DIFFUSIONE DELL AIDS. ( Modello di Ho )
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- Angelo Simone
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1 DIFFUSIONE DELL AIDS ( Modello di Ho ) Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
2 Il virus HIV (Huma Immuodeficiec Virus) provoca lo sviluppo dell AIDS (Acquired ImmuoDeficiec Sidrome) Il virus attacca ua classe di lifociti ( CD4 T-Cellule), la cui azioe è esseziale ell amito della difesa immuitaria. I codizioi ormali la cocetrazioe di CD4 è circa 1/ l; quado scede al di sotto di 2/ l il paziete è classificato malato. PRECEDENTI SUPPOSIZIONI Periodo che itercorre tra l ifezioe e lo sviluppo della malattia è u periodo di lateza e iattività del virus Lo sviluppo della malattia è leto Tutti i meccaismi coivolti soo leti Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
3 Cocetrazioe plasmatiche di cellule virali, lifociti CD4 e aticorpi HIV Nel periodo di pseudo-lateza, la cocetrazioe di virus e aticorpi è quasi costate, metre si ha ua leta dimiuizioe di cocetrazioe di cellule CD4 Il virus è allora iattivo? Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
4 MODELLO DI HO Esperimeto di Ho: (1994) Per capire se il virus è attivo ella fase di pseudolateza, Ho ha perturato la sua attività sommiistrado a 2 pazieti u iiitore della proteasi V (t) p c Virus al tempo t Cellule virali prodotte ell uità di tempo Tasso di elimiazioe (azioe sistema immuitario, Matematica applicata alla Biologia- Lucia morte,etc.) Della Croce
5 La variazioe el tempo di cellule virali può essere descritto dalla equazioe di ilacio: dv dt P cv (t) Equazioe differeziale del I ordie Soluzioe geerale P V ( t) V exp( ct) c V valore iizialev t ) ( Per t =, cioè ella fase di pseudo-lateza (equilirio) si ha: dv dt e quidi P cv () t Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce V P c
6 La proteasi è stata loccata P o ci soo uove cellule prodotte Il modello è più semplice: dv dt cv (t) V ( t) V exp( ct) Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
7 Duque la variazioe di cellule virali è stata modellizzata dall equazioe V P ( t) exp( ct) c Occorre calcolare c Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
8 Procedimeto di fittig per idetificare il parametro c V ( t) V exp( ct) l( V ( t)) l( V exp( ct)) l( V ) l(exp( l( V ) ct ct)) ct I parametri c e Soo idetificati co u procedimeto di regressioe lieare Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
9 cocetrazioe HIV cocetrazioe HIV Dimiuizioe della cocetrazioe di cellule virali i 2 pazieti trattati co iiitore della proteasi 1 7 paziete 1 curva fittig 1 7 paziete 2 curva fittig giori Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce giori
10 Per ogi paziete si ottiee ua valutazioe diversa dei parametri c e Si esegue ua media Ho trovò: c La coosceza di c permette di approssimare P: V V P c ( dal fittig) P P cv.33 *(1 6 1 Il virus o è affatto quiescete! Questa scoperta ha camiato la compresioe dei meccaismi di ifezioe dell AIDS dado avvio a uove terapie. Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce 7 )
11 MODELLI DINAMICI DISCRETI LINEARI Sistema diamico: Sistema discreto: Sistema lieare: Sistema che evolve el tempo L itervallo temporale è discretizzato la legge che determia l evoluzioe è lieare Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
12 DISCRETIZZAZIONE TEMPORALE t t1 ti T tn 1 i N () t è ua fuzioe che misura la quatità che varia el tempo, 1,..., soo i valori i corrispodeza ai tempi t, t1,..., t Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
13 EVOLUZIONE LNEARE,,..., 1 soo defiiti per ricorreza f ( 1 ) f è ua fuzioe lieare f ( ) a Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
14 MODELLO DI MALTHUS PROBLEMA Thomas Roert Malthus Sociologo e matematico iglese ( ) studiare come varia el tempo ua popolazioe di atteri immersa i u liquido di cui si utroo Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
15 IPOTESI DEL MODELLO 1. Nascita di uovi atteri 2. Morte di alcui atteri 3. Il umero di ati è proporzioale al umero di atteri preseti 4. Il umero di morti è proporzioale al umero di atteri preseti Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
16 MODELLO 1 coefficiete di atalità coefficiete di mortalità ) (1 1 (1 r) 1 tasso di crescita Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
17 Il modello è lieare 1 (1 r) 1 f ( ) Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
18 Come si calcola l aodaza della popolazioe al tempo t? Iteriamo l equazioe: 1 ( ) ) ( 3 Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
19 Se iterviee ache u immigrazioe ) ) ( )... (1 2 Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
20 3 SITUAZIONI POSSIBILI la popolazioe è i declio I morti superao i ati Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
21 EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN DECLINO Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
22 popolazioe Co immigrazioe: Y =.8 * Y tempo Si stailizza al valore Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce 1
23 1 EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN CRESCITA Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
24 1 1 Lo stato della popolazioe è STAZIONARIO Matematica applicata alla Biologia- Lucia Della Croce
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