Andreina Anna D'Arpino STAT-PRO. E-Book di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il triennio. Volume 1

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1 Adei A 'Apio STAT-PO E-Boo di lcolo delle Poilità e Sttistic pe il tieio olume

2 Gmod 9 Tutti i diitti isevti i Tevee, om Pim edizioe od ISBN olume 98_88_868_9_8

3 L mtemtic del cso, lcolo omitoio ALOLO OMBINATOIO PEEQUISITI [Isiemi lcolo lgeico Equzioi] OBIETTII [icooscee i gguppmeti del lcolo omitoio Applice i pocedimeti del lcolo omitoio pe isolvee polemi lcole il iomio di Newto] I gguppmeti Il lcolo omitoio studi i che modo si possoo fome guppi co pticoli ctteistiche: teedo coto o o teedo coto dell odie degli elemeti che fo pte dei guppi, ipetedo o meo gli elemeti Le pocedue del lcolo omitoio soo utilizzte pe tove le soluzioi polemi di vi tu isposizioi co ipetizioe Immgi di vole detemie, l possiile discedez di Fui e Jessi, due spledidi cvlli Qute possiilità ci soo che l loo pole si compost d mschi o femmie? pecisto che d ogi pto sce, di egol, u solo puledo Se, pe esempio, ho u solo figlio, vemo due possiilità: potà essee o mschio o femmi, I fomule, si legge: disposizioi co ipetizioe, di due elemeti di clsse ) dove ppeset le ltetive possiili Mschio o Femmi) mete il umeo dei ti Nel cso che io due figli potemo vee qutto possiilità: figlio figlio figlio figlio figlio figlio figlio figlio, Nel cso di te figli si poto vee te mschi, te femmie, due mschi e u femmi o due femmie e u mschio Adei A Apio - - Gmod 9

4 L mtemtic del cso, lcolo omitoio figlio figlio figlio figlio figlio figlio Nel cso di due mschi e u femmi, isogeà distiguee l odie di scit, potemo vee te possiilità: figlio figlio figlio figlio figlio figlio figlio figlio figlio Lo stesso dicsi el cso di due femmie e u mschio 6 8 figlio figlio figlio figlio figlio figlio figlio figlio figlio I totle vemo:, 8 Quto visto fio ci suggeisce l soluzioe del polem geele Ossevzioe Iftti se imo elemeti, pe detemie il umeo delle coppie, idicto co,, st ccoppie ciscu elemeto co tutti gli lti, compeso se stesso, vemo peciò:,, Pe otteee le tiple, st ggiugee, d ogi elemeto delle,, ciscuo degli elemeti, otteimo così:, Adei A Apio - - Gmod 9

5 L mtemtic del cso, lcolo omitoio efiizioe I geele dti elemeti, si defiiscoo disposizioi co ipetizioe di clsse, i possiili guppi di umeosità, che co elemeti ipetuti, che si possoo fome co gli elemeti Ogi guppo si distigue dll lto o pe l tu degli elemeti o pe il loo odie, Qute sigle di due lettee che ipetute, si possoo fome co le lettee dell lfeto itlio? I questo cso il umeo degli elemeti è, il umeo degli elemeti di ciscu guppo è Utilizzdo l fomul geele:, I totle possimo fome sigle divese co elemeti ipetuti isposizioi semplici Suppoimo di vee due fiches colote, u oss e l lt celeste, potemo, dispoedole i odie, otteee due possiili coppie: Figu Soo queste, le disposizioi di due elemeti, pesi due due, il cui umeo è dto d:, Suppoimo o di vee disposizioe te coloi: celeste, osso e vede e vole fome coppie odite Medite u gfo d leo, povimo costuie le coppie possiili: Figu Adei A Apio - - Gmod 9

6 L mtemtic del cso, lcolo omitoio Le coppie possiili soo quidi: Soo queste le disposizioi di elemeti, pesi due due, 6 Povimo d ggiugee u lto coloe, il eo, i coloi disposizioe soo o che pesi due due do:, N N N N N N ostuisci il gfo d leo pe detemie, utilizzdo i umei d : I geele, se voglimo dedue qute coppie si possoo fome co elemeti, steà uie ciscuo di essi co i imeti - elemeti Avemo: ), Suppoimo o co i qutto coloi disposizioe: celeste, osso, vede e eo, di vole fome tutte le possiili tee odite Al gfo pecedetemete costuito ggiugimo il coloe eo e lle coppie così fomte uo dei due elemeti mcti e cioè: N N N N N N Adei A Apio - - Gmod 9

7 L mtemtic del cso, lcolo omitoio N N N N Figu Il umeo delle disposizioi di qutto elemeti te te è dto d:, Allo qute so le disposizioi di elemeti te te? 6, I geele, ) ) Aimo otteuto il podotto di tti umei decesceti, ptie d, quti e idic il secodo umeo Ad esempio: Ossev:,, l ultimo dei podotti è l ultimo dei podotti è,, ) ) che qui ) ) ) dove, qui sctuisce l fomul geele:, ) ) ) efiizioe ti elemeti, si defiiscoo disposizioi semplici di clsse, co, i possiili guppi di umeosità, che si possoo fome co gli elemeti Ogi guppo diffeisce dll lto o pe l tu degli elemeti o pe il loo odie Adei A Apio - - Gmod 9

8 L mtemtic del cso, lcolo omitoio Ad u toeo ptecipo squde, qute ptite so disputte, se si pevedoo due icoti, uo di dt e uo di itoo? I questo cso e, i quto i ogi ptit si icoto due squde, vedo pevisto icoti di dt e di itoo, doimo pedee i cosidezioe le disposizioi semplici L ptit AIAX-LIEPOOL sà ovvimete dives d LIEPOOL-AIAX, i quto el pimo cso l AIAX gioc i cs el secodo cso i tsfet Avemo:, 9 9 So disputte, i totle, 9 ptite Pemutzioi semplici Nel cso pticole delle disposizioi di elemeti d, cioè el cso i cui si dispogoo gli elemeti i tutti i modi possiili, le disposizioi si dicoo pemutzioi e si idico co, vemo llo: P P ) ), Il podotto: ) ) è molto impotte e h u simolo e u ome specile: si idic co e si chim fttoile di Il umeo soddisf d lcue popietà utili pe l ppliczioi: ) ) ) pe covezioe iptedo dlle te fiches di coloe: osso, vede e celeste Fig), i quti modi potemo dispole? I modi divesi, cioè: vle die i sei modi divesi Adei A Apio Gmod 9

9 L mtemtic del cso, lcolo omitoio efiizioe ti elemeti, si defiiscoo pemutzioi semplici i possiili guppi di umeosità che si possoo fome, ogi guppo diffeisce dll lto solo pe l odie degli elemeti Simoe h dimeticto l comizioe di qutto cife del lucchetto dell su vligi, icod solo che e compost di umei:,,, Quti tettivi dovà effettue l mssimo pe iuscie d pil? Si ttt di u pemutzioe semplice dei qutto umei di cui è compost l comizioe Avemo: P Il umeo mssimo di tettivi che dovà effettue è pi Pemutzioi co ipetizioe Se t gli elemeti vi soo p elemeti uguli t loo ed evetulmete lti q elemeti uguli t loo, lti elemeti uguli, co p q il umeo delle pemutzioi co ipetizioe è dto d: P p q efiizioe ti elemeti, di cui p, q e ipetuti, si defiiscoo pemutzioi co ipetizioe i possiili guppi di umeosità che si possoo fome, ogi guppo diffeisce dll lto o pe l odie degli elemeti distiti o pe l posizioe che occupo gli elemeti uguli Quti gmmi si possoo fome co l pol leotteo? Gli elemeti soo co le ipetizioi p pe l lette e, q pe l lette o, pe l lette t P Adei A Apio - - Gmod 9

10 L mtemtic del cso, lcolo omitoio Quti soo gli gmmi, che pivi di sigificto, che si possoo fome co l pol ssso? Si ttt di u pemutzioe co ipetizioe, i quto l lette s è pesete te volte Avemo: P Gli gmmi soo i totle omizioi semplici ome potete osseve, elle sei disposizioi semplici di te elemeti pesi due due, ipotte i sso, le coppie co elemeti diffeeti soo soltto te e soo quelle dell pim ig, peché quelle dell secod ig diffeiscoo, ciscu, d u delle pecedeti, soltto pe l odie i cui compioo gli elemeti Suppoimo di ve vito u mo l gioco del lotto, o impot cetmete, i fii dell vicit, spee qule dei due umei è stto esttto pe pimo Quidi gli mi che si possoo otteee giocdo te umei soo solo te e o sei efiizioe N N iemo comizioi di te elemeti due due,, il umeo di coppie che si possoo fome co te elemeti divesi qudo o iteess l odie i cui gli elemeti stessi compioo, ll tell si evice che le, soo l metà di, :,, Pssimo vedee qute soo le,, pe questo comicimo co l esmie qute volte compe u te fomt co gli stessi elemeti, elle, Ossevdo il gfo fig) che imo costuito, d esempio, l te compe 6 volte, ess iftti compe due volte i ciscuo degli lei che iizio co, e U te o può compie che tte volte qute soo le pemutzioi di te elemeti e cioè sei volte Sciveemo, quidi:,, I geele:,, efiizioe Adei A Apio Gmod 9

11 L mtemtic del cso, lcolo omitoio ti elemeti, si defiiscoo comizioi semplici di clsse, co, i possiili guppi di umeosità, che si possoo fome co gli elemeti Ogi guppo diffeisce dll lto pe l tu degli elemeti m o pe il loo odie, Le comizioi si possoo idice che co il simolo che si legge su ed è detto coefficiete iomile I u clsse di lui si devoo scegliee due ppesetti di clsse I quti modi è possiile effettue l scelt? Si ttt di comizioi semplici, i quto si dovo scegliee due lui e o h essu impotz l odie di selezioe Avemo:,, Le possiili coppie che si poto fome mmoto Il coefficiete iomile Aimo visto che u lto modo pe scivee le comizioi coefficiete iomile: ) ), lo si ottiee icoedo l se moltiplichimo umetoe e deomitoe pe ) ) ) otteemo: ) ) ) ) ) ), che è u lto modo di clcole il umeo delle comizioi di elemeti pesi, edimo di quli popietà gode, ) lcolimo: ) [ ) ] ) Il ome poviee dl iomio di Newto che vedemo più vti Adei A Apio Gmod 9

12 L mtemtic del cso, lcolo omitoio Quest fomul ci dice che: efiizioe Il coefficiete iomile gode dell popietà di simmeti : Questo isultto è molto impotte peché ci cosete di ispmie del clcolo Se si estede tle popietà l cso, si ottiee: M, pe cui divet ecessio ttiuie l simolo che, dl puto di vist del clcolo comitoio o h lcu sigificto, il vloe, si h così pe covezioe: Si dimost che: quest popietà è dett fomul di Stifel Iftti, sviluppdo si h: ) ) ) ) ) ) ) ) Essedo il mcm è pi ) ) ) ) ) ) ) ) ) ccogliedo i fttoi comui vemo: ) ) ) ) / / ) ) ] ) [ M Stifel 8-6) mtemtico tedesco Adei A Apio - - Gmod 9

13 L mtemtic del cso, lcolo omitoio U lt popietà dei coefficieti iomili è l seguete: Iftti, sviluppdo vemo: ) ) ) ) ) ) ) ) Il iomio di Newto Avete impto, dl ieio, clcole le poteze di u iomio e si che l potez eesim di ) co N, è u poliomio di temii, omogeeo di gdo, completo e odito secodo le poteze decesceti ispetto ll lette e completo e odito secodo le poteze cesceti ispetto ll lette I coefficieti i zzuo, povegoo, come icodeete, dl tigolo di Ttgli Figu Pe esempio, pe sviluppe il iomio: ) doimo pedee i cosidezioe l sest ig del tigolo qui fico ) I questo tigolo ogi umeo, te il umeo geetoe l vetice del tigolo, è l somm dei due umei sovstti Ai odi si tov sempe, peché i due umei sovstti soo, i questo cso, d u pte e dll'lt essu umeo, cioè zeo Figu 6 ome vete otto, esiste u elzioe t i coefficieti iomili ed il tigolo di Ttgli E popio il tigolo foici i vloi dei coefficieti iomili Adei A Apio - - Gmod 9

14 L mtemtic del cso, lcolo omitoio Ad esempio, sull secod ig, vemo ; Adei A Apio - - Gmod 9 e L popietà di simmet che vle pe i coefficieti iomili, vle che sul tigolo Quidi, pe ogi ig, clcoleemo solo metà dei coefficieti, el cso i cui il umeo degli elemeti si dispi Ad esempio,, etmi pi i l Figu 8 Figu Ache el tigolo fomto di coefficieti iomili vle l popietà stilità dll fomul di Stifel: ogi temie è pi ll somm dei temii diceti dell ig pecedete Ad esempio, dll figu puoi veifice che: edimo o, come si tsfom l fomul del iomio di Newto se si utilizzo i coefficieti iomili ) lcolimo: ) lcolimo desso il vloe dei coefficieti iomili Utilizzdo l popietà di simmeti, essedo il umeo dei temii pi, toveemo solo l metà dei coefficieti ecessi:

15 L mtemtic del cso, lcolo omitoio Teedo coto di tli vloi otteimo: 6 6 ) omizioi co ipetizioe efiizioe ti elemeti, si defiiscoo comizioi co ipetizioe di clsse, i possiili guppi di umeosità che co elemeti ipetuti, che si possoo fome co gli elemeti Ogi guppo diffeisce dll lto pe lmeo u elemeto o pe l ipetizioe ipededo l esempio delle fiches colote, clcolimo il umeo di comizioi co ipetizioe co e Olte lle comizioi semplici, doimo ggiugee le tiple co le ipetizioi, come ipotto el gfo I guppi co le ipetizioi si costituiscoo pe ogi elemeto, d esempio, pe le ipetizioi delle fiches celesti vemo tiple divese I totle, quidi, 6 tiple co le ipetizioi, che ggiute lle tipl e sez ipetizioi cffig ) dà: N, 6 N N N NNN NN NN NN N N N Geelizzdo si icv:, ) ) ) Adei A Apio - - Gmod 9

16 L mtemtic del cso, lcolo omitoio U psticcei h disposizioe qutto tipi di cmelle co le quli deve iempie dei scchetti d quidici cmelle ciscuo Quti tipi di scchetti potà iempie? Essedo le cmelle solo di qutto tipi, ecessimete, se e dovo utilizze pe ogi tipo più pezzi l fie di iempie u scchetto co cmelle lt pte el scchetto o h essu impotz l odie di iseimeto delle cmelle Si ttt, quidi, di comizioi co ipetizioe 8 8 6, 86 Si poto cofezioe 86 scchetti di cmelle divesi Adei A Apio - - Gmod 9

17 L mtemtic del cso, lcolo omitoio Adei A Apio - - Gmod 9 iepilogo delle picipli fomule del lcolo omitoio Numeo di disposizioi co ipetizioe di elemeti di clsse, Numeo di disposizioi semplici di elemeti di clsse ) ) ), Numeo di pemutzioi di elemeti ) ), P Numeo di pemutzioi co ipetizioe di elemeti q p P Numeo di comizioi semplici di elemeti di clsse,, Numeo di comizioi semplici di elemeti di clsse ) ) Numeo di comizioi semplici di elemeti di clsse ), Numeo di comizioi co ipetizioe di elemeti di clsse ) ) ), Popietà dei coefficieti iomili Pe covezioe Popietà dei coefficieti iomili Popietà dei coefficieti iomili Sviluppo del iomio di Newto ) HAI IMPAATO A ALOLAE ISPOSIZIONI, PEMUTAZIONI, OMBINAZIONI SILUPPAE IL BINOMIO I NEWTON ON L AUSILIO EI OEFFIIENTI BINOMIALI ISOLEE POBLEMI I ALOLO OMBINATOIO