SISTEMI LINEARI. = b.

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1 SIL SISTEMI LINERI Equzioi liei Si chim equzioe liee elle icogite,,,, ogi equzioe dell fom:,,, IR () I umei,, si dicoo coefficieti delle icogite; pede il ome di temie oto Qudo, l'equzioe si dice omogee Posto e, l () si può scivee: T U vettoe IR si dice soluzioe dell'equzioe, se è ve l'ugugliz T Detto S l'isieme soluzioe dell'equzioe, è immedito veifice che: S IR, se lmeo u coefficiete è diveso d zeo; S IR, se tutti i coefficieti e il temie oto soo uguli zeo; S, se tutti i coefficieti soo uguli zeo e il temie oto è diveso d zeo ESEMPI L'equzioe liee h ifiite soluzioi i IR Iftti, ssegdo vloi iti due qulsisi delle te icogite, è sempe possiile icve il vloe dell tez i modo d veifi ce l'ugugliz Così, posto,, si tov Petto (,, ) è u vettoe solu zioe Posto ivece,, si tov llo (,, ) è u lto vettoe soluzioe, ecc Pe otteee l soluzioe geele dell'equzioe, st poe,,, IR Si icv Quidi S { (,, ), IR } L'equzioe liee è veifict d ogi vettoe ele di odie Quidi S IR L'equzioe liee è impossiile i IR Quidi S EP SIL Risolvi i IR le segueti equzioi liei elle icogite, y (*) () y () y () y () y () y () y () y (8) y (*) Qudo le icogite soo soltto due si è soliti idicle co e y, piuttosto che co le ot zioi e Risolvi i IR le segueti equzioi liei elle icogite,, () () () ()

2 INSIEMISOLUZIONE () {(, ) IR} () {( () {(, ) IR} () {( (8) {(, ) IR} () {(, ) IR} () {(, ) IR} () {(, ) IR}, ) IR}, ) IR} () {(,, ), IR } () {(,, ), IR } () {(,, ), IR } () {(,, ), IR } Defiizioe di sistem liee Si chim sistem liee u isieme: m m m m () costituito d m equzioi liei elle stesse icogite,,, U vettoe di IR che si soluzioe comue tutte le m equzioi del sistem, si dice soluzioe del sistem Risolvee u sistem liee sigific detemie tutte le soluzioi; queste, ell loo totlità, costituiscoo u sottoisieme S di IR chimto isiemesoluzioe Detti ispettivmete S, S,, S m gli isiemisoluzioe dell pim, secod,, m-esim equzioe del sistem, è llo: S S S S m def U sistem liee si dice cosistete, se mmette lmeo u soluzioe, cioè se S ; si dice icosistete i cso cotio Ricoedo lle mtici, il sistem ( ) si può scivee ell fom: () dove:,, m m m m L () è chimt fom mticile del sistem Le mtici,, si dicoo, ispettivmete, mtice dei coefficieti, vettoe delle icogite e vettoe dei temii oti E' iteesste ote che il sistem () è uivocmete detemito dll mtice: [ ] m m m m otteut ggiugedo dest dll mtice dei coefficieti il vettoe dei temii oti L chimeemo mtice umett del sistem

3 Risoluzioe dei sistemi liei Due sistemi liei si dicoo equivleti se ho lo stesso isiemesoluzioe Vlgoo i segueti citei di equivlez che ci limitimo d eucie U sistem di m equzioi liei i icogite viee tsfomto i u sistem d esso equivlete: scmido l iesim equzioe co l jesim; moltiplicdo mo i memi dell iesim equzioe pe u umeo ele λ ; ddiziodo, memo memo, ll iesim equzioe l jesim moltiplict pe u umeo ele λ, pe i, j,, m, i j Le opezioi,,, se pplicte successivmete i modo oppotuo, coducoo u sistem liee più semplice di quello oigiio, u sistem idotto che si isolve vist Pe edee spedit l'esecuzioe dei clcoli, coviee peò sfutte l complet logi f le pecedeti opezioi sulle equzioi del sistem e le opezioi elemeti di ig sulle mtici L tecic di clcolo che e deiv, ot come metodo di elimizioe di Guss Jod, cosiste el ppesete il sistem oigiio co l mtice umett [ ] del sistem stesso e idue quest fom coic pe ighe [ C k ] Illustimo co esempi i vi csi che si possoo pesete Sistem co u sol soluzioe Cosideimo il sistem liee ( ) pplicdo il metodo di elimizioe di GussJod, si h successivmete: [ ] Il sistem ( ) è llo equivlete S { } Sistem icosistete Cosideimo il sistem liee ( ) pplicdo il metodo di elimizioe di GussJod, si h successivmete: [ ] 8 ESEMPI

4 Il sistem ( ) è llo equivlete S 8 ( ) c Sistem co ifiite soluzioi Cosideimo il sistem liee 9 ( ) pplicdo il metodo di elimizioe di GussJod, si h successivmete: [ ] 9 Il sistem ( ) è llo equivlete ( ) Posto,, co, IR, si icv, S {, IR } Qudo l mtice umett del sistem è stt idott fom coic pe ighe, le icogite coispo deti gli domiti soo chimte icogite domiti Così, el cso del sistem ( ) tutte e te le ico gite soo domiti; el cso del sistem ( ) soo domiti e ; el cso del sistem ( ) soo domi ti, e Reltivmete i sistemi ( ) e ( ), ossevimo che è possiile espimee ciscu delle ico gite domiti i temii delle imeti icogite o domiti e u compoete del vettoe k Iftti: dll ( ) si deduce, 8 ; dll ( ) si deduce,, EP SIL, Risolvi i segueti sistemi liei utilizzdo il metodo di elimizioe di Guss Jod () () { y y INSIEMI-SOLUZIONE: () } () () { (), IR }

5 Codizioi di cosistez e uicità L codizioe di cosistez del sistem: () IR(m,), IR m, è espess dll seguete fodmetle poposizioe: T Teoem di Rouché-Cpelli U sistem di m equzioi liei i icogite è co sistete se e solo se l mtice dei coefficieti e l mtice umett del sistem ho lo stesso go Dim L mtice umett [ ] di u sistem di m equzioi liei i icogite si idott fom coic pe ighe [ C k ] e si () coloe uità coloe [ C k ] k k k k k km ighe m ighe Gli steischi ppeseto umei eli qulsisi Se () ([ ]), l mtice [ C k ] cotiee coloe uità che, sez pedee i geelità, suppoimo essee le pime Le pime ighe di [ C k ] coteo llo uo o più elemeti divesi d zeo, mete le estti m ighe so ulle O, dlle pime ighe dell mtice [ C k ] è possiile icve ciscu delle icogite domiti,,, del sistem i temii delle imeti icogite o domiti,,, e u delle pime compoeti del vettoe k ssegto u isieme di vloi qulsisi lle icogite o domiti, si ottiee, i coispo dez, u isieme di vloi pe le icogite domiti Quidi il sistem è cosistete Se ivece ([ ]) >, llo lmeo u delle compoeti k, k,, k m del vetto e k è dives d zeo; mettimo k t L'equzioe coispodete k t è llo impossiile e, di coseguez, il sistem è icosistete Quto l umeo delle soluzioi, dimostimo il seguete teoem T Dim Se u sistem di m equzioi liei i icogite è cosistete, vle u e u soltto delle segueti poposizioi: () il sistem h u'uic soluzioe; () il sistem h ifiite soluzioi Si [ C k ] l fom coic pe ighe dell mtice umett del sistem e si il suo go Sppimo che d ighe dell mtice [ C k ] è possiile icve ciscu delle icogite domiti del sistem i temii delle imeti icogite e u compoete del vettoe k Petto, se il sistem è cosistete, soo possiili due csi, secod che il go dell mtice [ C k ] si ugule o mioe del umeo delle icogite

6 Nel pimo cso,, tutte le icogite soo domiti e, di coseguez, il sistem h u e u sol soluzioe dt dl vettoe k Nel secodo, <, il sistem h ifiite soluzioi, peché ifiiti soo i vloi che possoo essee ttiuiti lle icogite o domiti Il T() foisce l codizioe di uicità delle soluzioi: u sistem cosistete di m equzioi liei i i cogite h soluzioe uic se e solo se il go dell mtice dei coefficieti del sistem è ugule l ume o delle icogite I T() le ifiite soluzioi dipedoo d umei eli fissti itimete, chimti pmeti Dici mo, llo, che il sistem h soluzioi EP SIL Risolvi i segueti sistemi liei utilizzdo il metodo di elimizioe di Guss Jod ) ) ) { } INSIEMISOLUZIONE ) 9) ) ) 9 ) ) ) { } 8) { 9 ) { } 9 ) ) 8) ) ) ) { } ) ), IR } 9) {, IR } ) { IR } ) 9 {, 8 { IR} IR} ) { IR}

7 Sistemi di Cme Se i u sistem liee: () il umeo m delle equzioi è ugule l umeo delle icogite, l mtice dei coefficieti è qudt di odie I pticole, se GL(, IR), cioè se, llo il sistem () viee chimto sistem di Cme I questo cso, come sppimo, è () Quidi u sistem di Cme è sempe cosistete ed h u'uic soluzioe Di più, idicto co S l'isiemesoluzioe del sistem, povimo che: T Se GL(, IR), llo S { } Dim Se GL(, IR), l mtice h l'ives O, se ell () scivimo i luogo di, si h suito: ( ) ( ) I Quidi il vettoe è soluzioe del sistem Il vettoesoluzioe del sistem (), è llo espesso dll elzioe: chimt fomul di Cme dj () Quest fomul possiede u otevole impotz teoic Tuttvi, elle ppliczioi, ess viee utilizzt qusi esclusivmete pe l isoluzioe di sistemi di equzioi liei i icogite, cus dell'eccessivo costo computziole che ess compot el cso di sistemi più gdi ESEMPIO d Sistem di Cme Cosideimo il sistem liee elle icogite, y: y y, che i fom mticile divet: y pplicdo l fomul di Cme, si h suito: y Se l mtice del sistem () è sigole, cioè se, llo o esiste Ovvimete, i questo c so, l fomul di Cme o è pplicile e quidi, pe isolvee il sistem, si icoe l metodo di elimizio e di GussJod D, segue < (il go di è mioe del umeo delle icogite) e ivesmete Quidi il siste m, se cosistete, h soluzioi Risolvi i segueti sistemi di Cme elle icogite, y EP SIL () y 8 y () y y () y 8 y () y y

8 8 () y y () y y () y y (8) y y INSIEMISOLUZIONE () { } () { } () { } () { } () { } () { } () { } (8) { } Sistemi liei omogeei U sistem liee si dice omogeeo, se i suoi temii oti soo tutti uguli zeo E' suito chio che u sistem omogeeo di m equzioi liei i icogite: () co [ s ] IR(m,), mmette sempe l soluzioe ull IR Ogi lt soluzioe, se esiste, è chimt utosoluzioe del sistem T Dim U sistem omogeeo di m equzioi liei i icogite mmette utosoluzioi se e solo se il go dell mtice dei coefficieti è mioe di U sistem omogeeo di m equzioi liei i icogite è sempe cosistete, peché l mtice dei coefficieti e l mtice umett [ ] ho lo stesso go llo, pe il T, se, il sistem h u'uic soluzioe: il vettoe ; se ivece <, il siste m h soluzioi: il vettoe e ifiite utosoluzioi ESEMPIO e Sistem omogeeo Cosideimo il sistem liee omogeeo ( ) pplicdo il metodo di elimizioe di Guss Jod, si h successivmete: [ ] Il sistem ( ) è llo equivlete ( ) Le icogite domiti soo e ; le icogite o domiti, e llo il sistem h soluzioi Posto e, dll ( ) si icv, S {, IR }

9 9 Risolvi i segueti sistemi liei omogeei ) 9 8 ) ) ) ) ) ) { IR } ) {, IR } ) { IR } ),, { γ γ γ γ IR} Risolvi ciscuo dei segueti sistemi di Cme i due modi: pplicdo l fomul di Cme; pplicdo il metodo di elimizioe di Guss-Jod () () Dt l mtice e i vettoi d c,, :,, c, d isolvi simultemete i sistemi liei, c, d Dt l mtice, isolvi i IR() l'equzioe X X Dt l mtice, isolvi i IR l'equzioe Detemi pe qule vloe di k il seguete sistem liee è cosistete k, { S IR } { S IR} k 8 EP SIL INSIEMISOLUZIONE ESERCIZI RIEPILOGTIVI lcue soluzioi