0 t }, allora il modello

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1 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali Lezioe 9 Il Meodo (di sima) delle Variabili Srumeali U ruolo fodameale ei meodi di sima fiora preseai, è la codizioe sugli errori del modello (preseaa ella forma E( u Ω ) =, x Ω E( u x ) =, ), e duque l ipoesi che le variabili idipedei presei el modello (lieare o o lieare) devoo essere esogee (o predeermiae). I seguei re esempi descrivoo alcue siuazioi abbasaza frequei elle quali l edogeeià di alcue variabili idipedei si presea i modo aurale; va comuque segalao che o è deo che i meodi che sarao descrii i queso capiolo siao uilizzabili i ali circosaze. Esempio (errori elle variabili) Si assume che il modello ecoomico sia y = β + β x + u, e che il processo delle osservazioi {, } co { v } e { } ecoomerico per il DGP è u iid...(, σ ), y x verifichi le seguei codizioi: y = y + v, x = x + w, w processi iid..., idipedei ra loro e idipedei da { u }, allora il modello y = β + β x + u + v β w( = β + β x + u ). Ua siuazioe di queso ipo è molo frequee ei problemi ecoomerici e ciò è dovuo al fao che i dai o so di ipo sperimeale. Si oa immediaamee che mere v (l`errore sulla variabile dipedee) ha il solo effeo di aumeare la variaza degli errori e duque di peggiorare la precisioe della sima dei parameri, w iduce la correlazioe ra l errore u e la variabile idipedee x, che (come è be oo) ha come grave cosegueza la o cosiseza delle sime (o equivaleemee la o ideificabilià del modello). Esempio (simulaeià) : La seguee ovvia affermazioe La dipedeza fuzioale di ua variabile da u alra o implica la dipedeza causale i ua delle due direzioi, giusifica la seguee Defiizioe: Due variabili (ecoomiche) si dicoo simulaee se ra esse c è ua dipedeza fuzioale (implicia oppure esplicia) e o c è alcua dipedeza causale. I defiiiva i ogi modello (uivariao) i cui soo presei due o più variabili simulaee ra

2 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali le variabili idipedei c è ecessariamee qualche variabile edogea. E evidee che o è facile sabilire la preseza di simulaeià ra due variabili. Esempio 3 (omissioe di variabili rilevai): L omissioe di ua variabile rilevae i u modello (e quidi il suo iserimeo ell errore), alvola cosegueza di macaza di osservazioi per essa, quado e` correlaa co qualche alra variabile idipedee, ha come effeo l erraa specificazioe del modello per la preseza di variabili edogee ra le variabili idipedei. (Per u esempio ed ua possibile soluzioe del problema che e deriva, vedi il paragrafo sime del modello ad effei fissai del capiolo 8). Ua breve iroduzioe (al meodo di sima): Come già acceao el precedee esempio, può accadere che ella cosruzioe di u modello ecoomico (fuzioale) la variabile dipedee sia simulaea co ua o più variabili idipedei. I queso caso al fie di simare i parameri del modello ci soo due percorsi: a) Spiegare ciascua delle variabili edogee presei ra le variabili idipedei co alre variabili esogee. Quesa procedura dà origie a modelli veoriali (deomiai i ecoomeria Modelli Sruurali, i cui la variabile dipedee è u veore cosiuio da ue le variabili edogee presei el modello, mere le variabili idipedei soo esogee ed edogee) che porao a: i) ua migliore spiegazioe del feomeo ecoomico, uile (almeo elle aspeaive) quado si vogliao fare previsioi; ii) ua maggiore complessià el modello (soo sai scrii modelli co migliaia di equazioi) co u coseguee riflesso egaivo sulle procedure di sima. E da segalare che i quesa direzioe soo sai fai sforzi oevoli, co coseguee elevao dispedio di eergie (u urio gruppo di ricercaori della Cowles Commissio si è occupao di ali quesioi e alcui hao avuo ali ricooscimei come il premio Nobel), che però o ha porao i risulai che ci si aspeava (ma o per queso di scarso ieresse). Per esempio le previsioi fae co i modelli simai si soo rivelai isoddisfacei. b) La secoda via (co molo meo preese e che sarà percorsa i quese lezioi) è quella di idividuare procedure di sima valide ache i preseza di variabili edogee ra le variabili idipedei. Il seguee classico esempio, olre a mosrare come la simulaeià pora alla preseza di variabili edogee ra le variabili idpedei, forisce alcue idee su come affroare il problema della sima. Il modello per u mercao compeiivo: Uo dei primi modelli preseai el corso di microecoomia è quello relaivo al mercao di u bee, i cui si assume che sussisa ua dipedeza

3 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali lieare ra quaià e prezzo. Nauralmee la rappreseazioe aaliica della relazioe fuzioale è differee (almeo elle resrizioi sui parameri) a secoda che ale relazioe è visa dal lao della domada o da quello dell offera. Si ha ifai: s q = α+ α d q = β+ β p p (equazioe dell'offera) (equazioe della domada), co α > e β <, iolre, i u mercao compeiivo, si può assumere che forze iere al mercao spigoo verso s d l equilibrio e duque che deve aversi q = q ( = q). Ora se soo dispoibili osservazioi ( q, p ) (oare che q è la quaià di equilibrio) il modello ecoomerico si può scrivere ella forma (*) q = α + α p + u q = β+ βp + v (equazioe dell'offera) (equazioe della domada) e la richiesa legiima (e ceramee di grade ieresse) è quella di simare i parameri del modello, ma come ora sarà mosrao, ale richiesa o ha alcua speraza di essere soddisfaa. Ifai, risolvedo il precedee sisema rispeo a p e q si ha β α v u p = + α β α β αβ αβ α v β u q = + α β α β dalla prima uguagliaza si deduce immediaamee che, salvo casi eccezioali e poco sigificaivi, la variabile p (essedo correlaa sia co u che co v ) è edogea i ciascua delle due equazioi i (*) e perao essua delle due è i grado di forire sime cosisei dei parameri. Si assume ora, che u aea aalisi del mercao pori alla seguee specificazioe dell equazioe della domada ( q = ) q = β + β p + β x + v, d 3 co x variabile esogea (per esempio x porebbe eer coo di eveuali iervei dello sao per soseere la domada) e quidi o correlaa co gli errori (delle due equazioi). Quesa vola risolvedo rispeo a p e q si ha β α β3 v u p = + x + α β α β α β αβ αβ α β α v β u q = + x + 3 α β α β α β ed essedo evideemee x o correlaa co gli errori, erambe le equazioi (di ques ulimo modello) coseoo di simare i modo cosisee i parameri, i paricolare i coefficiei di x e ;, 3

4 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali quidi il loro rapporo, che è evideemee uguale a α. Ua procedura aleraiva, ma del uo equivalee alla precedee che suggerisce il meodo che sara` preseao, e` quella di calcolare l`aspeazioe ell equazioe dell offera e ella sessa equazioe moliplicaa per x. Si oiee il sisema E( p) = α+ αe( q) E( px) = αe( x) + αe( qx) e le versioe empiriche delle soluzioi soo le sime richiese. I defiiiva la preseza della variabile esogea x ell equazioe della domada ha reso possibile l ideificazioe (qui co l usuale sigificao di oeere ua sima cosisee) del coefficiee della variabile edogea p ell equazioe dell offera. Descrizioe del meodo delle variabili srumeali e proprieà degli simaori: E assegao il modello lieare y = x β + co E( u Ω ) =. u Ω. Come si può oare, quesa vola o si richiede che le coordiae di x apparegao ue ad Ipoesi sul modello (l eleco sarà aggiorao quado se e preseerà la ecessià): IV-) Esise u processo veoriale { w } di dimesioe, co w Ω k, deomiao processo degli srumei, (che verifica alcue ragioevoli codizioi che sarao rese esplicie i seguio) e per il quale auralmee soo dispoibili le osservazioi per =,, ; co si deoa la marice ( k ) delle sue osservazioi. Osservazioe: L uguagliaza E( w u ) = (che è cosegueza di E( u Ω ) = ) pora, come ormai k e aurale, a cosiderare la sua versioe empirica, e duque l equazioe (veoriale i R co icogie) w xβ y Xβ. = (*) ( y ) = ( ( ) = ) k Defiizioe: L uica (eveuale) soluzioe dell equazioe (*) dicesi sima di β co il meodo delle variabili srumeali e sara deoaa co il simbolo βˆ IV. Al fie di assicurare o solo l`esiseza di βˆ IV ma ache la validià di alcue buoe proprieà, 4

5 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali y x w : ( ) soo aurali le seguei uleriori ipoesi sul processo {,, } IV-) {,, } y x w è u processo sazioario ed ergodico (da cui p wx Σ ( E( wx = wx ) )); = IV-3) (Codizioe di ideificabilia`) La marice (quadraa di ordie k ) Σ è iveribile (cosegueemee ache le marici Σ ( = E( ww )) e ( = E( )) w Σ xx soo o sigolari). Il quesio i) di esercizio forisce u chiarimeo sul sigificao di quesa codizioe. IV-4) Il processo { u } x w è ua differeza marigala, ( ) o piu` i geerale e` valida qualche versioe del eorema del limie cerale. Osservazioe: Da IV-4 e dal eorema del limie cerale, segue che: wx ( ) d (,Avar( )) wu N w u co Avar( wu) = plim ww u ( = E( u ww ) Σu w ) = =. Rappreseazioe e proprieà di βˆ IV : Noare che l eleco che segue è del uo simile a quello preseao el capiolo 5 per lo simaore OLS, co la ovvia sosiuzioe di w co x. ) ˆ βiv = wx y u w = β + = wx = w (o equivaleemee, se si = = uilizza la rappreseazioe mariciale del modello, ˆ β = ( X ) y = β + ( X ) u )); ) βˆ = βˆ ) è cosisee; (segue dalle sole ipoesi IV- e IV-); ( IV 3) ( ˆ ) N(,Avar( ˆ solii argomei): d β β β)) co Avar( ˆ) ( ) Avar( u) ( ) ( ) ( ) IV = wx wx β Σ w Σ (segue da IV-3 co i 4) Avar( βˆ ) = Σ Avar( u) wx w Σ wx, co Avar( wu) = w ˆ w u co u ˆ ˆ = y x β I V e = X Σwx = wx =. Tale simaore per la variaza asioica di = hie (o simaore robuso all eeroschesaicià (HC)) βˆ IV dicesi Simaore di Per semplicià solao formali si fa riferimeo alle serie emporali, l adaameo ai dai cross-secio è sadard. E` opporuo ricordare che ale codizioe e` ceramee soddisfaa se si ha E( u w, u, w, ) =. 5

6 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali 5) Se gli errori soo omoschedasici (cioè E( u Ω ) = σ e quidi ache E( u w ) = σ ), si ha w w w w w Σ e Ava r( wu) = ˆ σ ww co = Avar( u) = σ plim σ E( )( σ ) = = w = ˆ σ = uˆ e allora dalla precedee proprieà 4 segue = ( ) ( ) ˆ Avar( β) ˆ σ Σ Σ Σ. = wx w wx Il meodo di sima ora preseao lascia però aperi i seguei due problemi. Problema : Idividuare il processo delle variabili srumeali del modello. ( 3) Iaziuo si segala che o ci soo procedure sadard e uivoche che porao ad idividuare ale processo; assume allora u ruolo fodameale sia la coosceza del problema ecoomico, sia l esperieza. Comuque, ra le variabili srumeali ci soo ceramee le coordiae di esogee. x (che si riegoo) Problema : Come uilizzare il processo delle variabili srumeali, el caso i cui la dimesioe dovesse essere maggiore di k. Qui si rivolge l aezioe al solo problema. I paricolare si segala ua procedura che cosee di idividuare u buo processo degli srumei al fie di poer uilizzare il meodo delle variabili srumeali già descrio. Si segala che i appedice si presea, seza erare ei deagli, u approccio direo alla soluzioe del problema, che cosee di affroare il problema della sima per modelli piu` geerali di quelli fi qui cosiderai. Nel seguio sarà uilizzaa la seguee ermiologia: Sia { } w il processo delle variabili srumeali e sia l la dimesioe delle variabili del processo. Allora per il umero l possoo presearsi le seguei eevualia`: Caso a) - l < k : Il modello si dice sooideificao. I queso caso o è possibile avviare la procedura di sima e duque il modello o è ideificao. (Vedi l`esempio il modello per il mercao compeiivo discusso precedeemee). Caso b) - l = k : Il modello si dice esaamee ideificao. I queso caso processo delle variabili srumeali coicide co il processo degli srumei e si uilizza la procedura descria precedeemee. 3 Dicesi processo delle variabili srumeali di u modello ecoomerico, u processo veoriale { w }(di dimesioe l ) sufficieemee rappreseaivo di Ω. 6

7 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali Caso c) - l > k : Il modello si dice sovra-ideificao. I queso caso olre ad idividuare il processo degli srumei di dimesioe (primo passo), che el caso di errori omoschedasici è oimo i u seso che sarà precisao, sarà riporaa ache la procedura di sima (secodo passo) per fare uili cosiderazioi. k Procedura di Sima del Modello Sovra-Ideificao ( 4 ) (o sarao riporae qui le ipoesi sul modello che peralro soo prevedibili; soo sosazialmee le sesse da IV- a IV-4). Primo Passo (scela dei k srumei): Deoaa co variabili srumeali del modello) si cosidera la marice la marice delle osservazioi di ( l) ˆ ( ( ) = P ) = ( k) X X X ), che sarà uilizzaa come marice delle osservazioe del processo degli srumei. Osservazioe: Ciascua coloa di è il veore dei valori previsi ella sima OLS del corrispodee coloa di X su. Evideemee le coloe di X che soo ache coloe di rimagoo ialerae. ˆX Secodo Passo (sima co il meodo delle variabili srumeali): Co il meodo delle variabili srumeali, co come marice delle osservazioe del processo degli srumei (osservao che soo evideemee soddisfae ue le ipoesi richiese al processo degli srumei), si oiee lo simaore di β, deomiao simaore delle variabili srumeali geeralizzao, che sarà deoao co il simbolo ˆX βˆ GIV ; perao ˆ β GIV ( P ) ( P ) = X X X y = ( X P X) X P y( = β + ( X P X) X P u ). Osservazioe: Essedo P = PP e P = P, dalla precedee rappreseazioe di β segue immediaamee che esso si oiee come sima OLS del modello di regressioe y = P Xβ + error ˆ GIV w (le l Defiizioe (precedua da ua ieressae osservazioe): Lo simaore βˆ GIV è sao cosruio i due passi, ciascuo dei quali uilizza esclusivamee il meodo OLS (vedi le precedei due osservazioi). Per ale ragioe deo simaore è deomiao Simaore dei Miimi Quadrai a 4 Deo meodo è essezialmee suggerio dalle due seguei osservazioi sulla procedura uilizzaa quado è l = k : l ipoesi IV3 i sosaza richiede la preseza di correlazioe ra la variabile w e la variabile x ; l efficieza (dello simaore) è direamee proporzioale alla correlazioe ra w e x. 7

8 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali ˆ SLS Due Sadi (SLS o TSLS) ed e` ache deoao co il simbolo β. Osservazioe: La procedura SLS ora descria può (evideemee) essere uilizzaa ache el caso i cui è l k, ma i al caso o c e` alcua difficolà a ricooscere che si ha β ˆ = βˆ. Proprieà dello Simaore = SLS βˆ SLS riprodurre quelle relaive allo simaore al poso di w, essedo la variabile che ha ˆ : L eleco da ) a 5), qui i basso, è vuoo perché è sufficiee βˆ IV marice delle osservazioi (o se si preferisce ˆ (riporao i pagia 5) co la sola modifica di porre ( = = = ) x ˆ P ( ) = X X X J come x J w ) co = ( ) J X. ( l k) ) ; ) ; 3) ; 4) ; 5) IV xˆ Proposizioe: Fermo resado le ipoesi che coseoo la cosruzioe dello simaore SLS, si assume uleriormee E( u w ) = σ, (omoschedasicià codizioaa degli errori). Allora lo simaore βˆ SLS è efficiee ella classe degli simaori co (il meodo del) le variabili srumeali il cui processo ( k dimesioale) degli srumei è combiazioe lieare del processo ( l dimesioale) delle variabili srumeali. ( 5) Dimosrazioe. Si segala che la prova e` del uo simile a quella che mosra che la sima OLS, i preseza di omoschedasicia`, e` la piu` efficiee (asioicamee) ella classe degli simaori co il meodo dei momei. Le sime della variaza asioica degli simaori ˆ ( J) βiv ( w ) e βˆ SLS soo rispeivamee ( ( ) ) ( )( JX JJ XJ ˆ σ Σ J Σ J Σ ( J) ) = ˆ σ w x w w x ˆ SLS 5 Più precisamee: β ha la miima variaza asioica ra (ui) gli simaori cosruii co il meodo delle variabili srumeali, che uilizzao come processo degli srumei, processi che soo combiazioe lieare del processo { } ( J) cioè processi del ipo ( = ) w Jw, co J = J( w, x ) marice l k (che dipede da (, ) ) ale che { w }, ( J) w x =,, { w } sia u processo ( k -dimesioale) di srumei (verificai cioè le codizioi da IV- a IV-5). Cio` accade per esempio se soo verificae le seguei due codizioi: i) JJ ( ) ( ) p lim = w J w J esise ed è o sigolare ; = ii) Esise il limie i probabilià di ( J) (assicura la covergeza a di sequeza u ). 8 Ju, essedo covergee a la

9 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali e X P X X P X X P X X P X ˆ σ = ˆ σ allora l assero sarà provao (passado al limie i probabilià per o equivaleemee ( P ) ( ) ( )( ) X X JX JJ XJ ( XJ )( JJ ) ( JX ) ( X P X) ( P ) ( P ) ( P P ) ( J ( J )) X X X X X X., ), se si prova che La validià dell ulima disuguagliaza (cioè che la marice X ( P P ) posiiva), segue dalle seguei proprieà: i) P P è ua proiezioe; J J X è semidefiia Ifai si osserva dapprima che evideemee si ha S ( J) S ( ), dode P P = P J J e cosiderado la rasposizioe P P = P J J ( )( ), perao P P P P = P P P P P + P = P P J J J J J J ii) La proiezioe P P è orogoale; Segue dalla sua simmeria. J iii) La marice X (P P )X è semidefiia posiiva; J Ifai per ogi λ R k si ha Osservazioe: λ X Xλ λx Xλ Xλ. ( P P ) = ( P P ) ( P P ) = ( P P ) J J J J La sima della variaza asioica dello simaore SLS (sia i preseza di errori omoschedasici che eeroschedasici) coivolge il processo dei residui { y ˆ x β SLS}. Quesi evideemee vao calcolai al ermie della procedura di sima (essua delle due procedure OLS li calcola). ˆ SLS Lo simaore β miimizza la fuzioe obieivo ˆ SLS Q( β) = ( y Xβ) P ( ) = [ ( )] [ ] [ ( ) y Xβ y Xβ y Xβ ]. Ifai β è (l uico) puo sazioario di Q( β) (fuzioe che ha ceramee u puo di miimo) i quao sussise 9

10 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali Q( β) = y Xβ X= X = β Lo simaore βˆ IV aulla la fuzioe obieivo. [ ( ) P P y X P Xβ]. Dalla defiizioe di βˆ IV segue che ( y Xβˆ ) = e quidi l assero. IV Tes sulle ipoesi L asioica ormalià dello simaore SLS (sia che gli errori siao omoschedasici che eeroschedasici), cosee di cosruire es su ipoesi (lieari o olieari) sui parameri del modello mediae la saisica di ald. Si ralasciao i commei sul es LR che richiedoo alcue precisazioi. Si passa ivece a descrivere il es sulle ipoesi basao sulla regressioe Gauss-Newo (o es LM); i queso caso per eviare complicazioi si assume che gli errori soo omoschedasici. Proposizioe: Il Modello di Regressioe di Gauss-Newo per il modello lieare y = x β + u, co le variabili srumeali w ed errori omoschedasici ha la seguee forma: y Xβ = P Xb + error. Esso è deomiao modello IVGNR (vedi Lezioe 6 per la defiizioe, le oazioi ed alcui deagli). Dimosrazioe: Ifai si ha (per comodià si rascura il faore moliplicaivo ) la fuzioe obieivo è Q( β) = ( y Xβ)' P ( y Xβ) ; Q( β) g( β) = = ( y Xβ)' P X ; e quidi g( β) = X P ( y Xβ ); β Q( β) H( β) = = X P X; ββ L equazioe ricorsiva è allora βj+ = βj + ( X P ) X XP( y Xβ j) ; ( 6) Il ermie che aggiora la sequeza ricorsiva è la sima OLS di y Xβ j = P Xb + error e duque l assero. Osservazioe: Come già acceao ella oa quale che sia β fissao, β = β ˆ + b coicide co βˆ SLS, iolre u uleriore passo forisce la sima della sua variaza asioica. 6 Qui la fuzioe obieivo è quadraica e allora per la miimizzazioe si uilizza il meodo di Newo (classico) e il miimo si raggiuge i u sol passo.

11 9-Ecoomeria, a.a. -. Variabili Srumeali Il es IVGNR per l ipoesi H : β = (modelli co errori omoschedasici): Si rascrive il modello origiario e quello ridoo co i corrispodei modelli IVGNR. Imporae: il processo delle variabili srumeali è lo sesso per i due modelli; sia delle osservazioi. Modello o ridoo (U): y = Xβ + X β + u ; Modello IVGNR (U): y Xβ Xβ = PXb + PXb + resid Modello ridoo (R): y = Xβ + u ; Modello IVGNR (R): y Xβ = P Xb + resid la marice Si cosidera u arbirario β simaore cosisee di β (per esempio lo simaore SLS dal modello ridoo) e il modello IVGNR del modello o risreo calcolao per β = ( β, ), cioè y Xβ = P Xb + P Xb + resid. Allora l ipoesi è equivalee H : b = e u es su ques ulima ipoesi si cosruisce immediaamee. H

12 9-Ecoomeria, a.a. -. Appedice A Appedice A Ua breve iroduzioe al Meodo dei Momei Geeralizzao (GMM) La seguee ovvia osservazioe suggerisce ua procedura aleraiva per risolvere il problema formulao a pagia 6. ˆ IV Osservazioe: β, sima del paramero β co il meodo delle variabili srumeali e duque soluzioe dell equazioe w( y xβ ) =, miimizza (i quao la rede ulla) la disaza = dall origie del veore g ( β ) = (,, ) = ( y ) = gx w β w xβ, co la disaza i = idividuaa da ua qualuque marice defiia posiiva. k R Sia ora { } ( ) Ωˆ ( = Ωˆ ( l l) lughezza ) dimesioe w il processo delle variabili srumeali di dimesioe l( > k) del modello, sia ua marice simmerica defiia posiiva, dipedee eveualmee dal campioe di l a disposizioe, e sia e per il quale si ha g ( β ) = ( y ) w xβ = = w u, che ora e` u veore di = [ ] g ( β) X = wx =. Si cosidera la disaza (al β = ( l k) quadrao) di g ( β ) dall origie per la orma defiia da J ( βω, ˆ ) = g ( β) Ω g ( β) [ ] ˆ [ ] ˆ Ω e duque. Defiizioe: Se la fuzioe J ( ˆ βω, ) ha u uico puo di miimo ˆ ˆ k βω ( )( R ) allora esso dicesi sima GMM di β relaiva alla marice ˆΩ. Osservazioe: i) La sima βω ˆ( ˆ) (quado esise) e` l uico puo sazioario di J ( βω, ˆ ) e duque e` soluzioe dell`equazioe equivalee a o ache a J (, ˆ ) βω =. U semplice calcolo mosra, che ques ulima equazioe e` β ˆ wx ( y ) Ω w xβ = = =

13 9-Ecoomeria, a.a. -. Appedice A ˆ ˆ wx y Ω w = = w x = Ω wx = β = che pora alla seguee rappreseazioe di βω ˆ ( ˆ ): y = = = = ˆ ˆ ˆ ˆ βω ( ) = wx Ω wx wx Ω w ˆ ˆ u = = = = = β + wx Ω wx wx Ω w = β + X Ω X X Ω u ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ii) Dalla precedee rappreseazioe veoriale segue (co argomei ormai sadard) che elle usuali ipoesi sul processo delle osservazioi e degli errori (ra le alre, qui o mezioae ma prevedibili, { x, w, y } e` sazioario ed ergodico e { u } w e` ua differeza marigala), se p Ωˆ Σ (co Σ ma rice defiia posiiva) allora βω ˆ( ˆ) e` uo simaore ( l l) cosisee di β, per il quale e` dispoibile ache ua sima cosisee della sua variaza asi oica. var ( ) E( u g β = ww ) iii) Evideemee ua buoa scela per ˆΩ sarebbe ( ) (7) (a meo di ua eveuale cosae moliplicaiva) ma o essedo q uesa dispoibile si opa per ua sua sima cosisee e il corrispodee simaore di β dicesi simaore GMM efficiee; si prova che esso e` asioicamee efficiee ella classe degli simaori GMM. I paricolare Se gli errori soo omoschedasici, essedo ww = σ ww ), omeedo la E( u ) E( cosae, si ha ˆ σ Ω = ww =. Co quesa scela e` immediao ricooscere che lo = simaore GMM o e` alro che lo simaore SLS defiio precedeemee. E` uile ricordare che lo simaore SLS, i ipoesi di omoschedasicia` degli errori, e` ache asioicamee efficiee ella classe degli simaori co le variabili srumeali e processo degli srumei oeuo come combiazioe lieare del processo { w }. Iolre spesso e` uilizzao ache i preseza di eeroschedasicia` (risp. auocorrelazioe) avedo cura di uilizzare lo simaore di hie (risp. di Newey-es) per la variaza asioica. 7 L uguagliaza segue dall ipoesi che { u} processo { w u } w e` ua differeza marigala. Come segalao i alre circosaze, il porebbe ache essere auocorrelao (è imporae la validià` di qualche versioe del eorema del limie cerale); i al caso var g( β) ha ua differee rappreseazioe, ma per essa soo sae cosruie sime cosisei e allora rimae la validià degli argomei che seguoo, auralmee co degli ovvi adaamei. 3

14 9-Ecoomeria, a.a. -. Appedice A Se gli errori soo eeroschedasici, allora ua sima cosisee di u e` ( ) ˆ ˆ ˆ u ww = Ω co u ˆ = y x β, βˆ = βˆ( Ωˆ ) e ˆΩ uguale a = I l oppure a E( ww ) ww. = Geeralmee i sofware avviao ua procedura per ricorreza (cosruiscoo βˆ = βˆ( Ω ˆ )) fio a raggiugere la covergeza umerica. i Ωˆ i uilizzado 4

15 9-Ecoomeria, a.a. -. Appedice B Appedice B Il Tes di Sarga (sulla sovraideificazioe) Nel problema a pagia 6 e` segalaa la difficolà che si presea ell idividuazioe del processo degli srumei. Tale difficolà deriva ache dal fao che ua delle caraerisiche richiese agli srumei (olre a quella di essere correlaa co le variabili edogee) e` quella di o essere correlaa co gli errori e quesa proprieà, o essedo dispoibili le osservazioi sugli errori (e eppure i residui cosruii co uo simaore cosisee del paramero), o e` possibile sooporla a es se il modello e` esaamee ideificao. Quado ivece il modello e` sovraideificao e` possibile, come sara` mosrao el seguio, cosruire u es sull effeiva preseza di srumei i eccesso, perche` i al caso si redoo dispoibili residui (cosisei). Sia y = x β + u co E( u Ω ) =, =,, u modello ecoomerico sovraideificao (sia { w } il processo delle variabili srumeali di dimesioe l( k dim{ } sul processo { y, x, w } > = x )), co le usuali ipoesi. Solao per ragioi di semplicia` si assume che gli errori siao omoscgedasici e duque E( u Ω ) = σ. Defiizioe: Il umero iero l k dicesi grado di sovraideificazioe del modello. Osservazioe: Il grado di sovraideificazioe l k può essere ierpreao come il umero di resrizioi sul modello, i quao solao k variabili srumeali soo ecessarie per la sima. E ragioevole allora pesare alla cosruzioe di u es sulla validià delle resrizioi, e quidi u es sulla esogeeià delle (uleriori) l k compoei di w, (olre alle k compoei esogee i w ), ceramee esisei i quao si sa assumedo che comuque il modello è ideificao. Nel processo di sima SLS si uilizzao le k variabili srumeali la cui marice delle osservazioi è P X. Sia ua marice ( l k) orogoale a P X (di dimesioe k ) ale che ( ) ( P X, ) S = S e si deoi co { } w il processo che ha come marice delle osservazioe. La resrizioe di sovraideificazioe divea allora E( w ) =, che ha come u cosegueza E( w u ) =. L ipoesi di sovraideificazioe, che si iede sooporre a verifica, puo` essere formulaa el modo seguee: 5

16 9-Ecoomeria, a.a. -. Appedice B { w} ( ) { w } H : le compoei di soo ue esogee, H : j l k compoei di soo edogee, o i forma più debole p H :E( wu) = E( wu) = wu, = H : E( wu). Cosruzioe della saisica di Sarga: Se fossero dispoibili le osservazioi di * empirico ˆ u = ( ) = w, la saisica disaza (pesaa) da del paramero ( w uˆ) di E( wu) coseirebbe immediaamee di cosruire u es. L icoveiee della macaza di osservazioi per ell ipoesi H w si supera immediaamee osservado che (vedi l equivaleza ivi presee) la saisica sopra mezioaa e` equivalee alla disaza (pesaa) da del paramero empirico w ˆ ( ˆ u = u ) di E( wu) ). Essedo d`alra = pare d w ˆ u N(, σ Σ w ), ( 8) la sua disaza pesaa da è = ˆ Q ( ) ( ˆ ) ˆ σ ( ˆ) β SLS u u =. ˆ σ Ques`ulima saisica e` deomiaa saisica di Sarga ed essa, ell ipoesi H, coverge i disribuzioe verso ua disribuzioe χl k. Il es di Sarga (co livello di sigificaivià α ): Osservazioe: Si rifiua l ipoesi H se Q ( β ˆ )/ ˆ σ > χ. SLS l k, α La procedura ora descria è valida ache i ipoesi di eeroschedasicià, co la sola variae di uilizzare lo simaore di hie, per la sima della variaza asioica del paramero empirico cosiderao. Nauralmee o sara` piu valida la rappreseazioe della saisica di Sarga mediae la fuzioe obieivo. La saisica di Sarga (i ipoesi di omoschedasicia`) coicide co la saisica LR per la verifica della ipoesi ( 8) Poiché per il processo { w u } è valida qualche versioe del eorema del limie cerale e per il processo dei residui sussise l uguagliaza uˆ = u x (ˆ β β) co ˆβ simaore cosisee di β. 6

17 9-Ecoomeria, a.a. -. Appedice B H : y = x β + u, E( u w) = ; * H : y = x β + wγ + u, E( u w) = (ricordare che essa e` la differeza delle due fuzioi obieivo diviso per la sima della variaza). Ifai il modello y = x β + wγ + u, ell`ipoesi H, è esaamee ideificao ( 9 ) e duque il valore della corrispodee fuzioe obieivo ella sima IV è, ( ) mere il valore della fuzioe obieivo per il modello ridoo è Q ( βˆ ). SLS La saisica di Sarga coicide co il paramero R ( [ ESS / TSS] ) uˆ = b + error. = del modello La prova è immediaa o appea si cosruisce il es co il modello IVGNR per l ipoesi H : γ =. Vari auori suggeriscoo di realizzare sempre il precedee es, i preseza di sovraideificazioe. Segalao ache u usuale errore ella ierpreazioe dell esio del es; più precisamee, il rifiuo dell ipoesi ulla (rifiuo della resrizioe di sovraideificazioe) può avere origie da ua delle seguei siuazioi: Il modello è correamee specificao, ma alcui srumei soo asioicamee correlai co gli errori e quidi o soo validi srumei (decisioe che si ede a privilegiare); Il modello o è correamee specificao e alcue variabili, uilizzae come srumei, soo i realà dei regressori e perao adrebbero iserie ell equazioe (decisioe che si ede a o predere i cosiderazioe). Tes di Durbi-u-Hausma (sulla effeiva preseza di variabili edogee ra i regressori) I meodi descrii i queso capiolo soo uili (e ecessari) i preseza di variabili edogee ra le variabili idipedei, ma se così o dovesse essere essi o solo soo iuili ma ache svaaggiosi. E` evidee allora l`uilia` di opporui es quado si urao dubbi sull effeiva edogeeià di alcue variabili idipedei del modello; per esempio o si è ceri che alui regressori siao effeivamee osservai co errore o che ci sia simulaeià ra la variabile dipedee e qualche variabile idipedee. Qui si fa riferimeo al modello y = x β + u co E( u Ω ) =, =,,, e si assume E( Ω ) = (omoschedasicia` degli errori); u σ ( 9 ) Il umero delle variabili edogee presei el modello è uguale al umero delle variabili srumeali. ( ) I queso caso è oo il valore della fuzioe obieivo, ma o quello della sima i quao le osservazioi per o soo dispoibili. 7 w

18 9-Ecoomeria, a.a. -. Appedice B Il processo { w } delle variabili srumeali ha dimesioe l( k dim{ } co { x }); Per il processo {,, } y x w valgoo le usuali ipoesi e si vuole cosruire u es sulla seguee ipoesi saisica: Osservazioe: H : y = x β + u, E( u x) =. H : y = x β + u, E( u w) = = x )) (e o coicide i) Se (ui) i regressori soo validi srumei, lo simore OLS e` (asioicamee) il piu` efficiee ella classe degli simaori ( classe appariee evideemee lo simaore SLS; cosisei) cosruii co il meodo dei momei, e a ale ii) Se ra i regressori c è qualche variabile edogea, allora la sima SLS è cosisee, mere la sima OLS o è cosisee; iii) Da i) e ii), per il pricipio di Hausma (per l`euciao, vedi lezioe 8, oa 5, pag. 9) segue var( βˆ βˆ ) = var( βˆ ) var( βˆ ). SLS OLS SLS OLS Al fie di cosruire u es sulla precedee ipoesi, le proprieà i) e ii) suggeriscoo di uilizzare come saisica la disaza pesaa ra i due simaori, la cui disribuzioe asioica pora` essere idividuaa daa la validia` di iii). Si cosidera allora la saisica di Hausma ( ) β ˆ β ˆ ˆ ˆ var( β ) var( β ) ( β ˆ β ˆ SLS OLS SLS OLS SLS OLS ) H = e per essa si puo` dimosrare che (ell ipoesi x H, e quidi ell ipoesi che ue le coordiae di soo esogee) coverge i disribuzioe (come è aurale) verso ua chi-quadro, ma i suoi gradi di liberà (e qui c è u elemeo di soggeivià) soo pari al umero di variabili che o soo ceramee esogee. Osservazioe: Per elimiare l elemeo di soggeivià ella formulazioe del es, alcui auori suggeriscoo di cosiderare, ella cosruzioe della saisica H, solao le compoei degli simaori dei parameri relaivi alle variabili delle quali o si è ceri della effeiva esogeeià. No e` difficile provare che il es di Hausma, ella formulazioe suggeria dalla precedee osservazioe, è ideico al es di Durbi-u che ora si passa a descrivere (vedi Davidso- MacKio, Ecoomeric Theory ad Mehod, pag. 338). 8

19 9-Ecoomeria, a.a. -. Appedice B Si cosidera la decomposizioe = [ ] variabili ceramee esogee e verifica l ipoesi H H : δ = : δ Y X Z Y, essedo Z la marice delle osservazioi delle la marice delle osservazioi dei rimaei repressori, e si per il modello ausiliario y = Xβ + P Yδ + resid (o equivaleemee y = Xβ + M Yδ + resid ). 9