ALCUNE DIMOSTRAZIONI UN PO DI RIGORE IN PIÙ

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1 ALCUNE DIMOSTRAZIONI UN PO DI RIGORE IN PIÙ Raddrizza le idee! Nelle pagie che seguoo verrao fatte solo alcue delle dimostrazioi che servoo per gli argometi trattati elle uità. Metteremo ioltre i evideza casi i cui le dimostrazioi per iduzioe fuzioao bee e casi i cui ivece il pricipio o viee utilizzato el modo corretto.. Dimostrazioe per iduzioe che bastao - passi per trovare il massimo. Per = è vero Ifatti -=, co passo trovo il massimo di oggetti

2 Se è vero per, allora è vero per Ifatti suppoiamo di avere trovato il massimo di oggetti co - passi. Se abbiamo oggetti allora procediamo così Troviamo il massimo di oggetti, poi basta u solo passo per trovare il massimo oggetti, perché basta cofrotare l oggetto co il massimo precedetemete trovato. Abbiamo così trovato il massimo di oggetti co passi: (- ) Questa dimostrazioe fuzioa.. Dimostrazioe per iduzioe che il umero di passi per oggetti, N(), deve essere superiore a - : N() > -. Per = è vero Ifatti N - = > = 0, co passo trovo il massimo di oggetti ed è evidete che o posso fare meglio Se o posso fare meglio per, allora o posso fare meglio per Ifatti suppoiamo che il umero di passi N() > -. Se abbiamo oggetti allora procediamo così Troviamo il massimo di oggetti, poi occorre (e basta) u passo per trovare il massimo di oggetti, perché è ecessario cofrotare l oggetto co il massimo precedetemete trovato. Abbiamo così trovato il massimo di oggetti co passo i più rispetto al umero di passi che servoo per oggetti. Quidi se per ipotesi o posso trovare il massimo di oggetti co - passi, N() > -, ottego che N( ) = N() > - No posso trovare il massimo di oggetti co - passi. ATTENZIONE! QUESTA DIMOSTRAZIONE NON FUNZIONA

3 IMPORTANTE La dimostrazioe sopra riportata si basa su tre implicite assuzioi: a) posso trovare il massimo di due oggetti co passo, e questo è evidete. b) posso trovare il massimo di oggetti aggiugedo passo a quelli che servoo per trovare il massimo di - oggetti, questo è evidete e segue immediatamete dal primo puto. c) per trovare il massimo di - oggetti devo trovare prima il massimo di - oggetti. Questo ultimo puto però o è ovvio. Ifatti potrei dividere i modo diverso l isieme, el seso che o è detto che per trovare il massimo (o il miimo) io debba trovare il massimo e il miimo dell isieme co u umero di oggetti iferiore..se ragioo allo stesso modo per trovare il massimo e il miimo di oggetti, potrei dimostrare che o posso fare meglio di -3 passi, ma o è così. Ci si potrebbe chiedere Come mai la dimostrazioe di miimalità ("lower boud").per iduzioe, el caso più semplice, quello della ricerca del Massimo o del miimo, dà il risultato corretto? Si può supporre ELIMINARE UN ELEMENTO DEFINITIVAMENTE SCONFITTO, CHE NON PORTA PIÙ ALCUNA INFORMAZIONE, NON PUÒ PEGGIORARE LA STRATEGIA. Oppure, meglio SE IN UNA STRATEGIA NON PERDO INFORMAZIONE, QUESTA STRATEGIA NON PUÒ ESSERE MIGLIORATA Quado si deve cercare il massimo i u isieme di oggetti e si fa il primo cofroto (diversamete o potrei fare per iiziare ad acquisire iformazioe), i quel cofroto c è u vicitore, il maggiore dei due, dell altro o so più che farmee, o mi porta alcu tipo di iformazioe. Si assume che fare u passaggio di questo tipo, gettare via l oggetto perdete, o può i alcu modo peggiorare la strategia. N.B. Questo passaggio o si può fare egli altri casi. 3

4 Né el caso della ricerca del massimo e miimo, é el caso della ricerca del I e II, c è uo scofitto dopo il primo cofroto, quidi o si può, se voglio sfruttare tutte le iformazioi che mi provegoo dal primo cofroto, elimiare elemeti. Mi porta iformazioe sia sapere che A > B sia sapere che B < A È ecessario i qualche modo teersi tutti e due gli elemeti, sia il maggiore che il miore, e proprio da questo si ha u esplosioe dell iformazioe. Nel caso del primo e secodo diveta poi rilevate, a differeza del caso del massimo e miimo, il fatto che el primo cofroto è ascosta ache l iformazioe che uo precede l altro, ed è il buttare o meo via questa iformazioe che fa la differeza co l altro caso. N.B. L INFORMAZIONE ESPLODE E DIVENTA MOLTO DIFFICILE DA GESTIRE L ipotesi è che el caso più semplice il pricipio di iduzioe fuzioi proprio perché o c è iterazioe tra le iformazioi. Utilizzado il metodo di gettare via u oggetto dopo il primo cofroto, ci si ritrova dopo il primo passaggio co u isieme che ha u oggetto di meo ma che si trova elle stesse idetiche codizioi di totale macaza di iformazioi i cui si trovava il primo. Ha seso quidi che si possa procedere sempre ello stesso modo, gettado via sempre l oggetto miore, e cofrotado il massimo precedete quidi co u qualuque oggetto tra quelli rimasti. Procededo i questo modo, ad ogi passaggio idividuo il massimo di u isieme co u elemeto i più: Iazi tutto ho trovato il massimo di due, poi il massimo di tre, fio ad arrivare a cofrotare il massimo dell isieme di - elemeti co l ultimo oggetto rimasto. Si può ragioevolmete cocludere che o può esserci u metodo migliore perché o si è mai sprecato iformazioe, i essu passaggio. U sigolo cofroto può portare co sé più di ua iformazioe, si può vedere come u atomo composto di particelle, il umero delle particelle varia a secoda del problema. Oppure si potrebbe dire che è u atomo co u umero fisso di particelle di iformazioe, ma a secoda del problema alcue servoo, le posso utilizzare, ed altre o servoo allo scopo. 4

5 È UN CONCETTO PIÙ PRIMITIVO L INFORMAZIONE PIUTTOSTO CHE IL CONFRONTO, ache se è vero che si è acquisita iformazioe tramite il cofroto. Quato detto sopra è u ragioameto o rigoroso. Si basa su ituizioi e sull importate ruolo che ha l iformazioe e che i questo semplice caso è facile ricooscere. No ci si può però basare i geerale su questo, ifatti l iformazioe o è facilmete ricooscibile e domiabile. Si può fare ua dimostrazioe rigorosa usado il pricipio del miimo itero, che è equivalete all'iduzioe. Sia 0 il miimo itero che o è per cui esiste u algoritmo che fa meo di 0 - cofroti per trovare il massimo. Possiamo allora applicare tale algoritmo a 0 - elemeti, semplicemete saltado i cofroti che coivolgoo l'elemeto 0 -esimo. Ci deve essere almeo u cofroto che coivolge l'elemeto 0 -esimo, altrimeti l'algoritmo o sarebbe corretto el caso i cui 0 fosse il massimo. Abbiamo quidi trovato u algoritmo che trova il massimo di 0 - elemeti facedo meo di 0 - cofroti. Assurdo poiché 0 era il miimo itero che soddisfaceva tale proprietà. Dimostrazioe che o si può fare meglio di - per la ricerca solo del Massimo o solo del miimo (seza utilizzare il pricipio di iduzioe). Se i u isieme di oggetti devo trovare ad esempio il Massimo, avrò u vicitore. Questo implica che ci siao - scofitti. Dato che per poter essere scofitti ci vuole almeo u cofroto, devoo essere stati fatti almeo - cofroti. Si può poi dimostrare che o può esserci che u vicitore, o, è lo stesso, dimostrare che ogi elemeto diverso dal massimo deve uscire scofitto. L'uico modo per dimostrare ciò è ifatti: 5

6 se u elemeto diverso dal massimo o uscisse mai scofitto, ci sarebbero allora elemeti che o uscirebbero mai scofitti. Ma allora l'algoritmo dovrebbe sempre scegliere uo solo di questi due e sarebbe duque scorretto el caso i cui il massimo fosse quello o scelto. UNA DIMOSTRAZIONE DIFFICILE DIMOSTRAZIONE CHE NON SI PUÒ FARE MEGLIO DI [3/*] Gli oggetti dell isieme che hao giocato, e quidi hao subito almeo u cofroto, dopo k cofroti, soo distribuiti i tre gruppi, M K m K E K. I u gruppo, M K, si mettoo quelli che hao sempre vito, quidi forse massimi, certamete o miimi: M k = umero degli elemeti che hao sempre vito.. I u gruppo, m K, si mettoo quelli che hao sempre perso, quidi forse miimi, certamete o massimi: m k = umero degli elemeti che hao sempre perso. 3. I u gruppo, E K, si mettoo quelli che hao sia vito che perso, quelli fuori gioco: E k = umero degli elimiati Affiché sia vero che la formula sia k >=[(3)/ ] - e sapedo che alla fie avremo u solo massimo, u solo miimo, - elemeti che o soo é massimi é miimi, e sapedo che gli elimiati devoo avere subito almeo due cofroti, si può forse riuscire a cogetturare che bisoga dimostrare che il umero degli elemeti, che hao giocato almeo ua volta, sia distribuito i modo tale che per ogi k <= umero di cofroti ecessari per arrivare al risultato deve essere valida la formula m k M k 3E k <= k ifatti quado il m e il M soo stati determiati allora si ha 3*(-) <= k da cui a) se è pari 6

7 k >= 3/* b) se è dispari dato che k è itero k >= [3/*] ( bisoga approssimare (3/) per eccesso) Es. se 5<= k e k è u umero itero, k o può essere maggiore o uguale a 7, *7 o sarebbe superiore o uguale a 5 DIMOSTRAZIONE I. È vero per k = II. Ifatti dopo il primo cofroto ci soo due oggetti i tutto uo i m k e l altro i M k 0 <= * HP : m k M k 3E k <= k TH : m k M k 3E k <= (k) Dimostrazioe del puto II Se ai k cofroti effettuati ora si aggiuge u cofroto, si possoo otteere vari casi. Bisoga cosiderarli tutti, perché soo i vari modi i cui posso procedere ell effettuare i cofroti. Se dovessi trovare che i uo di questi modi tutti i possibili esiti o soddisfao la formula co certezza, vorrebbe dire che o è detto che io o possa fare meglio. Però per ogi caso cosiderato basta che soddisfi uo dei sottocasi. I sottocasi o soo altro che i possibili esiti dei cofroti: basta che uo di questi sia tale da verificare la formula che mi basta per dire che meglio o posso fare ache procededo i quel particolare modo. Se ivece accadesse, come detto sopra, che i uo dei casi che seguoo (per qualche puto dell eleco può esserci più di u caso) tutti i possibili esiti fossero tali da o verificare co certezza la formula, allora o potremmo essere certi di o potere fare meglio. a. Si cofrotao due elemeti di M K o di m K Uo dei due esce dal gruppo e va i E K 7

8 (m k -) M k 3(E k ) <= (k ) è verificato dato che m k M k 3E k <=k, quidi 3. m k M k 3E k <= (k ) 4. m k (M k -) 3(E k ) <= (k ) 5. verificato per lo stesso motivo di prima b. Si cofrotao due elemeti E K (Caso iutile dato che o ha seso cofrotare tra loro due elimiati) Niete cambia: m k = m k, m k M k 3E k <= (k ) M k = M k, E k = E k a maggior ragioe vero c. Si cofrotao due elemeti uo di m k e uo di M k (Caso iutile dato che si è certi che il miimo starà i m k e il massimo i M k ) Potrebbe accadere che iete cambi, el seso che l elemeto di m k risulta miore dell elemeto di M k m k M k 3E k <= (k ) verificato (basta questo sottocaso) oppure che ambedue vadao i E (m k ) (M k ) 3(E k ) <= (k ) disuguagliaza o verificata co certezza, ifatti questo è u esito fortuato, co u cofroto e elimio addirittura due d. si cofrotao due elemeti, uo di m k e uo di E k, oppure uo di M k e uo di E k (Caso iutile dato che o ha seso fare cofroti co gli elimiati) Potrebbe accadere che iete cambi m k M k 3E k <= (k ) verificato (basta questo sottocaso) oppure che uo vada i E k (m k ) M k 3(E k ) <= (k ) verificato m k (M k ) 3(E k ) <= (k ) verificato e. Si cofrotao due elemeti uo aggiuto co uo di m k, o co uo di M k, o co uo di E k. (quest ultimo cofroto co u elimiato o ha seso) aumeterao m k o M k oppure E k di ua uità a) (m k ) M k 3E k <= (k ) verificato quado l elemeto aggiuto perde co Mk o perde co Ek 8

9 b) m k (M k ) 3E k <= (k ) verificato quado l elemeto aggiuto vice co m k o vice co E k c) m k M k 3(E k ) <= (k ) o verificato quado l elemeto aggiuto perde co m k o vice co M k No importa se il caso c) o soddisfa, mi basta che ci sia u possibile esito che soddisfi la formula. Il caso c) rappreseta uo dei possibili esiti del cofroto dell aggiuto co m k, o co M k. Rappreseta il caso più fortuato, quello co il quale si potrebbe fare u mior umero di cofroti, ifatti co u cofroto i più viee elimiato u elemeto, cosa che o accade per gli altri possibili esiti. PER CONCLUDERE: tutti i possibili casi e i loro possibili esiti soddisfao la formula se si escludoo due situazioi, che soo però due esiti possibili, oguo per u caso diverso, gli altri esiti degli stessi due casi soddisfao la formula, quidi la formula è soddisfatta ache per quei due casi, CVD Quidi abbiamo dimostrato che per ogi umero di cofroti, da uo fio al risultato, comuque vegao effettuati, la formula è soddisfatta e quidi il umero degli elemeti a siistra sarà <= del doppio del umero dei cofroti. ivece ei casi fortuati il umero degli elemeti di siistra potrebbe essere ache maggiore del doppio dei cofroti effettuati. DETERMINAZIONE DEL I E II MASSIMO DI UN INSIEME CON IL METODO MIGLIORE 3. Dimostrazioe che ache co questo metodo è - il umero di passi per trovare il I N.B. i queste pagie co log si itede il logaritmo i base. Primo caso: suppoiamo che sia ua poteza di. 9

10 Il massimo dell isieme si trova i - passi, ifatti: / /4... / log = / /4... / = *(/ /4... /) Se poiamo log = h si ha che h = = *( h- / h- /... /... 0 /) = *( h )/ = Secodo caso: suppoiamo che o sia ua poteza di. Ogi umero si può scrivere come somma di poteze di, e le divisioi che devo effettuare hao come primo divisore e poi cotiuao fio alla divisioe per la poteza di più vicia al umero, miore di. Esempio. 6 = (5 resti) Ogi umero si può scrivere, i u solo modo, come somma di poteze di (secodo quato è stato detto ella terza uità) Se è pari = h k... (essu espoete di assumerà il valore 0) Se è dispari = h k... Quado divido ripetutamete u umero per due, ottego u umero di resti pari al umero delle poteze di due coivolte meo, dato che la divisioe per due arriva fio alla poteza di due più vicia al umero. Se è coivolta ua sola poteza di due allora o ci soo resti, altrimeti la secoda poteza di due da già u resto. I pratica è come scrivere il umero i base Esempio: 6 ( )/ ( )/4... ( )/64 0 0

11 I resti soo pari ai posti occupati da, meo la prima uità, e cioè i resti soo psri alle divisioi per due o esatte Ogi resto rappreseta u passo i più. U resto si ha facedo la divisioe per ad u certo livello. Se c è u resto sigifica che avaza u elemeto che posso pesare di cofrotare co il massimo o co u resto successivo e così facedo u resto sigifica u passo i più i ambedue i casi : el secodo caso due resti dao u cofroto e u elemeto i più che passa al livello superiore e geera u uovo cofroto, o co u altro resto o co il massimo, el primo caso ogi cofroto i più co il massimo trovato, seza cosiderare i resti, dà u cofroto i più. Il calcolo del umero dei livelli resta quello già idicato ella prima uità che è riportato di seguito. Il umero degli elemeti che hao vito co il massimo è pari all espoete che bisoga dare a per otteere il umero, e cioè log. Per trovare poi il massimo tra queste servoo log passi, dove il log è approssimato per eccesso, perché qualora il umero degli oggetti di u livello o sia divisibile per, cioè il umero o è ua poteza esatta di, basterà approssimare per difetto, lasciado da parte u oggetto che verrà cofrotato co il primo che resta solo e questo farà aumetare di u livello l albero. No sarà certamete più di u livello, perché ogi livello aumeta al più di u elemeto che fa aumetare il umero delle coppie al più di ua, quidi questo icide solo all ultimo livello della poteza di due più vicia per difetto, quado l ultimo elemeto si potrebbe dover cofrotare co u elemeto avazato e quidi far salire di u livello l albero. h < < h dove h è u umero itero, e se log = r h < r < h esempio: log 0 = r 3 < r < 4 h rappreseta il umero dei livelli per u umero che è esprimibile come ua poteza di ad espoete itero, come 8 = 3 h = 3

12 Tra 9 e 6 il umero di livelli sarà 4 e così via. CONCLUDENDO Il umero di cofroti sarà pari al umero di passi che servoo per trovare il massimo, -, aumetato del umero di passi che servoo per trovare il secodo, e cioè il massimo tra gli elemeti che hao perso co il massimo, umero di passi pari quidi al umero di livelli h dimiuito di, cioè h : Numero di cofroti = / /4... log = - log- Il logaritmo è da itedersi i base, viee approssimato per eccesso quado il umero o è ua poteza esatta di. ALTRI POSSIBILI RAGIONAMENTI Se il umero o è ua poteza esatta di si può procedere così: si scrive il umero come somma di poteze di (quidi si scrive il umero i base ) Si cosidera il umero come somma di queste poteze, dividedo per due è come se si trovasse il massimo i oguo di questi casi. Poi bisoga trovare il massimo tra i massimi Per trovare il massimo tra i massimi si procede acora scrivedo il umero dei massimi i base e poi acora i base fio ad arrivare ad ua poteza esatta di due di cui so già calcolare il massimo: 0 6 poteze di due (6 = 0) 0 poteze di due ( = 0) 0 poteza di due 0 si può pesare come la somma delle segueti poteze di due passi

13 passi passi passi 00 3 passi 0 passo i tutto 0 passi 6 poteze di, 6 0 = 0 si può pesare coma la somma delle segueti poteze di due 00 3 passi 0 passo i tutto 4 passi poteze di, 0 = 0 si può pesare coma la somma delle segueti poteze di due 0 passo i tutto passo TOTALE 5 PASSI Se cosideriamo il umero come somma di poteze di = h k... e troviamo il massimo di h e di k etc troviamo tati massimi provvisori quate soo le poteze di due che itervegoo e poi troviamo il massimo tra i massimi trovati co lo stesso procedimeto, fio ad arrivare ad ua poteza di che alla peggio è 0 = h k... umero cofroti: ( h - k -...) ( l - m -...)... umero (poteza di ) - Il umero degli della prima paretesi è proprio pari al umero delle poteze di coivolte e quidi è pari a l m... Si ottiee quidi umero di poteze di due coivolte i umero delle poteze di due coivolte i umero delle poteze di due coivolte el umero delle poteze di due umero delle poteze di due 3

14 coivolte el umero delle poteze di due -...umero delle poteze di due coivolte el umero delle poteze di due coivolte el umero delle poteze di due... I sitesi se il umero delle poteze di due coivolte soo i Numero cofroti = ( h k l... i) (i-) = - Ifatti per i massimi provvisori otteuti si rifà lo stesso ragioameto Cosideriamo ora il umero di cofroti per trovare il II e cioè i livelli dell albero dell uità sul Cofroto. Cosiderare il umero somma di poteze di due e trovare il massimo per ogi poteza di due e poi trovare il massimo tra tutti i massimi. Devo cosiderare i livelli dell albero esempio 0 = 6 4 Trovo u massimo dall albero del 6 e u massimo dall albero del 4, cofroto i due massimi fiali. Questo accade sempre. Uo dei due vice, allora cosidero quel livello, cioè u elemeto a quel livello, più i livelli del massimo che ha vito, quelli del 6 o quelli del 4, el caso più sfortuato quelli del 6. Ache questo vale i geerale. Il caso più sfortuato è quello i cui si devoo cosiderare i livelli dell albero della maggiore poteza di due, quidi ho i totale h elemeti che hao perso co il massimo, e quidi h passi per trovare il secodo massimo. CONCLUSIONE - passi per trovare il massimo h passi per trovare il secodo massimo h è il log i base approssimato per eccesso del umero che o è poteza di. Totale umero passi = - log (il logaritmo approssimato per eccesso) 4

15 L esempio fatto o è u caso particolare che o vale i geerale, ifatti ci si ricoduce sempre al caso dell esempio sopra riportato se, dopo aver scritto il umero come somma di poteze di due, lo si divide per due, e quidi si cosiderao da ua parte gli alberi delle poteze di due iferiori e dall altra l albero della maggiore poteza di due che compoe il umero.. U altro esempio per capire meglio SETTE ELEMENTI 7 = 4 Abbiamo quidi 7 elemeti che potrebbero essere A B C D E F G A C E A Ci troviamo separatamete il massimo dell albero maggiore e per l isieme degli alberi miori facciamo ripetutamete la stessa cosa, l albero maggiore da ua parte, gli altri dall altra, e poi risaliamo. Il massimo dell albero più grade verrà cofrotato co l uico massimo saltato fuori dagli alberi più piccoli. I questo modo ottego 3 passi per trovare il massimo dell albero del quattro passo per il massimo dell albero del due 0 passi per l albero dell passo per cofrotare i due massimi degli alberi del due e dell uo. passo per cofrotare il massimo dell albero del quattro co l altro massimo Restao i due elemeti che hao perso co il massimo ell albero del quattro e l ultimo elemeto che ha perso co il massimo, i tutto tre elemeti, quidi due passi per trovare il massimo dei tre elemeti che hao perso co il massimo IN TOTALE 6 = 8 cofroti 5

16 CONSIDERAZIONI VARIE PER TROVARE IL MASSIMO POSSO PROCEDERE IN DUE MODI. trovado il massimo di ogi albero e poi trovado il massimo tra tutti i massimi mi verrà sempre u umero di passi pari a h k pvolte t p - = h k t.. - = - dove p è il umero delle poteze di. trovado il massimo dell albero maggiore e il massimo di tutti gli altri co lo stesso procedimeto, fio a cofrotare gli ultimi due massimi. Il umero di passi per trovare il massimo sarà sempre pari a e si può dimostrare utilizzado il pricipio di iduzioe. PER TROVARE IL MASSIMO E IL SECONDO, NON POSSO PROCEDERE CHE NEL SECONDO MODO DESCRITTO, PERCHÉ CON IL PRIMO METODO OTTENGO PASSI IN PIÙ Per trovare il secodo ifatti, se trovo iizialmete i massimi di ogi albero e poi il massimo tra i massimi, soo i gara per il secodo posto tati elemeti quati i livelli dell albero della maggiore poteza di, e ioltre devo cosiderare ache quelli che hao perso co il massimo ei cofroti tra i massimi provvisori. Cosideriamo l esempio precedete di 7 oggetti: 6 passi per il massimo 3 passi per il II (i 4 hao perso co il massimo, 4 passi per trovare l massimo tra questi) IN TOTALE 9 passi (cofroti) UN CONFRONTO IN PIÙ, PER 7 OGGETTI, RISPETTO AL METODO PRECEDENTE. 6

17 4. Dimostrazioe della proprietà che il umero di possibili pesate che si ottegoo per la base, è i geerale pari al umero di pesi che si ottegoo partedo dal più piccolo,, fio al più grade possibile, -, co ua differeza di. { A A } I =,...,, A N P(I) = isieme delle parti di I N TESI =... = P( I) = I= 0i Si dimostra ricordado che per la formula del biomio di Newto si ha: i= 0 i ( ) = = 5. Dimostrazioe della proprietà che il umero di possibili pesate che si ottegoo per la base, è i geerale pari al umero di pesi che si ottegoo partedo dal più piccolo,, fio al più grade possibile, -, co ua differeza di. TESI... = Si utilizza il pricipio di iduzioe e la terza proprietà dei coefficieti biomiali. Per = è immediato. Se è vero per allora è vero per 7

18 8 Ipotesi... = Tesi... = Terza proprietà dei coefficieti biomiali = k k k Applicado la terza proprietà si può otare che si ha... ) *( c v d = = =