Posizionamento degli autovalori nei sistemi completamente controllabili

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1 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Posiziometo deli tovloi ei sistemi completmete cotollbili Si dto sistem: Sppoimo di costie l iesso come = K dove K è mtice di dimesioi oppote che scelimo oi. Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Rislt: Si ottiee sistem co iesso l ci dimic è descitt dll mtice (BK) B BK B BK K B 3 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Dto qlsisi poliomio ele di do è possibile tove oppot mtice K pe ci (BK) h il poliomio P() come so poliomio ctteistico. Qest popietà eele è o dimostt pe il cso di sistem d solo iesso che, sez pedit di eelità, si ssme che si messo ell secod fom coic di cotollo.... P 4 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico I qesto cso (b ) islt essee 5 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 6 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico e qidi (b )

2 7 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico le mtice h il poliomio ctteistico Le dici di tle poliomio possoo essee ssete picee co oppot scelt dei vloi Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Co l etozioe deli stti si possoo qidi ssee picee li tovloi. I pticole si pò stbilizze il sistem. Se il sistem o è completmete cotollbile si possoo ssee picee li tovloi dell pte cotollbile. 9 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Come tove l etozioe deli stti pe ssee li tovloi ei sistemi co solo iesso? - si detemi (b ) ( è i fom lettele) - si detemi il poliomio ctteistico di (b ), i ci coefficieti soo fzioi liei delle compoeti di 3 - si impoe il vloe dei coefficieti del poliomio ctteistico ffiché qesto bbi le dici desidete 4 - si icv Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico sempio: il pedolo iveso b Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico b Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Posto che si volio li tovloi i -, - il poliomio ctteistico deve essee: qidi

3 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 3 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 4 Co Mtlb che possibile se = plce (, b, p) K= plce (, B, p) è tle che pe sistemi molti iessi. p=ei (-b*k) ot bee Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 5 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 6 Pe elizze l etozioe deli stti occoe misli ttti. Se ciò o è possibile si pò co pove posizioe i poli di ( b ) I tli codizioi si ho solo di di libetà ( < ) qte soo le vibili di stto misbili (elemeti di divesi d zeo) e qidi o è tito che si posso posizioe li tovloi di (b ) i modo soddisfcete. sempio: il pedolo iveso Se si pò mise solo (posizioe) llo =, qidi b Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 7 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 8 che h poliomio ctteistico Ossevtoe deli Stti le ci dici soo, Il sistem islt milmete stbile se >, m pò essee eso sitoticmete stbile. Pe i sistemi completmete ossevbili è possibile icve, i tempo fiito, il vloe ssto dli stti sdo solo l cooscez dell scit e dell iesso.

4 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 9 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico U cso semplice: dto sistem che si pò ppesete come e costimo modello ell fom z z Impoimo i de sistemi descitti dlle vibili e z lo stesso iesso. Si e z see Not bee: e z o soo de vettoi di stto dello stesso sistem, m soo i vettoi di stto di de sistemi divesi, m li t loo. e z z z z e Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Nell ipotesi che il sistem cosideto si sitoticmete stbile, il vettoe e ted zeo l cescee del tempo pe qlqe stto iizile e() = z() - (). scoso tsitoio oppoto e qidi le vibili z (misbili) icopio fedelmete le vibili. Il modello descitto dlle vibili z viee elizzto dl poettist e pò essee ftto i modo tle d pemettee di mise evolmete le vibili di stto z. (sempio: pomm s clcoltoe) Nelle codizioe sop descitte è ecessio che si sitoticmete stbile e l velocità co ci e v zeo dipede dli tovloi di. Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 3 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 4 Ossevtoe sitotico dello Stto Dto sistem descitto d: z z z y Cz Cz y y C costimo il seete modello. i ci le mtici, B, C soo qelle del sistem dto ed è mtice di dimesioi oppote. Qesto modello h come iessi e y (iesso ed scit del sistem dto)

5 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 5 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 6 I qesto cso e z z y Cz z C Cz e Ce Ce Il sele eoe e è oveto dll mtice C Dimostzioe: Il sistem dto è completmete ossevbile e qidi il sistem fittizio ~ ~ C ~ Gli tovloi di tle mtice possoo essee scelti picee co oppot scelt di. I ci e C soo le mtici del sistem dto, è completmete cotollbile. Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 7 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 8 Pe tle sistem fittizio è possibile elizze etozioe deli stti i modo tle che C ~ C ~ ~ dove ( -C ) h tovloi fissti picee. Siccome C C e siccome mtice e l s tspost ho li stessi tovloi l dimostzioe è cocls. Come si pò tove l ossevtoe deli stti pe i sistemi completmete ossevbili d scit? - Si detemi (-c ). ( è i fom lettele) - Si detemi il poliomio ctteistico di (-c ) i ci coefficieti soo fzioi liei delle compoeti di 3- Si impoe il vloe dei coefficieti del poliomio ctteistico ffiché qesto bbi le dici desidete. 4- Si icv Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 9 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 3 sempio: Il pedolo iveso i ci l scit è l posizioe del pedolo. y L mtice di ossevbilità del sistem è: c S c che è di o pieo e qidi il sistem è ossevbile.

6 3 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico c 3 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Poliomio ctteistico Poliomio ctteistico desideto 33 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Ulido i coefficieti Pove svolee il cso i ci si bbi l sol velocità come scit del sistem. 34 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Se il sistem o è completmete ossevbile si iesce fe l ossevtoe dell sol pte ossevbile. Co MLB si s il comdo plce 35 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Retozioe deli Stti Ossevti Cos sccede se i sistem completmete cotollbile e ossevbile si etozioo li stti ossevti e o qelli misti? 36 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico Dto si costisce l ossevtoe e si f l etozioe C y y z C z Kz

7 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 37 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 38 llo BKz B z Cz C BKz B Mete dll pim eqzioe, posto z=e (siccome e=z-) si h: BK BKe B Qeste eqzioi possoo essee così ppte: sottedo l pim dll secod si h: e z Cz Cz Ce C BK e BK B C e Gli tovloi soo qelli di (BK) e di (-C). Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 39 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 4 C y K Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 4 Gstvo Belfote Retozioe deli Stti ed Ossevtoe sitotico 4 z z ( C) z y Kz