Esercizi di Combinatoria Stage presso il Liceo Scientifico F. Severi di Frosinone

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1 Esercizi di Combiatoria Stage presso il Liceo Scietifico F. Severi di Frosioe A. Sambusetti - 31 geaio Formule di base del calcolo combiatorio Cosideriamo u isieme S di oggetti. Dimostrare che il umero delle 1 permutazioi semplici di S è P =! disposizioi seza ripetizioe di k oggetti presi da S è D, k = k+1 =! k! disposizioi co ripetizioe di k oggetti presi da S è D r, k = k ; combiazioi seza ripetizioe di k oggetti presi da presi da S è C, k = k =! combiazioi co ripetizioe di k oggetti presi da S è C r, k = +k 1 k. Verificare che: 2 = 1 2 k = 1 k k 1 = k k + k+1 = +1 k+1 Ciò dimostra che i umeri k soo quelli che appaioo el triagolo di Tartaglia Esercizio 1.1 [Cortoa 91] Ad u covego partecipao 21 persoe. Ciascuo dei partecipati strige la mao a ciascuo degli altri. Quate soo state complessivamete le strette di mao? k! k! ; Esercizio 1.2 [Seior 93] I u toreo di teis, 8 persoe decidoo di giocare degli icotri di doppio i tutti i modi possibili. Quati icotri ci sarao ell itero toreo? Esercizio 1.3 [Juior 90] a Si cosiderio 8 rette distite el piao: i quati puti al massimo possoo itersecarsi? b Geeralizzare al caso di rette. Esercizio 1.4 [Juior 91] a Sia S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. I quati modi possibili, sommado umeri differeti i S, si può otteere u umero dispari? b Geeralizzare al caso S = {1, 2, 3,..., } co qualsiasi. E se volessimo otteere umeri pari? 1 C è ache ua ozioe di permutazioe di u isieme S di N = k 1 + k oggetti ripetuti k 1,.., k volte: il umero N di tali permutazioi co ripetizioe è P rn; k 1,..., k =, detto coefficiete multiomiale. k 1! k! 1

2 Dimostrare ragioado sulle combiazioi le segueti formule: k=0 k = 2 k=0 k x k y k = x + y se è pari: = = 2 1 se è dispari: = = k=0 k = 2 Esercizio 2.1 [Seior 93] 2. Combiatoria e aritmetica. Il tuo isegate di matematica tiee il registro i u armadietto chiuso co u lucchetto a combiazioe. La combiazioe è u umero palidromo di 5 cifre da 0 a 9, che è u multiplo di 3. Qual è il miimo umero di tetativi da effettuare per accedere al registro? Esercizio 2.2 [Seior 95] Quate soo le soluzioi dell equazioe 4x + 5y + 20z = 1000 co x, y, z iteri o egativi? Esercizio 2.3 [Nazioale 88] I u toreo di pallacaestro squadre S 1,..., S disputao u giroe all italiaa ogi squadra icotra ua ed ua sola volta ciascua delle altre. Ogi icotro si coclude co la vittoria di ua delle due squadre. Se v i è il umero delle vittorie della squadra i-esima e p i è il umero delle sue scofitte, mostrare che v v 2 == p p 2. Esercizio 2.4 [Cortoa 88] Quati umeri iteri tra 1 e 1000 soo divisibili per 7 o per 11? E per 6, 8, o 15? Pricipio di iclusioe-esclusioe: A B = A + B A B A B C = A + B + C A B A C B C + A B C i=1 A i = i A i i 1<i 2 A i1 A i2 + i 1<i 2<i 3 A i1 A i2 A i A 1 A 3. Probabilità. Molti problemi di probabilità fiita soo essezialmete problemi di eumerazioe di casi possibili: i tal seso, si tratta di problemi di combiatoria. Per risolvere correttamete u problema di probabilità è bee precisare, prelimiarmete ad ogi calcolo: l esperimeto da effettuare e i suoi possibili risultati; uo spazio campioario S: dei possibili risultati dell esperimeto; u isieme, cioè, i corrispodeza biuivoca co l isieme il sottoisieme F S dei risultati favorevoli, corrispodete all eveto 2 vuole calcolare la probabilità. La probabilità dell eveto i cosiderazioe sarà allora uguale 3 a pf = F S. di cui si 2 Formalmete, ogi sottoisieme E di S è detto u eveto; gli isiemi costituiti da u elemeto soo gli eveti elemetari. 3 Questo procedimeto schematizza esperimeti i cui i sigoli risultati dell esperimeto soo fiiti e tutti equiprobabili. 2

3 Esercizio 3.1 [Paradosso di Moty Hall] Suppoi di partecipare a u gioco a premi, i cui puoi scegliere tra tre porte: dietro ua di esse c è u automobile, dietro le altre, capre. Dopo la tua scelta, il coduttore del gioco Moty Hall, che sa cosa si ascode dietro ciascua porta apre ua delle altre due porte, dietro alle quale c è ua capra. A questo puto ti lascia la possibilità di cambiare la tua scelta iiziale co l altra porta chiusa. Ti coviee cambiare? L uioe A B di due eveti corrispode al caso i cui uo dei due eveti si verifica. Due eveti A, B si dicoo disgiuti o icompatibili se A B =. Verificare che: se A, B soo icompatibili, si ha pa B = pa + pb; per eveti qualsiasi A, B si ha sempre pa B = pa + pb pa B Esercizio 3.2 [Cortoa 89] I u sacchetto ci soo tre pallie di colore diverso. Si determii la probabilità che, su estrazioi co reiserimeto: a si ottegao tutte pallie di uo stesso colore; b si ottegao pallie di due colori; c si ottegao pallie di tre colori. Esercizio 3.3 [S. Pepys a Newto, 1693 Calcolare la probabilità che esca u 6 laciado sei dadi, che escao due 6 laciadoe dodici, e che escao tre 6 laciadoe diciotto. Quale dei tre eveti è più probabile? Esercizio 3.4 [Cortoa 88] Fra i 33 studeti di ua classe, 18 giocao a calcio, 17 a basket e 4 o praticao alcuo sport. Qual è la probabilità che uo studete scelto a caso pratichi etrambi gli sport? Esercizio 3.5 [Nazioale 92] Ua giuria è composta da 9 membri, oguo dei quali esprime, i modo completamete casuale, u voto di ioceza o di colpevolezza o ci si può asteere. Qual è la probabilità che u determiato giurato, alla fie della votazioe, abbia votato come la maggioraza? L itersezioe A B corrispode al caso i cui etrambi gli eveti A, B si verificao: se A, B soo tra loro idipedeti cioè il verificarsi o meo del primo o iflueza la probabilità che si verifichi il secodo e viceversa allora pa B = pa pb; per due eveti A, B qualsiasi vale ivece pa B = pa B pb dove P A B deota la probabilità che si verifichi A dato per certo che B si verifica, ed è detta probabilità di A codizioata a B. 4 4 Nella teoria, le due formule pa B = pa pb e pa B = pa B/pB vegoo prese a defiizioe formale di eveti idipedeti e di probabilità codizioata. La prima corrispode a formalizzare l ituizioe aturale che due eveti A, B o si ifluezao l u l altro quado si verificao etrambi co probabilità uguale alla probabilità del primo moltiplicata per la probabilità del secodo. Essa può essere letta ache i termii di probabilità codizioata: A è idipedete da B se, comè aturale, P A = P A B, cioè la probabilità di A codizioata a B è precisamete uguale alla probabilità di A. 3

4 Esercizio 3.6 [Seior 92] Tre fratelli vao al campo sportivo per fare ua partita di calcio co altri 19 amici. Teuto coto che la formazioe delle squadre viee sorteggiata, qual è la probabilità che i tre fratelli giochio ella stessa squadra? Esercizio 3.7 Due amici si soo iscritti alla prima classe di u liceo. I liceo ha due sezioi, le cui prime classi hao u umero di studeti x e y compresi tra 20 e 30. Sapedo che la probabilità che i due amici si trovio ella stessa classe è esattamete 1 2, calcolare il umero di studeti di ciascua classe. 4. Pricipio delle gabbie dei piccioi. A volte per risolvere u problema o è ecessario cotare precisamete il umero di elemeti di due isiemi, ma solo mostrare che essi soo o o soo i biiezioe. Pricipio delle gabbie dei piccioi. Dovedo disporre più di piccioi i gabbie, ecessariamete ci sarà ua gabbia che coterrà due piccioi. I termii matematici: dati due isiemi P, G co P > G, qualsiasi fuzioe f : P G o sarà iiettiva 5. L applicazioe di questo semplice pricipio coduce spesso a risultati sorpredetemete fii ; per utilizzarlo co profitto, è sempre ecessario avere be chiaro quale isieme gioca il ruolo dell isieme dei piccioi, e quale quello delle gabbie. Esercizio 4.1 La desità dei capelli i u essere umao o è superiore a 160/cm 2. Ci soo a Roma due persoe o calve co lo stesso umero di capelli? Esercizio 4.2 [Sapieza 09] Ad ua festa, le persoe che vegoo presetate si strigoo la mao. Mostrare che, alla fie della festa, ci soo almeo due persoe che hao dato lo stesso umero di strette di mao. Esercizio 4.3 [Nazioale 91] Si cosideri ua scacchiera 8x8 co della caselle colorate di due differeti colori, biaco e ero, o come ell usuale scacchiera, ma rispettado comuque la segeuete codizioe: ogi coloa della scacchiera, così come ogi riga, cotiee quattro caselle biache e quattro caselle ere. Dimostrare che il umero di coppie di caselle biache cotigue cioè che hao u lato i comue è uguale al umero di coppie di caselle ere cotigue. Esercizio 4.4 [Cortoa 92] a Si mostri che, per qualsiasi umero reale positivo a > 0 fissato, fra i umeri a, 2a, 3a,..., N 1a ce 1 è uo che differisce al più di N da u umero itero; b Dirichlet si mostri che per ogi N grade a piacere e per ogi umero reale a esiste u razioale p q tale che a p q 1 Nq. Esercizio 4.5 [Sapieza 09] Mostrare che l espasioe decimale di u razioale è fiita o periodica. 5 Cioè esisterao p 1, p 2 P tali che fp 1 = fp 2. 4

5 5. Grafi. Esercizio 5.1 [Sapieza 09] Si cosideri u grafo ha vertici, oguo dei quali è coesso co altri 2 : a mostrare che il grafo è coesso; b di più, mostrare che dati due qualsiasi vertici, esiste u cammio di al massimo due lati che li uisce. Esercizio 5.2 [Cortoa 94] Su u isola scoosciuta vivoo 1000 abitati, ciascuo dei quali comuica le otizie i suo possesso a tutti i suoi coosceti etro ua giorata. La situazioe è tale che, prima o poi, la otizia raggiuge tutti. Si dimostri che è sempre possibile scegliere 90 persoe dell isola i modo che, se la otizia viee comuicata a loro, la otizia raggiuge tutti gli abitati etro 10 giori. Esercizio 5.3 [Sapieza 09] U grafo di dice percorribile se esiste u vertice dal quale è possibile partire e percorrere tutto il grafo seza staccare la pea dal foglio e seza passare due volte per lo stesso lato. a Dire quali dei segueti grafi soo percorribili: b Quati vertici di grado pari può avere u grafo percorribile? e di grado dispari? c Dare ua codizioe ecessaria e sufficiete perché u grafo sia percorribile. Esercizio 5.4 [Cortoa 90] Ad ua festa essuo dei ragazzi ha ballato co tutte le ragazze, ma ogi ragazza ha ballato co almeo u ragazzo. Dimostrare che esistoo due ragazzi m 1, m 2 e due ragazze f 1, f 2 tali che ogi m i ha ballato co f i, ma o co etrambe. 5

6 6. Permutazioi Ua permutazioe α : X X di u isieme X di oggetti deotati qui per comodità co umeri 1,...,, ei calcoli può essere comodamete descritta co ua tabella del tipo 1 2 α = α1 α2 α Due permutazioi α, β possoo essere composte dado luogo alla permutazioe α β: α βx i = αβx i L isieme SX di tutte le permutazioi di X, co questa operazioe, è u gruppo. Cioè è u isieme co u operazioe che verifica: associatività α, β, γ si ha α β γ = α β γ esisteza dell idetità c è u elemeto id che verifica α id = id α = α α esisteza degli iversi α esiste u iverso α 1, tale che α 1 α = αα 1 = id I effetti, la biiezioe baale idk = k è ua permutazioe detta baale, o idetità che ha la proprietà di cui sopra; ed ogi permutazioe α ammette ua permutazioe α 1 iversa, cioè tale che α 1 αk = α 1 αk = k : la tabella di α 1 è otteuta scambiado e, se si desidera, riordiado le righe della tabella di α. Esercizio 6.1 Si trasformi il cubo di Rubik ella sua cofigurazioe iiziale eseguedo u certo umero di mosse qualsiasi. Si mostri che, ripetedo u umero sufficiete di volte le stesse mosse ello stesso ordie, si tora sempre alla cofigurazioe iiziale. L ordie di u gruppo G è il umero di elemeti del gruppo, deotato G ; el caso delle permutazioi di u isieme X di elemeti, sappiamo che SX =!. L ordie di u elemeto g di u gruppo, deotato og è ivece il più piccolo itero > 0 tale che volte g { }} { := g g g= id Mostrare che: se g p+ = g per p, > 0 allora g p = id; per ogi g G esiste G tale che g = id. I particolare, α permutazioe di u isieme di elemeti esiste k! t.c. α k = id. Esercizio 6.2 Si cosiderio due facce adiaceti A e B del cubo di Rubik, e si cosideri il movimeto otteuto ruotado prima A e poi B di π/2 i seso atiorario rispetto alla ormale uscete dal cubo. Quate volte sarà ecessario ripetere questo movimeto per torare alla cofigurazioe iiziale? 6

7 Esercizio 6.3 Nel gioco del quidici c è u quadrato suddiviso i 16 quadratii scorrevoli umerati da 1 a 15, i cui u quadratio è lasciato vuoto per permettere agli altri di scorrere, spostadoli verso u quadratio vuoto adiacete. Si dica se è possibile trasformare la cofigurazioe a destra i quella a siistra. Ua trasposizioe τ è ua permutazioe particolare di ordie 2 che scambia solo due elemeti tra loro: se i τ j, la trasposizioe τ può idicarsi co ij. U ciclo γ è ua permutazioe particolare che coivolge alcui elemeti i 1,..., i k, e porta i 1 i i 2, i 2 i i 3,...etc... ed ifie i k i i 1 ; u ciclo del geere ha chiaramete ordie k. Mostrare che: ogi permutazioe α si decompoe i modo uico a meo dell ordie come prodotto di cicli disgiuti: α = γ 1 γ p ; ogi ciclo γ si decompoe o i modo uico i prodotto di trasposizioi: γ = τ 1 τ q ; quidi ogi permutazioe si decompoe i u prodotto di trasposizioi. Il umero di trasposizioi i cui si può decomporre ua permutazioe o è uico: per ogi permutazioe fissata, tale umero è sempre pari o sempre dispari perche?. Questa caratteristica di ua permutazioe si chiama il suo sego; le permutazioi si distiguoo allora i permutazioi pari o dispari. ma, Esercizio 6.4 [Cortoa 94] C è ua tavola rotoda co posti. Gli commesali hao portato ciascuo u regalo, ed i regali vegoo disposti uo per posto. All igresso i commesali si dispogoo i ordie casuale, ma qualcuo ota co rammarico di essere destiatario del regalo che lui stesso ha portato. È possibile, qualuque sia la disposizioe iiziale dei commesali, effettuare ua rotazioe che matega l ordie reciproco i modo che essuo si trovi di frote al regalo che ha portato? Riferimeti Le olimpiadi della matematica: problemi dalle gare italiae, F. Coti, M. Barsati, T. Frazoi, Zaichelli 1999 La matematica elle gare di matematica: le sfide di Zebrix e altri 100 quesiti, a cura di F. Icitti, Nuova Cultura 2010 Discrete Mathematics, L. Lovász e K. Vesztergombi, Lecture Notes of the Yale Uiversity Adrea Sambusetti Dipartimeto di Matematica G. Casteluovo Sapieza Uiversità di Roma sambuset@mat.uiroma1.it 7

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