L operazione di Convoluzione,

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1 Revisioe mg 015 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe Cludio Mgo wwwcm-physmthet CM_Portble MATH Notebook Series

2 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 1 Joh Peter Gustv Lejeue Dirichlet ( )

3 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe L Covoluzioe Sommtori Qudo e somme di poteze ordite ciscu di tipo qulsisi (poliomio o serie quest che di Luret co u umero ifiito di ddedi di idice egtivo) r Α( ) e ( ) r r s Β bs s dove { r s} Z vegoo moltiplicte tr loro secodo l lgoritmo P ie il Prodotto à-l Cuchy si ottiee cor u somm (possibilmete u serie) formle di poteze Α( ) Β ( ) = c (1) i cui coefficieti c co Z soo geerti di coefficieti r e b s per mezzo dell regol commuttiv di sovrpposizioe progressiv dell idice k sull idice Nelle forme equivleti () c : = b b k k k k k k () fissto l idice discreto k vri i modo che si k (o k ) si b k (o b k ) corrispodo coefficieti effettivi dell espsioe Α ( ) e rispettivmete Β ( ) Altrimeti si ssume c 0 Ad esempio se Α ( ) r r = 0 r e Β ( ) s= 0 b s s llor + + Z 0 (: = Z { 0} ) si trov che metre se c : = b b k k k k k = 0 k= 0 (1) Α ( ) r r e Β ( ) r = s bs s= segue Z che () c : = b b k k k k k = k = Si dice che il coefficiete geerico c risult dll covoluzioe sommtori di coefficieti r e b s ssegti secodo l u o l ltr delle somme () Globlmete l isieme ordito discreto l più umerbile (successioe) { c } costituisce l elemeto dell Covoluzioe Sommtori degli isiemi orditi discreti l più umerbili etrmbi (successioi) { r } e { b s } costruiti secodo le somme ()

4 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 3 L Covoluzioe Itegrle L geerlizzzioe l cotiuo dell operzioe di Covoluzioe port rppresetzioi itegrli prmetriche su itervlli specifici fiiti o illimitti L Covoluzioe Itegrle di e fuzioi φ e ψ geerlmete cotiue e vlori i C idict co l opertore liere ( φ ψ ) si esprime rispetto itervlli mmissibili di itegrzioe R prescritti o coveziolmete sottitesi co gli rgometi dei fttori itegrdi i form rifless (cfr/c Eq ()) φ ( u) ψ ( u) ovvero + 0 ( φ ψ )( ) φ ( ) ψ ( ) : = φ ( u) ψ ( u) etc L su ricorrez i modelli formli e i ppliczioi eg i Fisic Qutistic i Ottic i Elettroic i Sttistic e i suoi legmi strettissimi si co l Teori delle Equzioi Differezili che soprttutto co quell delle Equzioi Itegrli l colloco rgioe tr le operzioi peculiri e fodmetli dell Alisi Mtemtic U iterpretzioe geometric dell Covoluzioe Itegrle è suggerit dll rgometo del fttore itegrdo ψ elle Eq (3): l Covoluzioe Itegrle delle fuzioi φ e ψ ell fuzioe trsformt ( φ ψ ) del prmetro corrispode u riflessioe ssile di grf ψ vs u = / (i ted: die Fltug ie vvolgimeto) L fuzioe ψ rppreset il ucleo (der Itegrlker) dell su covoluzioe co φ ; i ltri termii ψ è ssegto il ruolo di fuzioe-peso ell operzioe di covoluzioe Le crtteristiche litiche di ( φ ψ ) soo determite dl grdo di correlzioe itegrle (overlppig) tr φ e ψ goverto dll rgometo modificto u di ψ vs quello di φ Nell Fig 1 è riportto l esempio elemetre reltivo ll fuzioe φ : e φ( ) e l suo ucleo covolutivo ( t ) ssocito ch esso scelto di tipo espoezile ψ : e ψ ( t ) (3) Fig 1 I termii strtti l Covoluzioe Itegrle di e fuzioi geerlmete cotiue è il prodotto geerlizzto tr queste itese come elemeti dell Algebr di Schwrtz i R (o i C ) Dl cofroto co l Eq () viee spoteo chiedersi se che l Covoluzioe Itegrle si u operzioe lmeo commuttiv

5 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 4 Esempio 1 Rispetto ll itervllo [ 0 ] si h si : = u si ( u) = si 0 ( ) : Il risultto (31) è plesemete commuttivo u si u = si (31) 0 Esempio + Ricedo l itervllo [ 0 ] R { 0} ll itervllo [ 0 1 ] medite l trsformzioe ffie u : = t (qui è u prmetro) tr le vribili di itegrzioe u e t si h i termii delle Fuzioi Eulero-Legedrie Γ e Β 1 / 1 / / / / / : = u ( u) = t ( t) dt Γ ( 1 / ) Γ ( 1 / ) = Β ( 11 / / ) = π (3) Γ ( 1 / + 1 / ) L Eq (3) blmete commuttiv mostr che l covoluzioe itegrle di e espressioi fuzioli vribili i itervlli opportui può risultre costte Esempio 3 L covoluzioe itegrle i R di e fuzioi-grdio di mpiezz uitri e di lrghezze rispettive b ( < b) e β α ( α < β ) può essere rppresett medite l Fuzioe-θ di Heviside (tle clcolo trov ppliczioe i certi problemi di brrier di potezile 1D tipici i Meccic Qutistic): b α β = u u b u u ( ϑ ϑ ) ( ) ( ϑ ( ) ϑ ( )) ( ϑ (( ) α ) ϑ (( ) β )) = ϑ ( u ) ϑ ( u α ) ϑ ( u ) ϑ ( u β ) ϑ ( u b) ϑ ( u α ) + ϑ ( u b) ϑ ( u β ) Il procedimeto di itegrzioe è idetico per ciscuo dei quttro ddedi risultti Così riferedo il prmetro ll sciss reltiv : = α il cui vlore ssoluto corrispode ll lrghezz del primo grdio si h α ( ) ϑ ( u ) ϑ ( u α ) = ( α ) ϑ ( α + 1 / ) ϑ ( α 1 / ) ( α)( ϑ ( + 1 / ) ϑ ( ( 1 / ))) ( α) R( ) α α idicdo co R ( α ) l rppresetzioe dell fuzioe-grdio di mpiezz e di lrghezz uitrie (rectgle fuctio) i termii dell sciss reltiv α Pertto risult α

6 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 5 ( ϑ b ϑα β )( ) = ( α) R ( α ) ( β ) R( β ) ( b α) R( ) + ( bβ ) R( ) ( ϑ ϑ )( ) α β b b α b β (33) Esempio 4 L covoluzioe itegrle di e distribuzioi sttistiche gussie g 1 e g è ess stess u distribuzioe gussi Iftti ( uµ 1 ) (( u ) µ ) 1 σ 1 1 σ 1 g = 1/ 1/ ( π ) σ1 ( π ) σ ( g ) ( ) e e ( u µ 1 ) σ + ( u ( µ )) σ 1 σ σ 1 λ ( u ) e e πσ σ πσ σ Qui è coveiete semplificre l espressioe dell espoete ell fuzioe itegrd Espdedo i qudrti biomili el umertore di λ ( u) si h 1 λ ( u) = {( u + µ 1 µ 1u) σ + ( u + ( µ ) ( µ ) u) σ1 } σ σ 1 σ σ ( ) ( ) u µσ µ σ u µ σ µ σ = + = σ σ σ + σ σ + σ = completdo il qudrto biomile i u e ricedo i termii resii σ1 + σ = ( u κ1) + κ σ σ 1 µ 1σ + ( µ ) σ 1 µ 1µ dove κ1 : = κ : = σ + σ ( σ + σ ) 1 1 Se si poe u : = v+ κ 1 d cui viee che dv l itegrle di covoluzioe si estede cor tutto R Quidi cosiderto che l fuzioe itegrd è pri si rriv ll form commuttiv σ + σ 1 v κ κ 1 σ σ e π σ σ 1 1 ( g1 g) ( ) = e dv = πσ σ πσ σ σ + σ = ( π ( σ + σ )) 1/ 1 ( g g )( ) 1 e ( µ 1 + µ ) ( σ + σ ) 1 1/ (34) L commuttività covolutiv tr le distribuzioi gussie g 1 e g segue i modo evidete dll ivriz egli scmbî prmetrici simultei σ σ e µ µ ell Eq (34) 1 1

7 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 6 Esempio 5 L Formul di Covoluzioe Itegrle di Dirichlet Si cosideri l fuzioe f : u f ( u) di u sol vribile rele dove è f C ([ t ]) Nell su ppliczioe più semplice quell i R l formul di covoluzioe di Dirichlet di f cosiste ell rizioe dell fuzioe itegrle i form doppi = t ( f ) ϑ ( ) : ( u) dt (4) u fuzioe itegrle i form semplice medite uo scmbio (mmissibile) dell ordie delle itegrzioi Si oti che il domiio trigolre rettgolre D di itegrzioe (Fig ) ppoggito sull bisettrice-ipoteus di equzioe t = u è isoscele Fig Pertto l rppresetzioe (1) di ϑ ( ) si riport ll form semplice file ( f ) ( u ) ϑ ( ) ( u) dt = dt f ( u) u = ( u) f ( u) (11) Acor se si idific il procedimeto precedete vs l fuzioe itegrle i form tripl ϑ3 ( ) : = ϑ ( t) dt () quest si rice per l Eq (11) u itegrle doppio di tipo (1) per il qule cor dl cofroto co il digrmm di D risult ( f ) ( ) t ϑ ( ) = ( tu) ( u) dt ( tu) dt f ( u) 3 u = ( 1 / ) ( u) f ( u) (51) Quidi ittivmete si determi l formul geerle di Dirichlet per l fuzioe itegrle ϑ di u sol vribile rele m i form itegrle -pl: 1 itegrzioi ( f ) t ϑ ( ) : = ϑ ( t) dt ( u) ( dt) ( u) f ( u) 1 = ( 1)! Ivertedo il procedimeto l derivzioe di y ( ) : = ϑ ( ) che si esegue ievitbilmete sotto il sego di itegrle (Formul di Leibiz) dà il risultto di form chirmete itertiv (6) 1 1 d ( u) ( u) d y ( ) = f ( u) f ( u) d + ( 1)! ( 1)! d 1 = ( u) f ( u) ( )! u= ( u) ( 1)! 1 f ( u) u= d d

8 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 7 ( ) Quidi derivdo dy / d successivmete 1 volte si ottiee d y / d = f ( ) e d quest si risle ll equzioe differezile liere di ordie o-omogee ( ) d y d = f ( ) (7) È immedito otre che dt l vribile dipedete y l espressioe (6) rppreset u itegrle prticolre dell Eq (7) L equzioe crtteristic dell equzioe differezile omogee ssocit ll Eq (7) è λ = 0; le sue rdici multiple idetiche λ = 0 cosetoo di determire u bse di itegrli liermete idipedeti dell equzioe differezile omogee ssocit { e e e e e } { 1 } ecessri per costruire l itegrle geerle Pertto l itegrle geerle dell Eq differezile o-omogee (7) h l form covolutiv y( ) = c1+ c + c3 + + c + ( u) f ( u) ( 1)! (8) k1 1 1 ck + ( f ) (81) Γ ( ) k= 1 dove φ f e ψ ( u) ( u) 1 ; ψ Itegrlker) covolutivo di f e di 1 (fuzioe-potez) costituisce il ucleo (der 1 ell itervllo ( ) di itegrzioe

9 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 8 A Proprietà lgebriche Proprietà dell Covoluzioe Itegrle Sio f g e h fuzioi geerlmete cotiue e α C u qutità ivrite sclre L Covoluzioe Itegrle soddisf le proprietà lgebriche segueti di verific elemetre: commuttiv: ( f g) ( ) = ( g f ) ( ) ; (91) ssocitiv: ( f ( g h)) ( ) = (( f g) h ) ( ) ; (9) distributiv vs l somm: ( f ( g + h)) ( ) = (( f g) + ( f h)) ( ) ; (93) distributiv vs il prodotto per α : α ( f g) ( ) = (( α f ) g ) ( ) = ( f ( α g)) ( ) (94) B Proprietà litiche Il clcolo dell derivt 1 di u covoluzioe itegrle che si esegue esplicitmete sotto il sego di itegrle forisce le idetità simmetriche d d f d g ( f g )( ) = g ( ) f ( ) (10) d d d L re Ω dell superficie compres tr l sse delle scisse e il grfico di u covoluzioe estes tutto R è ugule l prodotto delle ree itegrli reltive i sigoli fttori: d ( ) ( g u d) Ω : = ( f g)( ) f ( u) g( u) d e sostituedo + u = f ( u) ( ) = f ( u) g( u) ell itegrle itero (11) Dll defiizioe cosuet di vlore di spettzioe di α (i R ) ormlizzto vs l fuzioepeso w( ) α w( ) d α : = w( ) d (1) si decoo i vlori di spettzioe rispettivmete dell fuzioe cetroide orizzotle e dell vriz ssocit ormlizzte vs l covoluzioe w f g ( f g) ( ) ( f g)( ) = f ( ) + g( ) (131) ( f g)( ) = f ( ) + g( ) + f ( ) g( ) (13) Come verific esemplifictiv si clcol ppoggidosi lle Eq (11) e (1) ( f ( ) g( ) ) u u d ( f g)( ) f ( u) g( u) = Ω 1 = f ( u) ( g ( u) d) Ω (131)

10 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 9 Co l sostituzioe + u ell itegrle itero (131) si scrive ( ) 1 ( f g)( ) = f ( u) ( + u) g ( ) d Ω f ( u) g( ) d + u f ( u) g( ) d + + u f ( u) g( ) d = f ( u) g( ) d Teedo presete che le vribili di itegrzioe soo mute ie ridefiibili rbitrrimete si coclude che f ( ) d g( ) d f ( ) d g( ) d ( f g)( ) = + + f ( ) d g( ) d f ( u) g( ) d f ( ) + g( ) + f ( ) g( ) Eq (13)

11 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 10 L Trsformt Itegrle di u Covoluzioe Itegrle Si T u opertore trsformt-itegrle qulsisi (eg di Lplce o di Stieltjes o di Fourier o di Hkel (ie di Fourier-Bessel) o di Melli etc) e si suppog vlid sotto codizioi litiche specifiche l ugugliz di trsformzioe di ucleo itegrle κ f ( α) T { φ ( )}: φ ( ) κ ( α) d (14) = = D Nell Eq (14) f ( α ) rppreset il vlore putule corrispodete quello del prmetro α dell fuzioe geertrice f metre φ ( ) itero ll itegrle dell trsformzioe crtterizzt dl ucleo κ ( α ) è il vlore putule dell fuzioe determitrice φ le f ttrverso T Tle lità tr f e φ esprime l loro biuivocità geerle e quidi l lierità e l ivertibilità geerli di T i u regioe crtesi R α R mmissibile prestbilit Seguedo u pproccio ssiomtico sitetico il psso successivo importte è costituito dll richiest che l fuzioe prodotto di e fuzioi T-geertrici o solo si ess stess T-geertrice m coicid che co l T-trsformt dell covoluzioe delle fuzioi determitrici li corrispodeti per lo stesso vlore del prmetro α ie f ( α) f ( α) T{ φ ( )} T { φ ( )} 1 1 = NT {( φ φ ) ( )} = N φ ( t) φ ( t) dt κ ( α ) d (15) 0 D + essedo N R u costte opportu di ormlizzzioe o di simmetrizzzioe L codizioe espress dll Eq (15) selezio le covoluzioi φ1 φ mmissibili liticmete per u trsformt itegrle dt Nell tbell riportt qui sotto soo electe e descritte lcue tr le trsformte itegrli più frequeti di fuzioi determitrici φ mmissibili Trsformt di Lplce L ui\bi-lterle κ ( α ) e α D [ 0 ) \ ( ) Trsformt di Stieltjes S ( + α) 1 [ 0 ) Trsformt di Fourier F ( ) i / e α /( π ) 1 Trsformt di Hkel H Jν ( α ) [ 0 ) Trsformt di Melli M α 1 [ 0 ) Spesso l form geerle (15) si icotr riformult come Teorem di Covoluzioe specifico per u dt trsformt itegrle I reltà l Eq (15) rppreset u proprietà sitetic ell Teori dell Trsformt di Covoluzioe [ 1 ] Nelle PROPOSIZIONI che seguoo e soo presette formulzioi specifiche prticolrmete frequeti co dimostrzioi esplicite

12 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 11 PROPOSIZIONE 1 Sio φ 1 φ e φ1 φ prmetro α fuzioi L-trsformbili vs lo stesso itervllo [ α 0 ) di vlori del Allor dette f 1 e f le fuzioi geertrici li rispettive di φ 1 e di φ si h α [ α ) per l qule è N 1 Dimostrzioe f ( α) f ( α) = L {( φ φ )( )} 1 1 ( φ ( ) φ ( ) ) α e t t dt d (16) Coviee vvire il clcolo del prodotto f1( α) f ( α) come limite dell itegrle doppio seprto el prodotto di itegrli defiiti semplici e fuzioe dei loro estremi superiori di itegrzioe αu αt ( e u e t dt + + ) 0 0 f ( α) f ( α) = lim φ ( ) φ ( ) 1 1 (161) e quidi sfruttdo il ftto che φ 1 e φ si suppoe sio di ordie espoezile rirre tle limite ll form itegrle doppi seprt equivlete u αu αt ( e u e t dt + ) 0 0 f ( α ) f ( α) lim φ ( ) φ ( ) = 1 1 (16) Fig 3 Fig 4 Iftti beché il domiio dell fuzioe itegrle el limite (161) è il qudrto prmetrico + OABC (Fig 3) che si propg tutto ( R ) lmeo metre quello dell itegrle el limite (16) corrispode l solo trigolo rettgolo isoscele prmetrico OAC d ltr prte il cotributo forito dll regioe CAB è ifiitesimo per poiché si h t lim e α φ ( t) dt = u 0

13 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 1 L effetto del pssggio l limite vs sul t-itegrle ell Eq (16) idic che il comportmeto dell vribile t di itegrzioe cosegue dll umeto cotiuo e idipedete del vlore del prmetro secodo il vicolo t = u+ Or si trsformi l regioe OAC mteedoe ivrit l defiizioe dell ordit t m cmbidoe quell dell sciss medite l riflessioe ssile u ( / ) u u per l qule l sse di riflessioe è l rett di equzioe u = / (v Fig 4) + Nell propgzioe del uovo domiio OAC di itegrzioe tutto ( R ) le vribili vecchie di itegrzioe t e u coservo l relzioe bi-liere t+ u = co il prmetro essedo l riflessioe ssile u isometri I tl seso se l rett di equzioe t = u+ costituisce il vecchio frote di propgzioe di OAC l riflessioe determido le disloczioi putuli C B A O e O A f sì che il segmeto BA sull rett di equzioe u = diveti il frote di propgzioe del uovo domiio di itegrzioe Pertto se si esplicit u come fuzioe dell coppi uov { t } di vribili si ottegoo le equzioi di trsformzioe Le Eq (17) corrispodoo l determite jcobio t t t ( t ) (17) u t u ( t ) ( t u) t/ t t/ 1 0 J ( t ) = = = 1 ( t ) u/ t u/ 1 1 dl qule poiché si h dt J ( t ) dtd = dtd l Eq (16) si riscrive u α ( u+ t ) ( e + + ) 0 t= 0 t α { e ( φ ( ) φ ( ) )} t α ( e φ ( t) φ ( t) dt) d f ( α) f ( α) lim φ ( u) φ ( t) dt 1 1 lim t lim t t t d dt essedo d d ( t) (18) L {( φ φ )( )} (181) 1 Ifie ell Eq (18) co l trsformzioe t t : = v l opertore itegrle semplice itero 0 0 divet ( dt) ( dv) Quidi si trov protmete che f ( α) f ( α) L {( φ φ )( )} (18) 1 1 com è d ttedersi dll proprietà commuttiv dell Covoluzioe Itegrle PROPOSIZIONE Sio φ 1 φ e φ1 φ fuzioi F-trsformbili vs lo stesso vlore del prmetro α R Allor idicte co f 1 e f le fuzioi geertrici li rispettive di φ 1 e di φ si h mmissibile f ( α) f ( α) = 1 1 F {( φ1 φ)( )} π α

14 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 13 ( φ ( ) φ ( ) ) 1 iα e t t dt d + π 0 1 (19) Dimostrzioe Si procede come per l L-trsformt vedo osservto che l L- e l F-trsformt soo formlmete (ie estededoe le defiizioi d α C ) ricocibili l u ll ltr i modo diretto Così si h 1 iαt 1 iαu f ( α) f ( α) = φ ( t) e dt φ ( u) e 1 π 1 π = 1 ( ) ( t) ( u) e i α φ φ t + u dt π 1 L trsformzioe di coordite di itegrzioe ( t ; u) ( t ; ) ( t ; t + u) coicidete co l coppi di Eq ffii (17) corrispode quidi l (vlore ssoluto del) determite jcobio Pertto risultdo dt dt d ( t u) J ( t ) = 1 ( t ) segue che 1 iα f1( α ) f( α ) = φ ( t) φ ( t) e dtd π 1 = 1 iα e ( φ ( t) φ ( t) dt) d π 1 (0) 1 1 iα e ( φ φ )( ) d 1 π π 1 F {( φ 1 φ )( )} (01) π / Qui è N ( π ) 1 Ioltre come per l Eq (18) l trsformzioe di vribile t t : = v port ll equivlez simmetric f ( α) f ( α) = 1 1 F {( φ φ1)( )} (0) π

15 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 14 A L Correlzioe Mutu Note sui modelli itegrli di CORRELAZIONE L Correlzioe Mutu (Cross Correltio) tr i vlori complessi orditi φ 1 ( ) e ( ) coppi di fuzioi di u vribile (rele) distite e geerlmete cotiue { φ φ }: è defiit dll rppresetzioe opertorile (sesqui-liere) covolutiv (i R ) * φ 1 di u R C ( φ φ ) ( ) φ ( ) φ ( ) : = φ ( u) φ ( u) (1) idicdo co φ ( ) * 1 l solito il coiugto del vlore complesso φ1 ( ) Che l rppresetzioe itegrle (1) si formlmete covolutiv lo si coclude protmete dl cofroto co l defiizioe geerle (3) medite le idetificzioi φ ( u) φ ( u) * 1 e ψ φ Medite il cmbimeto di vribile (mut) di itegrzioe v : = u ell itegrle (1) seguito dll ridefiizioe ulteriore v : = u si ottiee l rppresetzioe ltertiv (simmetri vs ) * 1 1 ( φ φ ) ( ) φ ( u) φ ( + u) (11) Ioltre pure iteresste risult il cmbimeto di vribile di itegrzioe v : = u ell Eq (1) che questo seguito dll ridefiizioe ulteriore v : = u Si h ( φ φ ) ( ) = φ ( u) φ ( u ) * (1) 1 1 È iteresste osservre che l evescez di ( φ φ )( ) l vrire del prmetro corrispod 1 ll perdit di correlzioe tr i sistemi-modello descritti rispettivmete d φ 1 e d φ e quidi ll loro idipedez reciproc Qui l cotiguità co il cotesto sttistico è fi troppo evidete! L Correlzioe Mutu soddisf l proprietà di scmbio verificbile i modo elemetre ( φ φ )( ) ( φ φ )( ) ( φ φ )( ) ( φ φ )( ) () Ioltre se φ 1 e φ soo etrmbe fuzioi pri llor è immedito cocludere che ( φ φ )( ) ( φ φ )( ) (3) 1 1 ie l correlzioe mutu tr φ 1 e φ etrmbe pri coicide co l loro covoluzioe (i tutto il domiio R di itegrzioe) Osservzioe L Correlzioe Mutu trov ppliczioi eg el modello supercottivo qutistico dell correlzioe spzile tr le fuzioi d od elettroiche delle coppie di Cooper e ell Teori Qutistic dell Superfluidità pplict ll He 4 (effetto fot e modello e fluidi ) Più i geerle l itegrle di Correlzioe Mutu h l su colloczioe turle ell mbito dei metodi risolutivi delle Equzioi Differezili Derivte Przili e delle Equzioi Itegrli dotte di ucleo (der Itegrlker) di rgometo liere κ ( u ) κ ( u± )

16 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 15 B L Autocorrelzioe Il regime di Autocorrelzioe si può derre direttmete d quello di Correlzioe Mutu el cso specile i cui si φ1 φ : = φ D ltr prte l su importz pplictiv è otevole e o sembr iutile ccere brevemete d lcue impliczioi iterprettive molto profode dell su rppresetzioe itegrle L Eq (1) forisce u prim rppresetzioe itegrle per l Autocorrelzioe co φ : e φ C 0 ( R ) geerlmete: R C R C ( φ φ) ( ) φ ( ) φ ( ) = φ ( u) φ ( u) (4) Alogmete le Eq (11) e (1) do luogo lle forme equivleti * * ( φ φ) ( ) = φ ( u) φ ( + u) (41) ( φ φ) ( ) = φ ( u) φ ( u ) * (4) L form (41) è ust coveziolmete come defiizioe opertiv di Autocorrelzioe [ 3 ] Per completezz si può ricordre u qurt rppresetzioe itegrle di ( φ φ) ( ) decibile ch ess dll (4) poedo prim v : = u poi sfruttdo l Eq (4) e ifie ripristido l vribile (mut) di itegrzioe u : = v Il risultto è ( φ φ) ( ) = φ ( u) φ ( u ) * (43) Il cofroto tr le rppresetzioi itegrli (41) e (4) come pure tr le rppresetzioi (4) e (43) idic che l opertore (liere) di Autocorrelzioe è hermitio i R essedo che simmetrico i u vs A su volt l hermiticità di ( φ φ) ice ttrverso l su simmetri itrisec il crttere degeertivo di perdit di qulsisi iformzioe sull fse di φ Iftti l opertore ( φ φ) restituisce soltto u vlore medio qudrtico u pur stim di potez trsferit come si dice i Meccic Sttistic Tle coclusioe emerge dl fodmetle Teorem (di Wieer-Khitchie versioe elemetre) Si φ : u φ ( u) u fuzioe F-trsformbile vs il prmetro cotiuo α R ie 1/ : ( ) { ( u)} ( ) ( ) i α u Φ α Φ α = F φ π φ u e Allor vle l rppresetzioe F-trsformt dell Autocorrelzioe { } { u } ( φ1 φ)( ) = F Φ ( α) F F{ φ ( )} Dimostrzioe / { } ( ) 1 π φ ( u ) e iαu F (6) Il coiugto complesso del vlore φ ( u) h come rppresetzioe F-trsformt vs il prmetro rbitrrio α R * 1/ * iu ( u) ( ) ( ) α φ = π Φ α e dα (61)

17 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 16 Alogmete l rppresetzioe F-trsformt del vlore φ ( + u) vs il prmetro α R rbitrrio (i geerle si ssume α α ) è dt d 1/ ( ) ( ) ( ) ( ) * i u α u + e d ' φ + = π Φ α α (6) Itrocedo le espressioi itegrli (61) e (6) ell Eq (41) si ottiee co pssi successivi 1/ * iuα 1/ i ( + u ) α ( )( ' ) ( φ φ)( ) ( π ) Φ ( α ) e dα ( π ) Φ ( α ) e dα = = * iα i ( α α ) u Φ ( α ) dα Φ ( α ) e dα ' 1 ( π ) e * iα = dα Φ ( α) Φ ( α ) e δ ( α α) dα ' * iα iα = Φ ( α ) Φ ( α ) e dα Φ ( α ) e dα 1/ i u { Φ ( α ) } { F{ φ ( u)} } { ( π ) φ ( u) e } α = F F F q e d Osservzioi Si oti l vrietà di espressioi equivleti (simmetriche) di ( φ φ)( ) determibili i modo idipedete tr loro dlle coiugzioi e iαu e iαu (ie dlle riflessioi ssili u u e/o α α ) e φ ( u) φ ( ± u) * Versioi e discussioi più pprofodite del Teorem di Wieer-Khitchie lcue bste sul metodo dell mtricedesità si possoo trovre i [ ] Voledo deliere u lisi qulittiv miim dell itegrle di Autocorrelzioe (41) si ξ il vlore crtteristico del prmetro di utocorrelzioe del modello mtemtico rppresetto d φ Se si lsci vrire il prmetro cotiuo i modo che si ξ llor l correlzioe tr i vlori φ ( u) e φ ( + u) mut ell seprzioe (fttorizzzioe) itegrle ull * ( u u ) d ( ( ) 1 + * u ) lim ( ( ) ) lim ( φ φ) ( ) d' lim φ ( ) φ ( + ) ' 0 φ u d' ξ φ + = Nell esempio clssico dell Teori di Lgevi del moto browio di u molecol liber ll superficie di u fluido u e corrispodoo rispettivmete i vlori t e t dell coordit temporle; φ ( u) φ ( t ) è u fuzioe ciemtic fluttuzioe rpid (die Zitterbewegug) vete le dimesioi di u ccelerzioe Ess rppreset u forz ester per uità di mss dell molecol dovut lle collisioi csuli co ltre molecole ll superficie del fluido Tle forz (per uità di mss) divet evescete su itervlli di tempo molto più grdi del tempo di rilssmeto medio τ dell molecol dopo u collisioe elstic csule I termii suggestivi l memori (utocorrelzioe) delle collisioi molecolri tempi t + t sufficietemete vzti ie tli che si τ t viee ccellt Quidi il vlore di ( φ φ)( t) è sigifictivo soltto fiché t / τ ~ 1 rfforzdo il crttere di errticità complet del cmmio browio

18 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 17 PROPOSIZIONE 3 Si φ : R C C 0 ( R ) geerlmete Allor ie l opertore di Autocorrelzioe è mssimo per = 0 L Proposizioe (7) equivle ll seguete: Dimostrzioe m ( φ φ) = ( φ φ)( 0) (7) R φ ( u) φ ( + u) φ ( u) (71) Itrodott l vribile usiliri η R l disugugliz evidete seguete di mootoi i R vs l fuzioe itegrd h per lierità lo sviluppo biomile qudrtico 0 ( η φ ( + u) + φ ( u) ) (8) 0 η φ ( + u) + η φ ( u) φ ( + u) + φ ( u) Se si poe v : = u + el primo ddedo itegrle si ottiee che dv e che l itervllo di itegrzioe rest ivrito Ifie dl cmbimeto ulteriore di vribile u : = v si coclude che Quidi l disugugliz (8) ssume l form φ ( + u) φ ( u) 0 η φ ( u) + η φ ( u) φ ( + u) + φ ( u) η + bη + (9) vedo defiito ovvimete : = φ ( u) e b : = φ ( u) φ ( + u) Poiché il triomio qudrtico (9) è 0 η llor il suo discrimite (ridotto) è sempre 0 / 4 b / 4 0 ie b/ Quidi dlle defiizioi di e di b segue l disugugliz tteut (71) φ ( u) φ ( + u) φ ( u) ell qule l ugugliz corrispode = 0 I ltri termii ( φ φ) ( ) rggiuge il suo vlore mssimo ssoluto per = 0 q e d

19 L operzioe di Covoluzioe co ppliczioi modelli itegrli di Correlzioe 18 Bibliogrfi Riferimeti geerli [ 1 ] HIRSCHMAN I I JR - WIDDER D V The Covolutio Trsform PRINCETON UNIV PRESS (1955) [ ] BRACEWELL R The Fourier Trsform d Its Applictios MCGRAW-HILL (1965) [ 3 ] PAPOULIS A The Fourier Itegrl d Its Applictios MCGRAW-HILL (196) [ 8 ] ARFKEN G B - WEBER H J Mthemticl Methods for Physicists 4 TH ED CH 15 & 16 ACADEMIC PR (1995) [ 7 ] HILDEBRAND F B Advced Clculus for Applictios ND ED P PRENTICE-HALL INC (1976); Ambiti di ppliczioe [ 4 ] REIF F Fudmetls of Sttisticl d Therml Physics MCGRAW-HILL (1965) [ 5 ] PATHRIA R K Sttisticl Mechics ND ED BUTTERWORTH-HEINEMANN (1996) [ 6 ] REICHL L E A Moder Course i Sttisticl Physics UNIV OF TEXAS PRESS (1980) [ 7 ] BALESCU R Equilibrium d No-Equilibrium Sttisticl Mechics JOHN WILEY & SONS (1975) [ 8 ] HUANG K Sttisticl Mechics ND ED JOHN WILEY & SONS (1987)