sigifictivi; gli elemeti dell rig successiv soo ivece defiiti dlle segueti relzioi:

13 Stbilità e sistemi i retrozioe b = b 4 = I prtic, il termie b - è espresso dl determite costituito di primi due coefficieti delle prime due righe, cmbito di sego e diviso per il primo coefficiete dell secod rig; i modo logo, il termie b -4 è espresso dl determite costituito di primi e terzi coefficieti delle prime due righe, cmbito di sego e diviso cor per il primo coefficiete dell secod rig e così vi; i prtic, quidi, questi determiti soo costruiti usdo sempre i due termii dell prim colo e vrido di volt i volt quelli dell ltr colo; i modo logo si costruisce ogi successiv rig dell tbell, i fuzioe dei termii delle due righe immeditmete precedeti. Le righe dell tbell soo cotrddistite co i umeri,-, -,... (soo perciò i umero pri l umero delle rdici dell equzioe crtteristic, icremetto di ) e soo di lughezz vi vi decrescete: l ultim rig, cotrddistit dl umero, comprederà u solo elemeto. U volt ccertto come si costruisce l tbell di Routh, possimo filmete esporre il teorem di Routh che permette di sfruttrl l fie di stbilire il sego dell prte rele delle rdici dell equzioe crtteristic: Teorem - Ad ogi vrizioe di sego che preseto i termii dell PRIMA COLONNA dell tbell, cosiderti successivmete, corrispode u rdice co prte rele positiv, metre d ogi permez di sego corrispode u rdice co prte rele egtiv. No fccimo l dimostrzioe del teorem (che è piuttosto compless), m cerchimo di cpire cos dice. I prtic, esso dice, per esempio, che se tutti i termii dell prim colo dell tbell di Routh ho lo stesso sego (cioè soo positivi, vedo supposto positivo), llor tutte le rdici ho prte rele egtiv ed il sistem è sitoticmete stbile. Se, ivece, c è lmeo u termie co sego diverso, llor ci sro tte rdici prte rele positiv qute soo le vrizioi di sego e tte rdici prte rele egtiv qute soo le permeze di sego. E bee sottoliere che il criterio di Routh o è evidetemete pplicbile qudo l equzioe crtteristic preset u o più coppie di rdici purmete immgirie, cioè co prte rele ull. D ltr prte, che questo cso potrà comuque essere icluso medite u estesioe del teorem che vedremo i seguito.

14 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) Esempiio Fccimo u esempio di ppliczioe del criterio di Routh. Provimo d esempio stbilire il sego dell prte rele delle rdici dell equzioe s 4s + s + 6 = Abbimo duque u equzioe di grdo =, per cui l tbell di Routh vrà +=4 righe. Comicimo llor d iserire ell tbell i coefficieti dell equzioe, el modo idicto i precedez: 4 6 Già di pochi termii iseriti ci ccorgimo che l equzioe preset lmeo u rdice prte rele positiv, dto che c è u vrizioe di sego. Dobbimo desso clcolre i coefficieti dell terz e qurt rig: b b 4 6 = =. 5 b = = = 6. 5 Possimo duque completre l tbell: Dll tbell si cpisce che l equzioe preset rdici prte rele positiv (dto che ci soo due vrizioi di sego) ed u rdice prte rele egtiv (u sol permez di sego). Vedimo u ltro esempio: s 4 + s + s + 5s + = L equzioe, quest volt, è di 4 grdo, per cui l tbell di Routh vrà 4+=5 righe:

15 Stbilità e sistemi i retrozioe Si osservo due vrizioi e due permeze, per cui deducimo che l equzioe preset rdici prte rele positiv ed ltrettte prte rele egtiv. Propriietà U importte proprietà dell tbell di Routh è l seguete: moltiplicdo i termii di u stess rig per uo stesso coefficiete positivo, o si produce lcu vrizioe sul umero delle vrizioi di sego ell prim colo. Quest proprietà è utile llorqudo si vogli evitre che ell tbell compio umeri frziori prtire d u poliomio co coefficieti iteri: per esempio, ell ultimo esempio prim esmito potremmo moltiplicre l peultim rig per 7 sez modificre le coclusioi fili. Esempio Vedimo u tipico esempio i cui si poss pplicre l proprietà ppe citt: cosiderimo l equzioe 4s 4 + s + 5s + s + = L equzioe è di 4 grdo, per cui l tbell di Routh vrà 5 righe: i prticolre, vremo moltiplic do l rig per moltiplic do l 4 rig per Nell tbell così otteut, si osservo solo permeze, dl che si deduce che l equzioe mmette solo rdici prte rele egtiv. Csii prtiicollrii Durte l costruzioe dell tbell di Routh si possoo presetre due csi prticolri, che o cosetoo di portrl termie co i criteri fior esposti: il primo cso è quello i cui il primo termie di u rig è =, el qul cso o si può dividere lcu determite per esso; il secodo cso è quello i cui, ivece, tutti i termii di u rig soo ulli. 5

16 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) Qudo si verific il primo cso, cioè qudo il primo elemeto di u rig è ullo, è possibile proseguire l costruzioe dell tbell cosiderdo, l posto del termie ullo, prim u termie +ε e poi u termie -ε, etrmbi di modulo ε piccolo picere. Usdo questi due termii, è spesso possibile trrre comuque delle coclusioi sull stbilità. Cosiderimo d esempio l seguete equzioe: s + s = L equzioe è di grdo, per cui l tbell di Routh vrà 4 righe:? Come detto prim, l presez di quell elemeto ullo impedirebbe il proseguimeto dell tbell. Applicdo llor il procedimeto idicto poco f, cosiderimo, l posto di, u elemeto +ε di modulo piccolo picere: + ε + ε ε + ε + ε I bse ll tbell otteut, ci soo permeze ed u vrizioe, ossi due rdici prte rele egtiv ed u sol prte rele positiv. Provimo desso co u elemeto -ε l posto del termie ullo: ε ε ε + ε + ε Ache i questo cso, cosiderdo che ε può essere scelto piccolo picere (i prticolre, co riferimeto ll terz rig, può essere scelto i modo che >ε), si osservo due permeze ed u vrizioe, che se i posizioi diverse rispetto prim, per cui o cmbi l sostz: possimo cioè ffermre che ci soo due rdici prte rele egtiv ed u sol prte rele positiv. Il metodo ppe esposto prede il ome di metodo ε per completre l tbell di Routh el primo cso sigolre. No sempre questo metodo è di gevole impiego, i quto si possoo vere tbelle di Routh co più zeri come primi elemeti di u rig. Oltre questo, cotiudo l tbell i form simbolic (ossi co i vri elemeti che diveto fuzioi di ε e delle sue poteze), spesso divet difficile stbilire quli termii sio ifiitesimi (e quidi trscurbili) rispetto d ltri. 6

17 Stbilità e sistemi i retrozioe Esiste llor u ulteriore metodo che cosete di cvrsel che i questi csi: ogi rig iizite co u certo umero h di zeri viee sommt co l rig d ess otteut moltiplicdo per (-) h e trsldo verso siistr di h posizioi. Ftto questo, l tbell di Routh viee complett e iterprett el modo usule. Per esempio, cosiderimo l esempio precedete, i cui l tbell di Routh risultv essere l seguete: L secod rig comici co h= zero, per cui possimo pplicre il criterio ppe esposto: dobbimo cioè moltiplicre ogi suo elemeto per (-) =- e sommre co i corrispodeti elemeti dell rig stess: L tbell divet llor l seguete: rig origile - molt. per - e trsldo di sommdo - 4 Abbimo cor u volt permeze ed u vrizioe. Pssimo desso l secodo cso prticolre, quello cioè i cui c è u rig vete tutti termii ulli. I questo cso, l costruzioe dell tbell o può essere proseguit i essu modo e quidi si possoo ricvre iformzioi solo su u prte delle rdici: per esempio, se l rig d elemeti ulli è l m su righe totli, si possoo ricvre iformzioi solo i bse lle prime -m righe, ossi si possoo trrre coclusioi solo su -m- rdici dell equzioe. E importte osservre che il cso di u rig co tutti elemeti ulli si verific SEMPRE i corrispodez di u rig cotrddistit d u umero dispri: idicto llor co m- tle umero, deducimo che è possibile rgiore solo sulle prime -m+ righe, per cui è possibile trrre coclusioi solo su -m rdici del poliomio. Per dedurre iformzioi sull posizioe delle restti m rdici, si può llor procedere el modo seguete: sio bm,bm,..., b i termii dell rig immeditmete precedete l rig di tutti zeri. Co questi coefficieti costruimo l cosiddett equzioe usiliri, dt d m m b s + b s b = m m 7

18 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) dobbimo risolvere quest equzioe: si dimostr che otteimo proprio le m rdici dell equzioe crtteristic per le quli l tbell di Routh o h forito idiczioi; poiché ell equzioe usiliri mco i termii di grdo dispri, è possibile fr vedere che le rdici soo disposte simmetricmete rispetto ll origie: di coseguez, l equzioe usiliri h tte rdici prte rele positiv qute soo quelle prte rele egtiv e può ioltre presetre che rdici prte rele ull. Questo metodo dell equzioe usiliri presuppoe duque l risoluzioe di u equzioe lgebric di grdo m, il che è gevole solo ptto che m o si troppo elevto: i prticolre, si può risolvere l equzioe solo se m= oppure m=4. Se, ivece, il grdo dell equzioe è mggiore di 4, si procede i quest ltro modo: itto, si deriv il primo membro dell equzioe m m b s + b s b =, otteedo l uov equzioe m m m m mb s + ( m ) b s +... = m m i coefficieti di quest equzioe soo i umero pri i termii dell rig dell tbell di Routh vete elemeti tutti ulli: si sostituiscoo llor i suddetti coefficieti e si procede co l costruzioe dell tbell; questo puto, il umero di vrizioi di sego che si verifico ell prim colo dell tbell, prtire dll rig cotrddistit co il umero -m+, è pri l umero delle rdici dell equzioe usiliri prte rele positiv. Le evetuli rdici immgirie o porto vrizioi di sego, così come quelle prte rele egtiv. Fccimo subito u esempio per chirire quto ppe esposto. Cosiderimo perciò l equzioe 4 s + s s s + = L equzioe è di 4 grdo, per cui l tbell di Routh vrà 5 righe: i prticolre, vremo 4 Simo duque rrivti l puto che l 4 rig dell tbell, cotrddistit dl umero (dispri), preset tutti elemeti ulli. Ciò sigific che, medite le prime righe dell tbell, possimo trrre coclusioi proposito di rdici 8

19 Stbilità e sistemi i retrozioe dell equzioe: osservimo, i prticolre, u permez ed u vrizioe, ossi u rdice prte rele positiv ed u rdice prte rele egtiv. Per ricvre iformzioi sulle restti due rdici, costruimo l equzioe usiliri medite i coefficieti dell rig che precede l rig co elemeti tutti ulli: si trtt perciò dell equzioe s + =, le cui soluzioi soo chirmete + e -. Queste soluzioi coicidoo co quelle su cui l tbell di Routh o ci h dto iformzioi, per cui possimo cocludere che l equzioe di prtez 4 s + s s s + = mmette due rdici prte rele egtiv e ltrettte prte rele positiv. Come procedimeto ltertivo, potremmo che derivre l equzioe usiliri e usre i suoi coefficieti per completre l tbell di Routh: derivdo, otteimo 4s=, per cui l tbell si complet el modo seguete: 4 4 Si osservdo qui permeze e due vrizioi, come trovto poco f. Vedimo u ltro esempio, costituito dll equzioe s 6 + s 5 s 4 s 7s 4s 4 = L equzioe è di 6 grdo, per cui l tbell di Routh vrà 7 righe: Acor u volt, ci trovimo dvti d u rig dell tbell, cotrddistit dl umero (dispri), che preset tutti elemeti ulli. Medite le prime righe dell tbell, possimo duque trrre coclusioi proposito di rdici dell equzioe: osservimo, i prticolre, due permeze, cui corrispodoo quidi due rdici prte rele egtiv. Per ricvre iformzioi sulle restti 4 rdici, costruimo l equzioe usiliri medite i coefficieti dell rig precedete l rig co elemeti tutti 4 ulli: si trtt perciò dell equzioe s s 4 = ; quest è u equzioe biqudrtic ed è fcile ricvre che le sue rdici soo + j, j, +,. Queste soluzioi coicidoo co quelle su cui l tbell di Routh o ci h dto iformzioi, per cui possimo cocludere che l equzioe di prtez s + s s s 7s 4s 4 = mmette tre rdici prte rele egtiv, due rdici purmete immgirie e u sol rdice prte rele positiv. 9

20 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) Possimo ifie riepilogre desso quto esposto i questo prgrfo: i primo luogo, bbimo osservto che l costruzioe dell tbell di Routh, proseguit evetulmete derivdo l equzioe usiliri, forisce iformzioi sul sego di tutte le rdici dell equzioe poliomile; l prte dell tbell prim dell (evetule) rig di tutti zeri, co le permeze e le vrizioi di sego degli elemeti dell prim colo, forisce iformzioi dirette sul sego dell prte rele di u certo umero di rdici (tr le quli o vi soo mi rdici immgirie); ivece, ell prte restte dell tbell (costruit derivdo l equzioe usiliri), per ogi vrizioe di sego egli elemeti dell prim colo si h u ulteriore rdice prte rele positiv; per l proprietà di simmetri, ioltre, le ulteriore rdici prte rele egtiv soo i umero ugule quelle prte rele positiv; ifie, le restti rdici, per giugere l umero complessivo di, soo purmete immgirie. Il criterio di Routh è di grde utilità el progetto di dispositivi di cotrollo i retrozioe: spesso, iftti, i coefficieti dell equzioe crtteristic del sistem soo fuzioi di u prmetro, del qule è utile determire i cmpi di vribilità i corrispodez dei quli il sistem è stbile, i modo d scegliere il vlore etro uo di tli cmpi. Nell mggior prte dei csi, il prmetro i questioe è il gudgo α che compre ell espressioe dell fuzioe di trsferimeto G (s) (questo spetto srà pprofodito più vti), m può comuque trttrsi che di u prmetro crtteristico di u rete correttrice. L determizioe dei cmpi di vribilità del prmetro per i quli il sistem è stbile si può eseguire fcilmete, impoedo che i termii dell prim colo dell tbell di Routh bbio tutti lo stesso sego. Osservziioe E importte osservre che il criterio di Routh, pur dicedo i qule semipio si trovio i poli dell fuzioe di trsferimeto G (s), o specific qule si l loro distz dll sse immgirio. Sppimo ivece che quest distz è importte: iftti, dto u geerico polo p = σ + jω prte rele k k k egtiv, è vero che d esso corrispode u modo espoezile R e k decrescete el tempo, m è che vero che il tempo ecessrio ffiché tle modo diveti trscurbile è strettmete legto l vlore ssoluto di σ k: quto mggiore è α k, ossi quto mggiore è l distz del polo dll sse immgirio, tto mggiore è velocità co cui il modo scompre ; l cotrrio, se il polo è vicio ll sse immgirio, ossi se σ k è piccolo, l scomprs del modo corrispodete è meo immedit e può quidi crere comuque qulche problem ell dimic del sistem. Fccimo u esempio cocreto: suppoimo che il poliomio crtteristico si ( s σ jω )( s σ + ω ) (s) = s + s + s + = (s + ρ) j p t k

21 Stbilità e sistemi i retrozioe Abbimo duque u polo rele e due poli complessi (coiugti). Suppoimo, i prticolre, che l posizioe di tli poli si quell idict ell figur seguete: Im Re Tutti i tre poli soo duque prte rele egtiv, il che ci viee idicto, ell tbell di Routh, dll ssez di vrizioi di sego sull prim colo. Possimo duque ffermre che il sistem è sitoticmete stbile. No bbimo ivece idiczioi sull stbilità reltiv, ossi sull distz dei tre poli dll sse immgirio. Ci chiedimo, llor, se si possibile vere qulche iformzioe questo proposito. U metodo bbstz veloce cosiste ell effetture u trslzioe degli ssi di u qutità α (positiv) iizilmete rbitrri: i termii litici, ciò sigific effetture il cmbio di vribile s=z-α el poliomio (s): ( ρ α)( σ α ω )( σ α ω ) s s = z α ( ) ( z) = z + z ( + ) j z ( + ) + j Suppoimo di ver ftto l scelt iizile di α tle che l posizioe del uovo sse immgirio si divett quell idict ell figur seguete: Im Re C è stto cioè u vvicimeto dei poli ll sse immgirio, m o sufficiete ffiché i poli stessi posso pssre destr del pio di Guss. Questo è evidezito dl ftto che, pplicdo il criterio di Routh l uovo poliomio (z), otteimo cor tutte permeze sull tbell di Routh: questo ci dice che i poli soo d u distz, dll sse immgirio, comuque superiore d α.

22 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) Sceglimo llor u uovo vlore α per l trslzioe, ovvimete mggiore di α: ( ρ α )( σ α ω )( σ α ω ) s s = z α' ( ) ( z) = z + ' z ( + ') j z ( + ') + j Suppoimo che l situzioe si divett desso l seguete: Im Re L trslzioe α è stt cioè tle d portre i due poli complessi coiugti (che ero quelli più vicii l vero sse immgirio) destr del uovo sse immgirio. Ciò comport che, pplicdo il criterio di Routh l uovo poliomio (z), si ottego due vrizioi ed u sol permez: d qui deducimo, llor, che i due poli complessi soo quelli più vicii ll sse immgirio e l loro distz d quest ultimo è compres tr α ed α. Cotiudo i questo modo, per tettivi ell scelt dell trslzioe, possimo rrivre determire proprio α. Ifluez del gudgo α sull stbilità Cosiderimo desso uovmete il ostro sistem iserito i u ello di cotrollo i retrozioe uitri: R(s) + E(s) G(s) C(s) Sppimo che l fuzioe di trsferimeto d ello perto G(s) è dt, i geerle, dl prodotto dell fuzioe di trsferimeto G P(s) del sistem cotrollto vero e proprio (il cosiddetto plt) e dell fuzioe di trsferimeto G C(s) dell orgo di cotrollo: α b( s) G( s) = G P ( s) G C ( s) = = ( s) m k= i= ( s + z ) k ( s + p ) i

23 Stbilità e sistemi i retrozioe dove ricordimo che α è il cosiddetto gudgo (o fttore di gudgo). Quest costte dipede dgli orgi di mplificzioe ed è quidi u prmetro che geerlmete possimo scegliere libermete, visto che o dipede dlle crtteristiche del plt. Abbimo visto, qudo bbimo lizzto gli errori regime, che u umeto di α determi u migliormeto dell precisioe sitotic e, llo stesso tempo, u tteuzioe dell sesibilità del sistem i disturbi ed lle vrizioi prmetriche. Il ostro obbiettivo è llor quello di trovre il vlore di α per il qule si ottiee che stbilità. Abbimo visto i precedez che l fuzioe di trsferimeto complessiv del sistem prim rffigurto è esprimibile ell form G (s) G(s) b(s) b(s) (s z ) i i= = = = = m + G(s) (s) + b(s) (s) α (s zi ) + i= k= α m (s p ) Quest espressioe, cofrott co quell di G(s), mette subito i evidez che G (s) preset gli stessi zeri di G(s), metre soo diversi i poli: possimo esprimerci dicedo che l posizioe degli zeri dell fuzioe di trsferimeto o viee ltert dll retrozioe, metre viee ltert quell dei poli. Questo ftto è molto importte, i quto ci dice che uo stesso sistem cotrollto può risultre stbile i ello perto e istbile i ello chiuso. Grde ifluez, i questo, h proprio il gudgo α. I coefficiete del poliomio crtteristico (s)=(s)+b(s) dipedoo d z,..., z m e d p,..., p, m soo chirmete delle fuzioi del gudgo α, per cui li idichimo co, ( α),, ( α),...,, ( α ). Questi coefficieti vegoo impiegti per l costruzioe dell tbell di Routh, dll qule si ricvo le iformzioi sull stbilità: è chiro, llor, che il vlore o i vlori di α ecessri per l stbilità si ottegoo impoedo l codizioe per cui i termii dell prim colo dell tbell di Routh sio tutti dello stesso sego. L situzioe più sfvorevole è quell i cui l suddett codizioe o risulti verifict per essu vlore di α: i questo cso, il sistem è ievitbilmete istbile. Fccimo u esempio cocreto. Suppoimo che l fuzioe di trsferimeto i ello perto bbi l seguete espressioe: k G( s) = α s( s+ )( s + b) Si trtt duque di u sistem di tipo (cioè co u polo semplice ell origie). Voglimo clcolre il mssimo vlore di α per il qule il sistem risult stbile. Al fie di pplicre Routh, dobbimo prim clcolre i coefficieti del poliomio crtteristico, cioè del deomitore dell fuzioe di trsferimeto G (s): suppoedo sempre l retrozioe uitri, cioè H(s)=, bbimo che G(s) α G (s) = = (s) = s(s + )(s + b) + α = s + ( + b)s + bs + α + G(s) s(s + )(s + b) + α

24 Apputi di Cotrolli Automtici - Cpitolo 4 (prte II) Possimo costruire l tbell di Routh: + b b( + b) α α + b b α Dto che > e α>, le codizioi per vere stbilità soo + b > b( + b) α b( + b) α > α < b( + b) > + b Quidi, l stbilità è grtit per <α<b(+b), il che sigific che il mssimo vlore possibile è proprio b(+b). Nturlmete, o è detto che si poss fissre, ell prtic, questo vlore di α, i quto ci soo d teere i coto le specifiche teciche del sistem cotrollto, rppresette fodmetlmete di due poli e b. C è che d teere presete che e b soo umeri ricvti geerlmete d misure sperimetli e quidi soo ffetti d errori: questo implic che o si comuque possibile predere il vlore b(+b) per il gudgo α, m comuque u vlore iferiore. Autore: SANDRO PETRIZZELLI e-mil: sdry@iol.it sito persole: 4